第3講-有限元梁?jiǎn)卧?

1、第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧◤澢冃危┤S空間梁?jiǎn)卧?jiǎn)介2.32.42.5結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及其性質(zhì)結(jié)構(gòu)總剛度矩陣及其性質(zhì)梁?jiǎn)卧膯卧匦粤簡(jiǎn)卧膯卧匦粤簡(jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚵簡(jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃囯x散結(jié)構(gòu)的整體分析離散結(jié)構(gòu)的整體分析平面剛架的整體分析平面剛架的整體分析單元與節(jié)點(diǎn)單元與節(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)系下的平面梁?jiǎn)卧植孔鴺?biāo)系下的平面梁?jiǎn)卧獑卧獎(jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換三維空間梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚾S空間梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨诘?2 2 章章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧诙碌诙?桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?、離散化，節(jié)

2、點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷一、離散化，節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)載荷對(duì)圖對(duì)圖(a)(a)直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為直梁，根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷情況，分為3 3段，每段段，每段為一個(gè)單元。單元之間和端點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)。梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的為一個(gè)單元。單元之間和端點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)。梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的物理模型是物理模型是“焊接焊接”。ifi 梁上任一節(jié)點(diǎn)梁上任一節(jié)點(diǎn)i i處有處有2 2個(gè)位移分量：個(gè)位移分量： 撓度撓度 及轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)角 。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移用列陣表示為：一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移用列陣表示為： Tiiiiiff i稱為節(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)i i的的節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移。對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移分量，梁上任

3、一節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移分量，梁上任一節(jié)點(diǎn)i i的載荷也有的載荷也有2 2項(xiàng)：項(xiàng)： 橫向力橫向力 和彎矩和彎矩 ，稱為，稱為廣義力廣義力。iZiM第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧荷先粲蟹植驾d荷，可近似地等效到節(jié)點(diǎn)上。梁上若有分布載荷，可近似地等效到節(jié)點(diǎn)上。 iQ稱為節(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)i i的節(jié)點(diǎn)載荷。的節(jié)點(diǎn)載荷。 TiiiiiMZMZQ結(jié)構(gòu)上一個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷用列陣表示為：結(jié)構(gòu)上一個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷用列陣表示為：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?、單元特性分析建立?jiǎn)單梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠确匠蘶 單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)局部編號(hào)：i

4、，j 。每節(jié)點(diǎn)有2個(gè)位移分量，單元共有4個(gè)位移分量4個(gè)自由度；v 分析一個(gè)從上述離散梁結(jié)構(gòu)中取出的典型梁?jiǎn)卧?e。單元長(zhǎng)度l，彈性模量E，截面慣性矩為J。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?Tjjiieff稱為單元e的單元節(jié)點(diǎn)位移列陣（向量）。 ev 單元節(jié)點(diǎn)位移：v 結(jié)構(gòu)中一個(gè)單元一般在結(jié)構(gòu)中一個(gè)單元一般在節(jié)點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)處的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分的截面上要受到結(jié)構(gòu)其它部分對(duì)該單元的作用力，稱為對(duì)該單元的作用力，稱為單元節(jié)點(diǎn)力單元節(jié)點(diǎn)力。該單元每節(jié)點(diǎn)。該單元每節(jié)點(diǎn)2 2個(gè)節(jié)個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量：剪力點(diǎn)力分量：剪力q q，彎矩，彎矩m m（分別與節(jié)點(diǎn)的（分別與節(jié)

5、點(diǎn)的2 2個(gè)位移分量對(duì)個(gè)位移分量對(duì)應(yīng)）。應(yīng)）。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧獀 注意：注意：1)如圖所示，節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力分量的正方向與單元局部坐標(biāo)軸正方向一致。因此，節(jié)點(diǎn)力正方向與材料力學(xué)中內(nèi)力正方向的定義不同！2)節(jié)點(diǎn)力是梁中的內(nèi)力；節(jié)點(diǎn)載荷是梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)上受到的外力。 Tjjiiemqmqp稱為單元e的單元節(jié)點(diǎn)力列陣（向量）。 ep單元節(jié)點(diǎn)力：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?2、單元特性的建立v與桿單元類似，一個(gè)梁?jiǎn)卧淖冃问怯晒?jié)點(diǎn)位移決定的，對(duì)于一與桿單元類似，一個(gè)梁?jiǎn)卧淖冃问怯晒?jié)點(diǎn)位移決

