迭代法求兩點邊值問題課程設(shè)計

1、 基于java實現(xiàn)電子時鐘 迭代法求兩點邊值問題（一）摘要當(dāng)今的環(huán)境下，數(shù)值計算越來越依賴于計算機(jī)。大規(guī)?？茖W(xué)計算和工程技術(shù)中許多問題的解決，最終歸結(jié)為大型稀疏線性方程組的求解，其求解時間在整個問題求解時間中占有很大的比重，有的甚至達(dá)到80%。由于現(xiàn)今科學(xué)研究和大型項目中各種復(fù)雜的可以對計算精度和計算速度的要求越來越高。因此，作為大規(guī)?？茖W(xué)計算基礎(chǔ)的線性代數(shù)方程組的高效數(shù)值求解引起了人們的普遍關(guān)注。這種方程組的求解一般采用迭代法。這次我做的迭代法求兩點邊值問題就是通過MATLAB來實現(xiàn)的。關(guān)于迭代法，是有很多種解決公式的：Jacobi，G-S和超松弛迭代法。這三種方法的原理大致相同，jacob

2、i需要給定初向量，G-S則需要給定初值，超松弛法是對Guass-Seidel迭代法的加權(quán)平均改造。而本文則是對大型稀疏線性方程組迭代求解與三種迭代法（Jacobi，Gauss-Seidel和超松弛迭代法）的收斂速度與精確解的誤差比較做出研究。關(guān)鍵詞：數(shù)值計算 迭代法 三種公式ITERATION METHOD FOR TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMSABSTRACTToday's environment, numerical computation is more and more dependent on the computer. Many prob

3、lems in the large-scale scientific computing and engineering solution, ultimately comes down to solving large sparse system of linear equations, the solution time occupies a large proportion in the whole problem solving time, some even reached 80%. Due to the current scientific research and large pr

4、ojects in various complex can claim to the computing precision and computing speed is higher and higher. Therefore, the linear algebraic equations, which is the basis for large-scale scientific computing efficient numerical solution has attracted widespread attention. To solve the general iterative

5、method is used to this kind of equations. This time I do the iteration method of two-point boundary value problem is accomplished by MATLAB.About the iteration method, there are many kinds of solution formula is: Jacobi, G - S and over relaxation iteration method. The principles of these three metho

6、ds are roughly the same, Jacobi need at the beginning of a given vector, G - S requires the given initial value, a super relaxation method is weighted average of the transformation of Gauss - Seidel iterative method. And this article is for iteration solving large sparse linear equations with three

7、kinds of iterative method (Jacobi, Gauss - Seidel and over relaxation iteration method) the error between the convergence speed and the exact solution of comparative research.Key words: numerical calculation iterative method three kinds of formula目 錄1 課程目的與要求11、1課程目標(biāo)11、2 課程的實現(xiàn)環(huán)境12 概要設(shè)計23 詳細(xì)設(shè)計54 測試結(jié)果

8、與心得體會85 參考文獻(xiàn)15附錄16源程序代碼163 1 課程的目的與要求1、1課程目標(biāo)利用我們所學(xué)的數(shù)值分析的迭代法知識對線性方程組的問題進(jìn)行求解，同時把迭代法的求解過程用MATLAB程序語言實現(xiàn)其算法功能。對實驗結(jié)果進(jìn)行記錄，對比與分析最后得出結(jié)論。1、2課程的實現(xiàn)環(huán)境硬件要求能運(yùn)行Windows 9.X操作系統(tǒng)的微機(jī)系統(tǒng)、Matlab軟件。2概要設(shè)計2、1迭代法簡介1.Jacobi迭代法：對于非奇異線性方程組Ax=b，令A(yù)=D-L-U，其中則原方程組可改寫為： （2.2）其中給定初始向量：由（2.2）可以構(gòu)造迭代公式：其分量形式為：2. Guass-Seidel迭代法：類似于J

9、acobi迭代法，給定初值：令則得到Guass-Seidel公式：其分量形式為：3.超松弛迭代法（SOR 迭代法）：SOR迭代法是對Guass-Seidel迭代法的加權(quán)平均改造，即為Guass-Seidel迭代解，即它的分量形式為：其中稱為松弛因子，當(dāng)>1時稱為超松弛；當(dāng)<1時叫低松弛；=1時就是Guass-Seidel迭代。3詳細(xì)設(shè)計3.1算法實現(xiàn)問題：考慮兩點邊值問題：容易知道它的精確解為：為了將微分方程離散，把0,1區(qū)間n等分，令h=1/n，得到差分方程，從而得到迭代方程組的系數(shù)矩陣A。 對=1，a=1/2,n=100,分別用jacobi，G-S，超松弛迭代法分別求線性方程組

10、的解，要求4位有效數(shù)字，然后比較與精確解的誤差。對=0.1，=0.01，=0.001，考慮同樣問題。1.方程的表示及存儲由于本題中線性方程組的系數(shù)矩陣為三對角矩陣，所以可以采用緊縮方法存儲，即然后在矩陣乘法時對下標(biāo)處理一下即可。但是考慮到三種迭代方法的一般性，且本題中n=200并不是很大，所以實驗中并沒有采用緊縮存儲，而是采用了直接存儲。2.邊值條件的處理由于差分得到的方程組的第一行和最后一行中分別出現(xiàn)了邊值y(0)與y(1)作為常數(shù)項，因此要在常向量的第一項和最后一項作一些修改：3.迭代終止條件首先確定要求的精度tol ，我們希望當(dāng)則停止迭代。對于迭代格式，若且，則迭代序列的第k 次近似解和

