偽譜最優(yōu)控制方法

1、偽譜最優(yōu)限制方法,又稱(chēng)為正交配置法,主要利用Lagrange插值多項(xiàng)式近似離散最優(yōu) 限制問(wèn)題中的狀態(tài)變量和限制變量,將連續(xù)型最優(yōu)限制問(wèn)題轉(zhuǎn)化成離散形式的非線性規(guī)劃(NLP)問(wèn)題,然后利用相應(yīng)的 NLP算法求解.根據(jù)配置點(diǎn)的不同,偽譜法主要分為 Legendre 偽 譜 法1、Gauss偽 譜 法2-3和 Radau偽 譜法4-5 3種.為了利用最優(yōu)限制理論研究串聯(lián)式混合動(dòng)力的能量治理策略,需要建立動(dòng)力總成和各個(gè)能量源的數(shù)學(xué)模型.文中忽略動(dòng)力系統(tǒng)傳動(dòng)部件的效率損失.串聯(lián)混合動(dòng)力驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的能量治理為復(fù)雜的非線性系統(tǒng),其最優(yōu)限制問(wèn)題是尋找最優(yōu)限制序列使得給定的性能指標(biāo)能夠達(dá)到最小,同時(shí),也要滿(mǎn)足一定

2、的機(jī)械和電氣約束.本文研究重點(diǎn)在最優(yōu)限制理論的應(yīng)用,采用較簡(jiǎn)單的模型進(jìn)行混合動(dòng)力車(chē)輛能量治理的研究.整車(chē)能量治理問(wèn)題作為最優(yōu)限制問(wèn)題求解,需要形成通用形式表達(dá)的最優(yōu)限制問(wèn)題.非線性最優(yōu)限制問(wèn)題(Optimal Control Problem,OCP層指性能指標(biāo)、狀態(tài)方程或者約束條件中存在非線性函數(shù)項(xiàng)的最優(yōu)限制問(wèn)題,通用的表述形式為確定狀態(tài)x,限制 u(t)使性能泛函 J取得最小值：J二中出巾),仙,3)4)+ 卜),1|1)威2其中狀態(tài)方程為:雙.一= 0 酸( 2,2)邊界條件為工= 0 e !Ky(23)路徑約束為工0 e R*(24)狀態(tài)盤(pán)和限制量的上下限約束如下式；x(z) xi/)

3、x(rh f e 加(2.5)u(Z) M u(/) W u(0, / e mm,箕中.此處的性能泛函J由兩局部組成,第一項(xiàng)反響對(duì)終端性能的要求,稱(chēng)為終 端指標(biāo)函數(shù),如果目標(biāo)性能泛函僅僅包含第項(xiàng),稱(chēng)為純端型或苫梅耶型目標(biāo)泛函 假設(shè)僅僅包占第二項(xiàng)的形式的性能指標(biāo)稱(chēng)為枳分型或者拉格朗口型口標(biāo)泛函口如式24 所示的為綜合型或者BHza型目標(biāo)泛函.其中的梅耶項(xiàng)幻*可以通過(guò) 變換轉(zhuǎn)化為拉格朗日項(xiàng),u(f)分別為系統(tǒng)狀態(tài)量和限制量,狀態(tài)方程和邊界條 件亦可以看作是施加于系統(tǒng)的等式的束,此處電池模型果用的是簡(jiǎn)單的內(nèi)阻模型叫 如圖工6所示.圖2.6電池電路模型根據(jù)魚(yú)池的電路模型可知當(dāng)電池輸出功率為尸風(fēng),輸出電