6、定的，對(duì)于一個(gè)受力平衡的單元，一定的節(jié)點(diǎn)位移總是與一定節(jié)點(diǎn)力相聯(lián)系，個(gè)受力平衡的單元，一定的節(jié)點(diǎn)位移總是與一定節(jié)點(diǎn)力相聯(lián)系，這個(gè)關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。這個(gè)關(guān)系就是單元的特性（剛度特性）。v 下面根據(jù)材料力學(xué)和單元?jiǎng)偠染仃囋匚锢硪饬x建立梁?jiǎn)卧匦?。下面根?jù)材料力學(xué)和單元?jiǎng)偠染仃囋匚锢硪饬x建立梁?jiǎn)卧匦?。在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時(shí)節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之在彈性、小變形前提下，顯然，單元保持平衡時(shí)節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間有線性關(guān)系：間有線性關(guān)系：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamqmq44434241343332312423222114131211v簡(jiǎn)記為：

7、eeekp第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧鲜骄褪橇簡(jiǎn)卧膭偠确匠獭Ｉ鲜骄褪橇簡(jiǎn)卧膭偠确匠獭?稱為單元?jiǎng)偠染仃?，其中每個(gè)元素都是稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕渲忻總€(gè)元素都是常數(shù)。常數(shù)。 ek為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)：為了求剛度矩陣元素，在上式中假設(shè)：00014321uuuu413121114321aaaassss方便起見(jiàn)，節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移分量用新的符號(hào)表示，剛度方程為方便起見(jiàn)，節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移分量用新的符號(hào)表示，剛度方程為：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaasss

8、s（這里1，2，3，4是單元自由度序號(hào)）第第1 1列剛度元數(shù)就是第列剛度元數(shù)就是第1 1個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量為個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量為1 1，其他位移分量皆為，其他位移分量皆為0 0時(shí)所有時(shí)所有節(jié)點(diǎn)力分量。節(jié)點(diǎn)力分量。剛度方程第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧瓷鲜鑫锢硪饬x求剛度矩陣元素：按上述物理意義求剛度矩陣元素： 0001e413121114321aaaassss按材料力學(xué)懸臂梁變形公式求節(jié)點(diǎn)力如下：按材料力學(xué)懸臂梁變形公式求節(jié)點(diǎn)力如下：撓度：撓度：EJlsEJlsu23122311轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：EJlsEJlsu221220聯(lián)立解出：聯(lián)立解出：2122113

9、1612alEJsalEJs再由梁?jiǎn)卧撵o力平衡條件得：再由梁?jiǎn)卧撵o力平衡條件得：41221431313612alEJslssalEJss梁?jiǎn)卧灰浦链艘亚蟪鰟偠染仃嚨牡谥链艘亚蟪鰟偠染仃嚨牡? 1列元素。列元素。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧僭O(shè)： 0010e423222124321aaaassss4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：同理，由梁的變形公式和平衡條件可求得剛度矩陣的第二列元素：lE

10、JalEJa4622212lEJalEJa2642232梁?jiǎn)卧冃瘟簡(jiǎn)卧冃斡蓜偠确匠炭傻茫河蓜偠确匠炭傻茫旱诙碌诙?桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧瑯拥姆椒梢郧蟪銎溆嗤瑯拥姆椒梢郧蟪銎溆?列元素，從而求出單元?jiǎng)偠染仃嚕毫性?，從而求出單元?jiǎng)偠染仃嚕?2222346266126122646612612lllllllllllllEJke顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲哂腥缦滦再|(zhì)：顯然，與彈簧和桿單元一樣，該梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚲哂腥缦滦再|(zhì)：1）對(duì)稱性；）對(duì)稱性；2）奇異性；）奇異性；3）主對(duì)角元素恒正）主對(duì)角元素恒正。 eeekpv剛度矩陣求得

11、后，單元特性就完全確定：剛度矩陣求得后，單元特性就完全確定：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧獀采用矩陣分塊方法和運(yùn)算規(guī)則，對(duì)梁?jiǎn)卧膭偠确匠贪垂?jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊。采用矩陣分塊方法和運(yùn)算規(guī)則，對(duì)梁?jiǎn)卧膭偠确匠贪垂?jié)點(diǎn)進(jìn)行分塊。單元節(jié)點(diǎn)力列陣分塊：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力列陣分塊： ejieppp ejie單元節(jié)點(diǎn)位移列陣分塊：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移列陣分塊：分塊形式的單元?jiǎng)偠染仃嚕悍謮K形式的單元?jiǎng)偠染仃嚕?ejjjiijiiekkkkk上面每一子塊均為上面每一子塊均為21子列陣。子列陣。 每一子塊均為每一子塊均為22子矩陣子矩陣 3、單元?jiǎng)偠确匠痰姆謮K eeekp第二章第二章 桿