11、精確解之間有估計式。由題目要求知我們需要有，而由上面的迭代估計，只要，即即可。而本題中q可近似取為，因此最后令迭代終止條件為4.SOR 迭代中最佳松弛因子的選取由于SOR 迭代法的效果和其松弛因子w的選取有關(guān)，所以有必要選取合適的松弛因子。當(dāng)選擇最佳松弛因子時，SOR 方法的迭代速度最快。Matlab實現(xiàn)：迭代矩陣是n-1階的，不是n階；等號右端向量b的最后一項，不是ah2，而是ah2-eps-h精確解：帶入a=1/2,=1代碼：>> clear>> x=linspace(0,1);truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1)*(1-exp(-x./1)+x.*0

12、.5;figure;plot(x,truy,'g','LineWidth',1.5);hold on;Grid圖：4測試結(jié)果與心得體會4、1程序運(yùn)行情況Jacobi法：代碼見附錄Eps=1結(jié)果：迭代次數(shù)k：22273結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）Eps=0.1結(jié)果：迭代次數(shù)k：8753結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）Eps=0.01結(jié)果：迭代次數(shù)k：661結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）G-S迭代法：代碼見附錄Eps=1結(jié)果：迭代次數(shù)k：11125結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線

13、是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）Eps=0.1結(jié)果：迭代次數(shù)k：4394結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）Eps=0.01結(jié)果：迭代次數(shù)k：379結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）超松弛法：代碼見附錄Eps=1 w=1.56結(jié)果：迭代次數(shù)k：3503結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）Eps=0.1 w=1.56結(jié)果：迭代次數(shù)k：1369結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）Eps=0.01 w=1.56結(jié)果：迭代次數(shù)k：131結(jié)果與精確解的比較圖（綠色粗線是精確解，黑色細(xì)線是迭代結(jié)果）4、2三種方

14、法的比較Jacobi、G-S、超松弛法，三者都能夠取得對精確解的良好逼近，但是，在相同的精度條件下，三者的收斂速度是不一樣的，jacobi<G-S<超松弛，也就是說，在迭代次數(shù)相同的條件下，精度：jacobi<G-S<超松弛。4、3心得體會本次數(shù)值方法的題目是迭代法求兩點邊值問題。首先回去溫習(xí)了數(shù)值方法的理論知識，把迭代法的原理弄清楚了，請教老師，上網(wǎng)查資料，忙的不亦樂乎。在設(shè)計的過程中我遇到的很多問題，在老師的幫助和自己的思考下還是很好的完成了。事情就是如此，努力代表收獲。這次課程設(shè)計，平時感覺挺簡單的那些枯燥單調(diào)的代碼和數(shù)學(xué)公式，真正到了自己運(yùn)用的時候卻無從下手，但

15、是，解決問題的過程恰是不斷學(xué)習(xí)的過程：數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)換為代碼的過程要對題目有深入的了解，然后對程序函數(shù)定義還要有一定的掌握能力，通過這個的過程讓我鞏固了自己的數(shù)學(xué)知識，對數(shù)學(xué)專業(yè)知識和MATLAB的操作有了更深的體會。  課程設(shè)計中遇到的問題只憑自己苦思冥想是不能全部解決的，這是同學(xué)老師的建議和網(wǎng)絡(luò)給了我很大的幫助。遇到自己解決不了的問題時，多多向老師同學(xué)請教，或許問題就能迎刃而解。另外，生在這個信息化社會，互聯(lián)網(wǎng)的作用不言而喻，許多問題只要在網(wǎng)上搜索一下就能得到令人滿意的解答。 參考文獻(xiàn)1 王建衛(wèi)MATLAB 7.X 程序設(shè)計北京：中國水利水電出版社，20072 李

16、慶揚(yáng)，王能超，易大義數(shù)值分析M 武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006.73 清華大學(xué)、北京大學(xué)計算方法編寫組計算方法M 北京：科學(xué)出版社，1980附錄源程序代碼：Jacobi：function y,k=jacobi2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0; endendfor i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);endfor i=1:n-1 for j=1:n-1 if i=j+1 A(i,j)=eps; end if

17、 i=j-1 A(i,j)=eps+h; end endendb=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h2;endb(n-1,1)=a*h2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1if i>j L(i,j)=-A(i,j);end endendU=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i<j U(i,j)=-A(i,j); end endendB=D(L+U);g=Db;while 1

18、 z=B*y+g; if norm(z-y,inf)<delta break; end y=z;k=k+1;end x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps)*(1-exp(-x./eps)+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;gridhold on;plot(y,'b')G-S:function y,k=gs2(a,eps,h,delta)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n

19、-1,1);k=0;for i=1:n-1 for j=1:n-1 A(i,j)=0; endendfor i=1:n-1 A(i,i)=-(2*eps+h);endfor i=1:n-1 for j=1:n-1 if i=j+1 A(i,j)=eps; end if i=j-1 A(i,j)=eps+h; end endendb=zeros(n-1,1);for i=1:n-2 b(i,1)=a*h2;endb(n-1,1)=a*h2-eps-h;D=zeros(n-1);for i=1:n-1 D(i,i)=A(i,i);endL=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=

20、1:n-1if i>j L(i,j)=-A(i,j);end endendU=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if i<j U(i,j)=-A(i,j); end endendB=D(L+U);g=Db;while 1 z=(D-L)U*y+(D-L)b; if norm(z-y,inf)<delta break; end y=z;k=k+1;end x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps)*(1-exp(-x./eps)+x.*a;figure;plot(100*x,truy,'g','LineWidth',5);hold on;gridhold on;plot(y,'b')超松弛：function y,k=sor(a,eps,h,delta,w)n=1.0/h;A=ones(n-1);y=zeros(n-1,1);z=zeros(n-1,1);k=0;for i=1:n-1 f