維納濾波基本概念

1、Wiener 濾波概述Wiener 濾波器是從統(tǒng)計(jì)意義上的最優(yōu)濾波 , 它要求輸入信號是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列 , 本章主要集中在 FIR 結(jié)構(gòu)的 Wiener 濾波器的討論。由信號當(dāng)前值與它的各階延遲 x(n),x(n 1), ,x(n M 1) ，估計(jì)一個期望信號 d(n) ，輸入信號 x(n)是 寬平穩(wěn)的， x(n) 和 d(n) 是聯(lián)合寬平穩(wěn)的 , 要求這個估計(jì)的均方誤差最小。在本章中 ,不特別說明 , 假設(shè)信號是零均值 .Wiener 濾波器的幾個實(shí)際應(yīng)用實(shí)例如下： 通信的信道均衡器。圖 1. 信道均衡器的結(jié)構(gòu)示意 系統(tǒng)辨識：圖 2. 線性系統(tǒng)辨識的結(jié)構(gòu) 一般結(jié)構(gòu) :圖3. Wiener濾波

2、器的一般結(jié)構(gòu)2最小。Wiener濾波器的目的是求最優(yōu)濾波器系數(shù) wo，使J(n)E|e(n)|2E d(n) d(n)§ 3.1從估計(jì)理論觀點(diǎn)導(dǎo)出Wiener濾波FIR結(jié)構(gòu)(也稱為橫向)的Wiener濾波器的核心結(jié)構(gòu)如圖4所示.圖4.橫向Wiener濾波器FIR結(jié)構(gòu)的 Wiener是一個線性 Beyesian估計(jì)問題.為了與第2講中估計(jì)理論一致，假設(shè)信號，濾波器權(quán)值均為實(shí)數(shù)由輸入x(n)和它的1 至(m-1)階延遲，估計(jì)期望信號d(n)，確定權(quán)系數(shù)wi, i 0, M1使估計(jì)誤差均方值最小，均方誤差定義為：M1這里估計(jì) d?(n) 寫為： d?(n)wk x(n k)k0Rxx除了現(xiàn)

3、在是波形估計(jì)外，與線性 Bayesian 估計(jì)一一對應(yīng)R (零均值假設(shè))這里 (rxd ( k) Ex(n k)d(n) , Wiener 濾波與線性 Bayesian 估計(jì)變量之間具有一一對應(yīng)關(guān)系 , 設(shè)最優(yōu)濾波器系數(shù) 為 w0 ，由線性 Bayesian 估計(jì)得到 Wiener 濾波器系數(shù)對應(yīng)式： 上式后一個方程稱為 Wiener-Hopf 方程 ,11或 aRxx Rxw0R rxd結(jié)論：1）Wiener濾波器是線性FIR濾波器中的最優(yōu)濾波器，但非線性濾波可能會達(dá)到更好結(jié)果。2）在聯(lián)合高斯條件下，Wiener濾波也是總體最優(yōu)的（從 Bayesian估計(jì)意義上講是這樣，要滿足平穩(wěn)條件）3）

4、從線性貝葉斯估計(jì)推導(dǎo)過程知，在濾波器系數(shù)取非最優(yōu)的w時，其誤差性能表示：它是w的二次曲面，只有一個最小點(diǎn)，w Wo時，J（W） J min§ 3.2維納濾波：從正交原理和線性濾波觀點(diǎn)分析Wiener濾波器Wiener濾波器是一個最優(yōu)線性濾波器，濾波器核是IIR或FIR的。導(dǎo)出最優(yōu)濾波器的正交原理，并從正交原理出發(fā)重新導(dǎo)出一般的Wiener濾波器方程推導(dǎo)適應(yīng)于IIR和FIR的一般結(jié)論，然后分別討論 FIR和IIR。討論一般的復(fù)數(shù)形式。 x0,xn,輸入過程。 W°,Wi，W2，濾波器系數(shù)，（權(quán)系數(shù)）希望的響應(yīng)d n輸出誤差：end n yn正交性原理對復(fù)數(shù)據(jù)情況，推導(dǎo)一般結(jié)論

5、，實(shí)數(shù)據(jù)是特例yn*wkx(n k) 刖 dn yn=dnwkx(n k)k 0k 0均方誤差是：JE ene*n E |en |2定義遞度算子0,1,kT.其中kWk akJbkkJJJ符號 J是遞度算子作用于J,其中第k項(xiàng)為：廠 akbk要求W0 , W1 ,的值，使得J最小,即J0等價(jià)：kJ 0k 0,1,2由 J Eene*n得:kJ E -enle*nake*naken* je*nbke* nbkje nen得到：aXnkebn引代入kJ表達(dá)式整理得：kJ2Ex nke* n當(dāng)kJ0k0,1,時，J達(dá)到最小。由設(shè)J達(dá)最小時，用 Wo, e°n 表示權(quán)系數(shù)和誤差en，且 J

6、J min*dnwkx n kk 0en則有： E xn ke0*n 0 ， k 0, 1,以上為正交性原理，達(dá)到最優(yōu)濾波時，誤差和輸入正交推論： E y0ne0*n0維納一霍夫方程(Wiener-Hopf)由正交性原理得E xn k d* nw0ix* n ii00 k 0, 1,wOirxi k rxd k 有i oK這就是Wiener-Hopf方程，解此方程，可得到最優(yōu)權(quán) W0i 。對于M階FIR濾波器，（橫向?yàn)V波器）Wiener-Hopf方程變?yōu)椋篗 1wOirxi k rxd k ki 0'矩陣形式：令 xn xn, xn 1, ,xn M0,1,0,1,1T和 R Exnx