12、單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧獀將上式按分塊矩陣乘法展開(kāi)，得兩個(gè)矢量方程（共將上式按分塊矩陣乘法展開(kāi)，得兩個(gè)矢量方程（共4個(gè)代數(shù)方程）：個(gè)代數(shù)方程）：ejeijeieiieikkpejejjeiejiejkkp因此，單元?jiǎng)偠确匠谭謮K形式表示為：因此，單元?jiǎng)偠确匠谭謮K形式表示為：ejiejjjiijiiejikkkkpp eeekpv從上面方程可以看出梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囎訅K的物理意義：相關(guān)節(jié)從上面方程可以看出梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囎訅K的物理意義：相關(guān)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)。點(diǎn)位移對(duì)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧獀 上面按分塊形式表示的單元?jiǎng)偠?/p>

13、方程上面按分塊形式表示的單元?jiǎng)偠确匠坦?jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系在整體分析中集成單元特性時(shí)更加簡(jiǎn)節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系在整體分析中集成單元特性時(shí)更加簡(jiǎn)潔，在有限元分析中廣泛采用。潔，在有限元分析中廣泛采用。2.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧诙碌诙?桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?、離散結(jié)構(gòu)的整體分析121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp343344433433343kkkkpp設(shè)已知分塊形式的各單元特性方程：設(shè)已知分塊形式的各單元特性方程：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?以

14、離散結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)作為隔離體，以節(jié)點(diǎn)以離散結(jié)構(gòu)的各節(jié)點(diǎn)作為隔離體，以節(jié)點(diǎn)2為例，建立其平衡方程。為例，建立其平衡方程。單元節(jié)點(diǎn)力的反作用力外載荷單元節(jié)點(diǎn)力單元節(jié)點(diǎn)力v 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2的受力分為兩類：的受力分為兩類： 1）外載荷：）外載荷： 2）單元（）單元（1）、（）、（2）上節(jié)點(diǎn)力的反作用力：）上節(jié)點(diǎn)力的反作用力：22,MZ22221212,mqmq第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧獀 由節(jié)點(diǎn)由節(jié)點(diǎn)2的靜力平衡條件得：的靜力平衡條件得： 221222221212222ppmqmqMZQ單元節(jié)點(diǎn)力的反作用力外載荷單元節(jié)點(diǎn)力單元節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2 2的外載荷的

15、外載荷= =節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)2 2對(duì)其所有相連單元的節(jié)點(diǎn)力之和（節(jié)點(diǎn)總內(nèi)力）對(duì)其所有相連單元的節(jié)點(diǎn)力之和（節(jié)點(diǎn)總內(nèi)力）也就是節(jié)點(diǎn)也就是節(jié)點(diǎn)2 2所受外載荷所受外載荷 要分配到相連的單元上。要分配到相連的單元上。2Q第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧獀由前面給出的單元（由前面給出的單元（1 1）、（）、（2 2）分塊形式）分塊形式單元?jiǎng)偠确匠檀牍?jié)點(diǎn)單元?jiǎng)偠确匠檀牍?jié)點(diǎn)2 2的平衡方程：的平衡方程：121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp 32232222122112122122)(kkkkppQ 121221112

16、112kkp 232232222222kkp第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧獀同理，由節(jié)點(diǎn)3的平衡可得： 43343333233223233233)(kkkkppQv由節(jié)點(diǎn)1、4的平衡得： 21121111111kkpQ 43443343344kkpQ43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 將上面4個(gè)節(jié)點(diǎn)的平衡方程合并，寫(xiě)成矩陣形式得：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?QK上式簡(jiǎn)寫(xiě)為：上式簡(jiǎn)寫(xiě)為： QK 結(jié)構(gòu)（

17、系統(tǒng)）有限元平衡方程結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）有限元平衡方程 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧猯 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大到整體規(guī)模后疊結(jié)構(gòu)總剛度矩陣也可以由各單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大到整體規(guī)模后疊加而成，方法同前面的彈簧單元和桿單元。加而成，方法同前面的彈簧單元和桿單元。l 由于單元?jiǎng)偠染仃囋跀U(kuò)大和疊加過(guò)程中，其具有的性質(zhì)（對(duì)稱由于單元?jiǎng)偠染仃囋跀U(kuò)大和疊加過(guò)程中，其具有的性質(zhì)（對(duì)稱、奇異、主對(duì)角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持、奇異、主