4、壓為九,兩者表達(dá)式可由電路模型得到:(2-8)幾=%-兀%尸M Ubui - itw從數(shù)學(xué)上看,混合動(dòng)力汽車(chē)能量治理問(wèn)題就是利用一系列離散限制使一定時(shí)間圍車(chē)輛行 駛的的性能指標(biāo)到達(dá)最優(yōu),故可將能量治理問(wèn)題抽象為最優(yōu)限制問(wèn)題,其核心任務(wù)就是獲得最優(yōu)的限制律.直接法理論優(yōu)化問(wèn)題一般分為參數(shù)優(yōu)化離散、靜態(tài)和過(guò)程優(yōu)化連續(xù)、動(dòng)態(tài)兩大類(lèi).最優(yōu)限制問(wèn) 題本質(zhì)上是一個(gè)連續(xù)、動(dòng)態(tài)的過(guò)程優(yōu)化問(wèn)題, 采用動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法求解,比方變分法和極大值原理.但現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的高速開(kāi)展使得靜態(tài)/動(dòng)態(tài)、離散/連續(xù)的界限越來(lái)越模糊.目前基于求解非線性規(guī)劃問(wèn)題的參數(shù)優(yōu)化方法越來(lái)越多應(yīng)用于求解類(lèi)似于最優(yōu)限制問(wèn)題或者動(dòng)態(tài)軌 跡優(yōu)化問(wèn)題,這就

5、是軌跡優(yōu)化中的直接法.直接法通過(guò)引入時(shí)間離散網(wǎng)格,將限制變量和/或狀態(tài)變量離散,并將動(dòng)態(tài)約束條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束條件,最終使原來(lái)的連續(xù)軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)離散參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題即非線性 規(guī)劃問(wèn)題Nonlinear Programing, NLP,結(jié)合非線性規(guī)劃求解器即可獲得最優(yōu)解.優(yōu)化變量通 常包含離散網(wǎng)格點(diǎn)上的限制變量序列和/或狀態(tài)變量序列直接法根據(jù)離散化變景的不同可分為三類(lèi)口第類(lèi)方法為自接配點(diǎn)法,同時(shí)將狀 態(tài)變量和限制變母禽散化,微分方程便轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束條件,比方通過(guò)引入離散網(wǎng)格 可以將微分方程占氏.在某離散時(shí)間節(jié)點(diǎn)li處采用梯形積分公式得到 gx + 0,5*i+/x力相當(dāng)于是通過(guò)有限差分法來(lái)

6、近似導(dǎo)致項(xiàng),此處 /=/依,科明.進(jìn)而將高散的動(dòng)態(tài)約束條件改號(hào)成殘值形式,即 = + 1-*-0.5由/ + 1+/取 +.離散的動(dòng)態(tài)約束條件就等階于要求殘值凡在節(jié) 點(diǎn)上為零.優(yōu)化的過(guò)程就是不停調(diào)整狀態(tài)和限制量使這些殘值趨于零,同時(shí)也要滿(mǎn)足 邊界條件,并使性能指標(biāo)最小.這樣,這些殘值表達(dá)式和原最優(yōu)限制問(wèn)題中的其他約 束一起構(gòu)成配點(diǎn)法中非線性規(guī)劃問(wèn)題的約束條件.這一類(lèi)算法收斂速度快,并且收斂 半處增大.是目前應(yīng)用較多的求解最優(yōu)限制問(wèn)題的的方法之一.第二類(lèi)方法是數(shù)值積分法只離散限制變景,對(duì)澈分方程進(jìn)行顯式數(shù)值積分,同 忖得到狀志變顯序列,進(jìn)而得到終端時(shí)刻的狀態(tài).優(yōu)化的過(guò)程就是不斷調(diào)整限制變 最序列

7、,使得終端差束條件得到滿(mǎn)足并使性值指標(biāo)取極值.這種方法需要進(jìn)行數(shù)值積 分,收點(diǎn)是計(jì)算屬較大,代及算法是直接單步或多步打靶法.第三類(lèi)方法,是只離散狀態(tài)變最的微分包含法,該方法通過(guò)求解局部狀態(tài)方程將 詫制變最消去,并將余下的狀態(tài)方程進(jìn)行離散從而轉(zhuǎn)化為殘值形式余下的思路和配 點(diǎn)法類(lèi)似,只不過(guò)此處優(yōu)化變量只有狀態(tài)變埴序列.依據(jù)以上所述不同的變盤(pán)進(jìn)行離散后的連續(xù)最優(yōu)限制問(wèn)眄轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn) 題,求解NLP的算法已經(jīng)相對(duì)較成熟,主要有罰函數(shù)法、SQPm Sequence Quadratic法、內(nèi)立法和信賴(lài)域法,口前存在的求解軟件包自以稀疏SQP算法為根底 為 SNORRSparse Monlinear

