第十章曲線曲面積分

1、高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第 1 頁 學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名第十章曲線曲面積分§101 對弧長的曲線積分一、選擇題1. 設(shè)曲線弧段 AB 為，則曲線積分有關(guān)系().(A)ABf ( x, y)dsf (x, y)ds ；( B)f ( x, y) dsf ( x,y)；dsBAA BB A( C )A Bf ( x,y) dsf ( x, y) ds；B A(D)ABf ( x, y)dsBAf ( x, y)ds 答(B).2.設(shè)有物質(zhì)曲線C : x t, yt2t 3(0 t 1),其線密度為2 y它2, z,3的質(zhì)量 M().(A)11t2t4dt;( B )121t24ttt dt

2、 ;00(C)11t 2t 4 dt ;(D)1t1t 2t4 dt .答 (A).003.設(shè) OM 是從 O(0,0)到 M (1,1) 的直線段 ,則與曲線積分Ie x2y2dsOM不相等的積分是 ().(A)12dx ;(B)12dy ;e 2 xe2 y00(C)2er dr ;(D)12dr答(D).0er04 .設(shè)L是從A(0,0)到B(4, 3)的直線段 則曲線積分( xy)ds().,L(A)4x3xdx ;(B)33ydy ;4y004(C)33yy1+9dy ;(D)4x3x1+9dx .答(D).441601605. 設(shè) L 為 拋 物線 y x2 上 從 點 (0, 0

3、)到點 (1, 1)的 一段 弧 , 則 曲線 積分yds().L(A)14x2 dx ;(B)11ydy ;1y00(C)14 x2 dx ;(D)111 dy .答(C) .x 1y00y6. 設(shè)L是從A(1,0)到 B(1, 2) 的直線段 ,則曲線積分(xy)ds ().L(A)2;(B) 2;(C)2;(D) 22.答(D).高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第2頁學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名二、填空題1.設(shè) L 是圓周 x2y21,則 I1Lx3ds 與 I 2Lx5 ds 的大小關(guān)系是.答:I1I 2 .2.設(shè) L 是連接 A(1,0) 與 B(0,1) 兩點的直線段 ,則( xy)ds.L答：2

4、.3.設(shè) L: xacost, ya sint (0t2), 則(x 2y2 )n ds.L答： 2a 2 a1.4.設(shè) L : xa cost, yasin t (0t2), 則( x2y 2 )ds.L答： 0.5.設(shè) L 是圓周 x2y21,則 Ix2 ds.L答： .et cost , yet sin t, zet 上相應(yīng)于6.設(shè): xt從0變到2的這段弧 則曲線,積分(x2y2 )ds.L答 : 3 (1 e 2 ) . 27. 設(shè) L 為曲線 y24 x 上從點 A(0,0) 到點 B(1, 2) 的弧段 ,則y1d.x sL答：3 .三、解答題1.計算下列對弧長的曲線積分：(1)

5、xds 其中為由直線 y x 與拋物線 yx2 所圍區(qū)域的整個邊界 .L答：15621) .(512(2)e x 2y2ds 其中 L 為圓周 x2y2a2，直線 y x 及 x 軸在第一象限內(nèi)L所圍成的扇形的整個邊界 .答：ea 2a2.4(3)x2 yzds ，其中為折線 ABCD ，這里 A,B,C, D 依次為點 (0,0,0) 、(0,0,2) 、 (1,0,2) 、 (1,3,2) .高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第3頁學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名答：9 .(4)y2 ds 其中 L 為擺線一拱 x a(tsin t ), y a(1 cost) (0t 2 ) .L答：34232a5.3(5)(

6、 x2xa(costt sint ) .y2 )ds 其中 L 為曲線(0 t 2Lya(sin tt cost )答：2 2a3 (12 2 ).§102 對坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題1.設(shè)AB為由A(0,)到B(,0)的直線段 則sin ydxsin xdy().,AB(A)2 ;(B)1;(C) 0;(D) 1.答(C) .2.設(shè)C表示橢圓 x2y21 其方向為逆時針則 ( xy2 )d x().a2b2,Cb2 ;(A)ab ;(B)0 ;(C) a(D) 1.答(B).3. 設(shè) C 為由 A(1,1)到 B(2,3) 的直線段 ,則(x 3y)dx( y2x)dy().C(A