18、對(duì)角元恒正）不變，因此結(jié)構(gòu)總剛度矩陣仍然保持這些性質(zhì)。這些性質(zhì)。l 總剛度矩陣中有大量元素為總剛度矩陣中有大量元素為0 0，因此矩陣具有稀疏性，因此矩陣具有稀疏性l 非零元素沿主對(duì)角線呈帶狀分布（節(jié)點(diǎn)編號(hào)滿足一定條件）。非零元素沿主對(duì)角線呈帶狀分布（節(jié)點(diǎn)編號(hào)滿足一定條件）。 結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的討論：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?總之，從彈簧、直桿和梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩總之，從彈簧、直桿和梁結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的特點(diǎn)可以歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的陣的特點(diǎn)可以歸納出結(jié)構(gòu)有限元總剛度矩陣的性質(zhì)如下：性質(zhì)如下： 1 1）對(duì)稱性；）對(duì)稱性； 2 2）奇異

19、性；）奇異性； 3 3）稀疏性；）稀疏性； 4 4）非零元素帶狀分布）非零元素帶狀分布第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?結(jié)構(gòu)有限元平衡方程的討論：43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的總節(jié)點(diǎn)力（各節(jié)點(diǎn)對(duì)相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每總節(jié)點(diǎn)力（各節(jié)點(diǎn)對(duì)相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)該行對(duì)應(yīng)總節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)行各子塊表征

20、相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)該行對(duì)應(yīng)總節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)總總剛子塊的物理意義。剛子塊的物理意義。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?3214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk平衡方程右端是各節(jié)點(diǎn)外載荷，左端是由節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠绕胶夥匠逃叶耸歉鞴?jié)點(diǎn)外載荷，左端是由節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃囎訅K疊加計(jì)算得到的總節(jié)點(diǎn)力。因此，有限元平衡方程表矩陣子塊疊加計(jì)算得到的總節(jié)點(diǎn)力。因此，有限元平衡方程表征了系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反作用總力（征了系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反

21、作用總力（總節(jié)點(diǎn)力）之間的平衡?？偣?jié)點(diǎn)力）之間的平衡。結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為：結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為： 總節(jié)點(diǎn)力（內(nèi)力）總節(jié)點(diǎn)力（內(nèi)力） = = 節(jié)點(diǎn)外載荷。節(jié)點(diǎn)外載荷。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.3 2.3 簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧?jiǎn)單梁?jiǎn)卧?3214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 對(duì)于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷對(duì)于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進(jìn)行約束處理，（支反力），因此，平衡方程求解前必須進(jìn)行約束處理，分離出

22、關(guān)于未知位移的方程進(jìn)行求解。然后再用求出的位分離出關(guān)于未知位移的方程進(jìn)行求解。然后再用求出的位移，通過(guò)剩余方程求出支反力。移，通過(guò)剩余方程求出支反力。第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧?iiiivu iiiiMYXQ Q平面剛架平面剛架模擬模擬第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?單元有單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)：個(gè)節(jié)點(diǎn)：i，j 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量：局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量： 軸向位移：軸向位移： 橫向撓度：橫向撓度： 轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角： 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)力分量：局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)力分量： 軸向力：軸向力： 橫向剪力：橫向剪力： 彎矩：彎矩：2.

23、4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧猣Tqm第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?單元有單元有6個(gè)位移分量個(gè)位移分量 6個(gè)自由度個(gè)自由度 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移列陣： 單元節(jié)點(diǎn)力列陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力列陣：2.4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧诙碌诙?桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧?建立單元特性方程v在小變形假設(shè)下，梁的軸向變形和彎曲變形互不偶合?？梢苑謩e研究?jī)煞N變形模式下的剛度特性。jjjiiiffv因此，組合變形下的平面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠炭梢杂稍摼植孔鴺?biāo)系下的軸向變形剛度方程（相當(dāng)于一維桿單元）和彎曲變形剛度方程（相當(dāng)于簡(jiǎn)單梁?jiǎn)卧┋B加而成：第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧诙碌诙?桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧猧 1000cossin0sincos第二章第二章 桿單元與梁?jiǎn)卧獥U單元與梁?jiǎn)卧?.4 2.4 平面內(nèi)一般梁?jiǎn)卧矫鎯?nèi)一般梁?jiǎn)卧?Tjjjiiievuvu TjyjxjiyixiemPPmPPp節(jié)點(diǎn)力矢量與節(jié)點(diǎn)位移矢量滿節(jié)點(diǎn)力矢量與節(jié)點(diǎn)位移矢量滿足相同的坐標(biāo)變換關(guān)系。足相同的坐標(biāo)變換關(guān)系。第二章