8、Uptimizur軟件包以?xún)?nèi)點(diǎn)法為根底的 IPOPTClnlerior Point Optimizer、以囊括了兩種內(nèi)點(diǎn)法和 種線性SQP方法為根底的KNITRO,等等口克接法的形式有很多.優(yōu)化變最的選擇和動(dòng)態(tài)約束的離散方法有很大的員活性. 假設(shè)將假分包含法看成特殊的配點(diǎn)法,那么可以用略地將直接法分成直接配點(diǎn)法和直接打 靶法兩大類(lèi).早期的直接配點(diǎn)法采用固定階分段多項(xiàng)式近似狀態(tài)量,求解收斂速度較 低*目前正交卷項(xiàng)苴被用來(lái)近似狀態(tài)和限制最,不僅梃高了計(jì)算精度,也同時(shí)加速了 收斂速度T又被稱(chēng)為偽譜法.因此,偽譜法在越來(lái)越多的澳際問(wèn)題中表現(xiàn)出很好的優(yōu) 勢(shì),為求解復(fù)雜的非線性最優(yōu)限制問(wèn)題提供一個(gè)方向.基

9、于MMab環(huán)境下采用直接法 求解最優(yōu)限制問(wèn)題的軟件包也日漸增名,代表性的軟件包有GPOPS, RIOTS、DIDO, DIRECT. PROPT 串偽譜法偽譜法與普通足點(diǎn)法最大的差利在它使用數(shù)值微分來(lái)近似導(dǎo)數(shù)項(xiàng),采用基F Lagrange插低的全局近似或者局部近似,從而得到節(jié)點(diǎn)上的離散動(dòng)力學(xué)方程,也即殘 值表達(dá)式；而普通配點(diǎn)法采用數(shù)值積分或有限差分方法得到微分方程,即動(dòng)態(tài)約束在 典散節(jié)點(diǎn)上的殘值.構(gòu)造偽譜法離散網(wǎng)格點(diǎn)行兩個(gè)特點(diǎn),第一,它們不是任給的均勻 澗格點(diǎn),而是正交多項(xiàng)式或其蛆合的零點(diǎn)；第二,它們通常是Gmiss積分點(diǎn),也就是 根據(jù)相應(yīng)權(quán)函數(shù)可以利用被積函數(shù)在偽譜網(wǎng)格點(diǎn)上的值來(lái)求積分值J常

10、用正交驀項(xiàng)式 仃Legendre多項(xiàng)式、Chebyshev多項(xiàng)式和Jocobi多項(xiàng)式,而每一種正交卷項(xiàng)式可以 時(shí)應(yīng)不同的 _iau55 枳分點(diǎn)!l|l Gauss-LobaTto 節(jié)點(diǎn)、Gauss T.和 GamRn出u】H 點(diǎn)： 這三類(lèi)Tauss枳分點(diǎn)儂次包含兩個(gè)時(shí)間邊界節(jié)點(diǎn)、不含時(shí)間邊界守點(diǎn)和一個(gè)時(shí)間邊 界節(jié)點(diǎn).利用不同正交多項(xiàng)式和Gauss積分點(diǎn)組合口I構(gòu)造出多種偽譜法格式,常見(jiàn) 偽譜法格式存 Chebyshev-Gauss-Lobalco (CGL) * Ixcndre-Gauss 、 LG)Lcgcndrc-Gauss-Radau(LGR). Legendre-Gmu監(jiān)工曲3(1.億