7、)22 x) (2 x3x)dx ；(B)22x1) (2 x1 3x)dx( x( x11(C)23)2(5x1)dx ;(D)23)(5 x1)dx .答(C) .(7 x(7 x114. 設(shè)曲線 C 的方程為 xcost, ysin t(0 t) ,2則x2 ydyy 2 xdx()C(A)2 cos tsin tsintcost )dt ； (B)2(cos2 tsin 2 t)dt00(C)2 costsint2dt2 sin tcostdt;(D)12 dt .答 (D) .0sin t02cost205. 設(shè) f (u) 連續(xù)可導(dǎo) , L 為以原點為心的單位圓,則必有 ().(A

8、)f ( x2y 2 )(xdx ydy)0； (B)f ( x2y2 )( xdyydx)0LL高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第 4 頁 學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名(C)Lf ( x2y2 )(dxydy)0; (D)f (x2y2 )( xdxdy) 0 .答 (A).L6.設(shè) C是從 O(0,0沿)折 線 y1x 1到 A(2,0)到的折線段,則xdyydx()C(A) 0;(B)1;(C)2;(D)2.答(C).二、填空題1.L為xoy平面內(nèi)直線xa上的一段 則P( x, y)dx.,L答： 0.2.設(shè)L為 yx2 上從O(0,0)到A(2,4)的一段弧 則( x2y2 )dx.,L答：56.153

9、.設(shè)L為 yx2 上從O(0,0)到A(2,4)的一段弧 則( x2y2 )dy.,L答：40.3 為圓弧y4 xx2 上從原點到A(2,2)的一段弧 則xydy.4L,L答： 4.35L為圓周 ( x a) 2y2a2 (a0) 及 x 軸所圍成的在第一象限的區(qū)域設(shè)的整個邊界 (按逆時針方向繞行),則d.xyyL答：a32.6設(shè)( x2 y)dx(2 x3y)dy9 ,其中 L 為 xoy 平面上簡單閉曲線,方L向為逆時針 .則 L 所圍成的平面區(qū)域D 的面積等于.答：3.2三、解答題計算( x y)dx ( y x)dy 其中L為:1,L高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第5頁學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名(1

10、) 拋物線yx2 上從(1,1)到 (4,2)的一段弧;(2) 從點 (1,1)到點 (4,2) 的一直線段 ;(3) 先沿直線從點 (1,1)到點 (1,2) ,然后再沿直線到點 (4,2) 的折線 ;(4) 曲線 x 2t 2t1, yt 2 1 上從點 (1,1)到點 (4,2)的一段弧 .答案：34;(2)11;(3) 14;32(1)(4).33計算ydxxdy其中L為圓周xRcost, yRsin t上對應(yīng)t從 0 到的2L2一段弧 .答： 0.3計算( xy)dx( xy)dy2y22(方向按逆時針 ).Lx2y2,其中 L 為圓周 xa答：2.4計算xdxydy( xy1)dz

11、 其中為從點 (1,1,1) 到點 (2,3, 4) 的直線段 .答： 13.5. 計算( x22xy)dx( y22xy)dy ,其中 L 是 y x2上從點 (1,1)到點L(1,1)的一段弧 .答：14.15§ 103格林公式一、選擇題1. 設(shè) C 是圓周 x2y2R2 , 方向為逆時針方向,則x2 ydx xy2 dy 用格C林公式計算可化為().2R3dr ；(B)2R(A)drdr 2dr ;0000(C)2R4r3 sincosdr ; (D)2R答 (A).0ddR2r dr .0002. 設(shè)L是圓周 x2y2a2,方向為負(fù)向 ,高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第6頁學(xué)院專

12、業(yè)學(xué)號姓名則 ( x3x2 y)dx( xy2y3 )dy = ().L(A)2a3 ;(B)a4 ;(C) ;(D)a4 .答(D).323.設(shè) L 是 從 O( 0 , 0 沿) 折 線 y2x 2到 A(4,0)到的折線段,則xdyydx ()C(A)8 ;(B)8 ;(C)4;(D) 4.答(B).4. 設(shè) P(x, y), Q( x, y) 在 單 連 通 區(qū) 域 D 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , 則LPdxQdy 在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是在D內(nèi)恒有().(A)QP0 ;(B)QP0;xyxy(C)PQ0 ;(D)PQ0.答(B).xyxy5.設(shè) L 為一條