7、Hnr*M 1,r*M 2,r0Winer-Hopf 方程：Rw0xd這里w0w00, w01, w02,Tw0M 1解方程求得：W0R rxd取小均方誤差：在達(dá)最優(yōu)時，y0n也寫成術(shù) |Xn，表示由xn, xn1,張成的空間對dn的估計(jì)（最優(yōu)線性估計(jì))。e)n dn y°n dn dfn|Xnr0, r*1,r1, r0,rM 1 rM 2也可以寫成： dn eon dn|XJ即:dn|Xn和 eon正交性得:2E e°n2d?J min2(?J min22d(?由 dn|Xn由M 1*wkxn kwH xn得 d Edn|Xn(?*n|XnEw：x n xH nw。22

8、2H2H 1mind(?drxd W0drxdRrxd-誤差性能表面M1由 endn*wk xnk0k直接代入 J Eene* nJ整理得：M2 dk1wk* rxd ( k)01wkrxd * ( k)0M1M1w*kwi rxi kk 0 i 0由上式，可以看出，J是Vk的二次曲面，是碗狀曲面,碗口向上，Jmin在碗底，其實(shí),由上式直接對wk求導(dǎo)，得到一組方程，正是wiener-Hopf方程。矩陣形式J(w)2H d w r xdH r xd wwH RwR r x d 時，達(dá)最小， J minmin J (w)wd2 rH1 xd R r xd性能表面J(w) 可以寫成： J (w) J

9、min (ww0 )H R(w w0 )H由于R Q Q 故J(w)HhJmin(WWc) Q Q(WWo)令 v QH (w w0)通過坐標(biāo)變換，得到如上規(guī)范形式，對于一個給定J J min ,有:Jmin|Vk |2數(shù)值例子1：有一信號這是超橢圓,sn ，它的自相關(guān)序列為rsk10 1k為其一個軸。27 2，被一白噪聲所污染，噪聲方差為2/3，被污染信號Xn作為Wiener濾波器的輸入，求2階FIR濾波器使輸出信號是 sn的盡可能的恢復(fù)。解：本題中,xnsnvn，dnsn。由于只需要2階濾波器設(shè)計(jì)，因此W。R 1rxd=0.3359,0.1186 TT102H102710 10.3359J

10、min厶drxd Wo0.2240270.1186韭27 2數(shù)值例子2:0.27 ,由白噪聲驅(qū)動的產(chǎn)生該過程的傳輸希望響應(yīng)dn是一個ar過程，a“ 0.8458，vin是白噪聲,函數(shù)為:Hi(Z)0.8458 Z0.1 即: dn 經(jīng)過了一個通信信通，信道的傳輸函數(shù)為H2(Z) ，并加入了白噪聲2通道模型如圖5所示：圖5.通道模型求解：一個二階FIR結(jié)構(gòu)Wiener濾波器，目的是由xn盡可能恢復(fù)dn解： dn是一個 AR(1)過程，A(Z) 1 aZ 1,10.27在xn sn vin中,sn是一個二階AR(2)過程,相當(dāng)于H(z)出比由二階 AR(z) 參數(shù)，確定 rs(k) , 由 Yul

11、e-walker 方程：10.50.51Rs反解 rs(0), rs(1) . 得10.5 1 01.10.5但： RxRs22 I0.50.11 0 10.51.1求 rxd krxdkE xnkdn由上確定 sn 的自相關(guān)矩陣為由： sn 0.9458s n 1 dn , 和 xn sn v2n 代入上式故 rxd 0叮00.945rs 1)0.5272最優(yōu)系數(shù)最小均方誤差：性能表面規(guī)范誤差性能表面1.10.52 2解R I00.51.10(1.1)2(0.5)201JJ2minJJ2° min這是一個隨圓，主軸2副軸1 IIR Wie ner 濾波器考慮Wiener-Hopf方

12、程在IIR濾波器時的情況，為簡單，先討論非因果IIR濾波器的設(shè)計(jì)式。為簡單，考慮實(shí)信號和實(shí)濾波器系數(shù)的情況。在非因果條件下，Wiener-Hopf方程改寫為上式兩邊取z變換，得H(z)或xd(Z)x(Z)這里 H(z) 是濾波器沖激響應(yīng)(權(quán)系數(shù))的z變換,x(Z) 是rx k 的z變換,xd 是 pk 的z變換最小均方誤差為J minWoJxd I例2 .有一信號 sn ，它的自相關(guān)序列為rsk10 127 2,被一白噪聲所污染，噪聲方差為 2/3, 被污染信號 xn作為Wiener濾波器的輸入，求IIR濾波器使輸出信號是 s n的盡可能的恢復(fù)。解：本題中，xnsnvndnsn。51 k求 H(z)的反變換得到W°khk16(3)210ll5 11015取小均方誤差JmindlWol rxd l27 l16 327224因果IIR維納濾波器上式中， x(Z) 是由 x(z)中位于單位圓內(nèi)的極點(diǎn)和零點(diǎn)組成;Xd(Z)xd(z)X ( Z)是對應(yīng)于X ( Z)中的因果序列部分的z變換。最小均方誤差為例3用因果濾波器實(shí)現(xiàn)例2的相同問題解：20 6z 6z18(1 -z1)(1 -z)2 21 1 1 (1子)(13z)(1卡1&