11、仃)等“偽潛法與大局部 同接法相比.有個(gè)理論上的亮點(diǎn),即可以利用其結(jié)果來(lái)估計(jì)間接法中的協(xié)態(tài)變量曲 絕大局部的宜接法,由于沒(méi)有利用最優(yōu)限制所誘導(dǎo)的一階最優(yōu)必要條件,因此很難保 證結(jié)果的最優(yōu)特性.而在偽譜法中,偽譜法禽散原連續(xù)軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī) 劃問(wèn)題,這個(gè)小線性規(guī)劃問(wèn)題的一階必要條件網(wǎng)(即心皿h-Kuh+Tu&cr或KKT條 件)可以證實(shí)H最優(yōu)限制所誘導(dǎo)的最優(yōu)必要條件足等價(jià)的.即乘子等價(jià)映射.如圖4.1 所示,這一結(jié)果溝通了直接法和間接法即最優(yōu)限制理論的聯(lián)系.推導(dǎo)詳見(jiàn)第六章.其 中KKT條件是建立乘了等價(jià)映射的第一步是推導(dǎo)H線性規(guī)劃問(wèn)題的一階必要條件, 推導(dǎo)如下.對(duì)于式(44)所述非線性

12、規(guī)劃問(wèn)題： niin/(x) si. = 0 f = .抑 儂、)0 j = 12/口)xe R其中N Xd為口維優(yōu)化變量,/為目標(biāo)函數(shù).等式約束 而=01 = 1,2明和不等式約束或富)WO = 12.3都足夠光滑,其中my,可以 將上述等式約束和不等式約束分別記為冊(cè)D = 0( = 12m)和M、) = 0.U = l2 p), 引入Lagnmg0函數(shù)和未知Lgran爐乘廣可將上述的帶有約束的優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)約束極 正響題,這樣便可以得到上述非畿性規(guī)劃問(wèn)題的KKT條件：定義Lagrange函數(shù)L為:(4.2)其中 H(sO；力心)= 0.(,= 1,2加卜 G(x):(x)0.(7 = 1,

13、2p)其中入=和rYr.W網(wǎng)VO是分別與等式約束和不等式約束相對(duì)應(yīng)的Lagran吃乘已 當(dāng)為 非線性規(guī)劃問(wèn)題(4.1)的極小值點(diǎn)時(shí),需要滿(mǎn)足一階必要條件,即KKT條件.如下：守=入-口H(/) 書(shū)?(十)=0* V(爐AR = *) = 0(4.3)jiG(i*) = 0tg0上式中的微分算符U, = %,%-底L的化M雎化 偽譜法禽戚后的MP優(yōu)化XLP 的 KKT 條T融子儕映射離散為兩點(diǎn)總值問(wèn)題圖41桑/書(shū)價(jià)映射示意BB乘子等價(jià)映射在LGL、LGR. LG和CGL偽譜法格式中已經(jīng)建立并得到證實(shí), 在應(yīng)用上,乘子等價(jià)映射可以用來(lái)估計(jì)間接法中的協(xié)態(tài)變房*同時(shí)也可以想據(jù)估計(jì)的 Hamiltoio

14、函數(shù)來(lái)判斷結(jié)果的最優(yōu)性能.關(guān)于偽譜法.以式(2+1)到(2.5)所述最優(yōu)限制問(wèn)題為例,上述的BNza問(wèn)跑忖 間取值范圍是加外 好入歸一化時(shí)間變量V 1,將原最優(yōu)限制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)間 口上的標(biāo)掂最優(yōu)限制問(wèn)超：仃一 V + Fozrd-將式(4J)代入到(2.1) - (25) o時(shí)間區(qū)間變?yōu)閃K,Bolza問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為以下適合偽譜法的標(biāo)本Bolza問(wèn)題：min二例j L(K(T)/(!)#T * -IJ工;加幻,t e-1J(4.5)(46)(451也幻 0. r e-IJ(4.8)本章第三節(jié)所采用例子是基于Radau偽譜法進(jìn)行求解的.針對(duì)以上經(jīng)過(guò)時(shí)間 變換得到的品優(yōu)限制問(wèn)題簡(jiǎn)單介紹Radau的求