13、不過原點 ,不含原點在內(nèi)的簡單閉曲線,則xdyydx().L x24y 2(A)4;(B);(C) 2;(D)0 .答(D).6.設(shè)L為一條包含原點在內(nèi)的簡單閉曲線,則 Ixdyydx().L x24y 2(A) 因為QP,所以I0 ;(B) 因為Q ,P 不連續(xù) ,所以 I 不存在 ;xyxy(C)2;(D) 因為QP所以沿不同的L , I的值不同.答 (C).xy,7.表達(dá)式 P( x, y)dxQ( x, y)dy 為某函數(shù) U (x, y) 的全微分的充分心要條件是 ().(A)PQ(B)PQx;y;yx(C)PQ;(D)PQ.答(D).xyyx8.已知 ( xay)dxydy 為某函

14、數(shù) U ( x, y) 的全微分 ,則 a().( xy) 2高等數(shù)學(xué)第十章 曲線曲面積分第7頁學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名(A)0;(B)2;(C) ;(D)1.答(B).19. 設(shè) L 是從點 A(1,1)到點 B(2,3) 的直線段 ,則(x3y)dx(y3 )d().Lx y(A)2( x3)dx36)dy ;(B)26x)(2 x3x)dx ;1( y( x11(C)2(3x1)dx33y 1)dy ;(D)21)(5x1)dx .1( y(3 x121答(A) .10*.設(shè) f ( x) 連續(xù)可導(dǎo) ,且 f (0)1,曲線積分(,)f ( x)dy 與路徑無關(guān) ,則 f ( x)().I4 3

15、yf ( x) tan xdx(0,0)(A)1 cosx ;(B) 1 cos x ;(C) cosx ;(D)sin x .答 (C) .二、填空題1.設(shè)區(qū)域 D 的邊界為 L ,方向為正向 , D 的面積為 .則 xdyydx.L答:2.2. 設(shè) f ( x, y) 在 D :x2y21上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), L是 D的邊界正向 ,4則f y ( x, y)dy3 yfx ( x, y)dx.L答:6.3. 設(shè) L 是圓周 x2y29 ,方向為逆時針 ,則(2 xy y)dx( x24x)dy.L答:27.4. 設(shè)L 為閉曲線xy 2 方向為逆時針 , a,b 為常數(shù) ,則axdybyd

16、x.L=xy答 : 4(a b) .5. 設(shè) ABCDA 為以點 A(1,0), B (0,1),C ( 1,0),D (0, 1)為頂點的正方形逆時針方向一周 ,則dxdy.L x=y高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第 8 頁 學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名答: 0.6. 設(shè) L 為圓周 x2y21 上從 A(1, 0)到 B(0,1) 再到 C(1, 0) 的曲線段 ,則ey 2dy.L答: 0.7.(2,2)23)dy.2xydx (x(0,0)答: 2.8. 設(shè) L 為直線 yx 從 O(0,0) 到 A(2,2) 的一段 ,則ey2dx 2xyey2dy.L答 : 2e4 .9*.設(shè) L為拋物線上一段弧

17、, 試將積分P( x, y)d xQ( x, y)dy化為對弧長L的曲線積分 ,其中 P( x, y),Q( x, y) 在 L 上連續(xù) .答 :P2xQL 14x 2 ds.10*. 設(shè) f ( x) 連續(xù)可導(dǎo) ,且 f (0) 0 ,曲線積分 f (x)ex sin ydx f ( x)cos ydy 與路徑無關(guān) ,則 f (x) =.L答 :exe x.2三、解答題1.計算ydxxdy，其中 L 為圓周 ( x1)2y 22的正向 .L 2( x2y2 )答 :.2.計算(2 xy 4)dx (5y3x6)dy ，其中 L 是頂點分別為(0,0) 、L(3,0) 和(3,2)的三角形正向

18、邊界 .答 :12 .3.計 算( 2x y3y2co sx ) dx(1y2sixn2 x32y , 其)yd 中 L 為 拋 物 線L2xy2 上由點 (0,0)到,1 的一段弧 .2高等數(shù)學(xué)第十章 曲線曲面積分第9頁學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名答 :2.44.計 算( x2y)dx( x sin 2 y)dy ， 其 中 L 是 圓 周 y2 x x2 上 由L(0, 0)到 (1,1)的一段弧 .答 :7sin 2.6 45. 證明下列曲線積分與路徑無關(guān) ,并計算積分值 :(2,3)(1) ( x y)dx (x y)dy .(1,1)答:5.2(2)(2,1)43)dx (x24xy3 )dy

19、.(2 xy y(1,0)答: 5.6.驗證下列 P( x, y)dxQ( x, y)d y在整個 xoy 平面內(nèi)是某函數(shù)u( x, y) 的全微分 ,并求函數(shù) u( x, y) .(1)(x 2 y)dx (2 xy)dy .(2) 2xydx x2 dy .(3)(2 xcos yy 2 cos x)dx(2 ysin xx2 sin y)dy .答: (1)x22 xyy2;(2)x2 y;(3)x2 cos yy 2 sin x .227.用格林公式計算(xx2 y)dx(xy 2y 32)dy ，其中 L 是圓周Ly2 xx2 上由 A(2,0)到 O(0,0) 的一段弧 .答 :

20、32 .48.用格林公式計算(2 xyy 43)dx ( x2x4xy 3 )dy ，其中 L 是圓周Ly 1 x2 上由 A(1,0) 到 B( 1,0) 的一段弧 .答:6.2高等數(shù)學(xué)第十章曲線曲面積分第10頁學(xué)院學(xué)號專業(yè)姓名§10 4對面積的曲面積分一、選擇題1. 設(shè)是 xoy 平面上的一個有界閉區(qū)域Dxy ,則曲面積分f ( x, y, z)dS 與二重積分f ( x, y)dxdy的關(guān)系是().Dxy(A)f ( x, y,0)d S =f ( x, y)dxdy ; (B)f ( x, y,0)d S =f ( x, y)dxdy ;D xyDxy(C)f ( x, y,

21、0)d Sf ( x, y)dxdy ; (D)f ( x, y,0)d Sf ( x, y)d xdy .D xyD xy答 (A).2. 設(shè)是拋物面 zx2y2 (0z4) ,則下列各式正確的是().(A)f ( x, y,z)dS =f ( x, y, x2y2 )dxdy ;x2 y2 4(B)f ( x, y, z)dS =f ( x, y, x2y2 )14x2 dxdy ;x2y 24(C)f ( x, y, z)dSf (x, y, x2y2 )14y2 dxdy ;x2y 24(D)f (x, y, z)dSf ( x, y, x2y2 )14x24y 2 dxdy .答 (

22、D).x 2y 243.設(shè): x 2y2z2a 2 ( z 0) ,1 是在第一卦限中的部分,則有 ().(A)xdS4xdS ;(B)ydS 4xdS ;11(C)zdS4zdS ;(D)xyzdS4xyzdS .答(C).114. 設(shè)是錐面 zx2y2 (0z1),則(x2y2 )dS ().(A)( x2y 2 )dS2d1r dr ;0r 20(B)( x2y2 )dSd1rdr ;0r 20高等數(shù)學(xué)第十章 曲線曲面積分第11頁學(xué)院專業(yè)學(xué)號姓名(C)( x2y2 )dS22d12 dr ;0r0(D)( x2y2 )dS22d12rdr ;.答(D).0r05.設(shè)xyz1在第一卦限內(nèi)的部分,為平面342則z2 x4 y dS().3(A) 4dxdy ;(B) 461dxdy ;3D xyD xy(C) 46123(D)46132答(B).3dxdy ;30dx dy ;.0006.設(shè)為曲面 z2(x 2y 2 ) 在 xoy 平面上方的部分 ,則zdS ().22r 2r 2 )r dr;(B)222 )14r 2rdr ;(A)d(2d(2 r00002d2r 2 )rdr;(D)22r 2 )1 4r 2 r dr .答(D