15、解過(guò)程口狀態(tài)和限制變量離散化Radau偽講法求解最優(yōu)限制問(wèn)題的根本思路為：將未知的狀態(tài)變量和限制變量在 一系列Lugundru.(iaus-Rathu( LGR)點(diǎn)上離散化,然后采用Lagrange插值多項(xiàng)式逼 近真實(shí)的狀態(tài)變量與限制受量,再通過(guò)對(duì)被近似的狀態(tài)變量表達(dá)式求導(dǎo)代替狀態(tài)微分 方程.LQR點(diǎn)為多項(xiàng)式尸=+P+)的零點(diǎn),有N“個(gè)離散點(diǎn)是位于區(qū)同卜1.1內(nèi), 其中右側(cè)端點(diǎn)-1也為一個(gè)的配置點(diǎn).其中尸為用階以趾nd%多項(xiàng)式,表達(dá)式及其 遞推公式為二IFG = R7；LQ-IW(4 2 A J dr汽*力=1.產(chǎn)】(r) r.(4.10)(川4】)融*仃片(2川十肌人白)川小一小)(4.11

16、)其中配置點(diǎn)記為仁1,2其中門(mén)=1,在配置點(diǎn)處有離散狀態(tài)呈工和離散控 制量U,*用Lagmnge插值多頊?zhǔn)降木€性綱合來(lái)近似狀態(tài)變量/和限制變量U可 得到如卜表達(dá)式：jUt)為 X(r) = E 乙(門(mén)乂(匚)=(4J2) J-lEl乙E二 n 1-IL (2,N)(4J3)門(mén)14.14)(4.15)粹*U(T)之 1= Z /T)U(h)=工上(工)1 jiri出F r %)= n 廣島向f 0 一匯其中工,為L(zhǎng)flglFC印插值多項(xiàng)式.甚于上述狀態(tài)變量和限制變量的離散化結(jié)果, 需要進(jìn)一步時(shí)狀態(tài)方程和溝束條件等進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)完j微 分 矩 陣 與 導(dǎo) 數(shù) 近 似 系統(tǒng)的狀態(tài)方程含有狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的

17、導(dǎo)數(shù)項(xiàng),此處勸導(dǎo)數(shù)的近似一股是指整體 近似.在偽譜法中,函數(shù)的Lagran圖插值基函數(shù)是全局定義的,而導(dǎo)致的偽譜近似 是通過(guò)對(duì)Lagrange插值多地式求溫分得到的,因此它屬于整體近似方法;除比之外, 通常的有限差分法屬局部近似,依賴(lài)于Ugrange局部插值近似.對(duì)Lagrange插值 名項(xiàng)式(4J2)求導(dǎo)可得:匕i(r)片支(門(mén)=Z L(r)X(4J6)只考虐LGR配點(diǎn)上的狀態(tài)變異的導(dǎo)數(shù)值,令二門(mén),代入上可得： 其.虱G)制 X(TO = L(g)X,二Z DX,(4J 7)Ii-l其中,XI2-,V4, D為一個(gè)(N-l)xN的矩陣.稱(chēng)為狀態(tài)微分矩陣口 那么狀態(tài)方程(4.6)可以由下面的約

18、束條件代替：* Dg K r *;風(fēng)廿, k = 127N7(4 J 8)i-i2萬(wàn)一1v hi( x( n ).u(nX 門(mén)；他 “i1|lrV-.|(4.19)其中.A是Ga嶺枳分公式中的積分權(quán)重,也可以事先計(jì)價(jià)出AMii(r),r；hi, ft) =s 工門(mén)),)*1v i(4.19)A m jtAfXi. Ih. ri:.)*T其中,H4,gl2M,是Uhusb枳分公式中的枳分權(quán)重,也可以事先“算出NLP問(wèn)題的形成通過(guò)把路在的束在LGR點(diǎn)上進(jìn)行離散化以及將狀態(tài)變吊限制變呆近似多頂式代 人(4,5)fij(4.8)可以得到離散形式的非戰(zhàn)性規(guī)劃問(wèn)題,如所a minJ J =中(X j露 X.v, “) + 二 Z w必.Ik,門(mén);地 “卜(4.20)IA-ljsx E Dl龍-“X1.5,國(guó)田)=0,* = 1