一元二次方程壓軸題含答案)

1、一元二次方程1 .(北京模擬)已知關于 x的一元二次方程x2+px+ q+1=0有一個實數根為2.(1)用含p的代數式表示q；(2)求證：拋物線yi = x2+px+q與x軸有兩個交點；(3)設拋物線yi = x2+px+ q的頂點為M與y軸的交點為E,拋物線y2=x2+px+ q+1的頂點為N,與y軸的交點為F,若四邊形FEMN勺面積等于2,求p的值.2 .設關于x的方程x2-5x-m十1 = 0的兩個實數根分別為 a、B,試確定實數 m 的取值范圍，使| a |十| B| 0 6成立.3 .(湖南懷化)已知 x1，x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+ a=0的兩個實數根.(1)是否存

2、在實數a,使-北十乂水2=4十乂2成立？若存在，求出a的值；若不存在， 請你說明理由；(2)求使(與十1)( x2+1)為負整數的實數a的整數值.4 .(江蘇模擬)已知關于 x的方程x2-(a+b+1)x+a=0 (b>0)有兩個實數根 x1、x2,且 x& x2.(1)求證：x1 < K x2一1,， 一， 若點A (1, 2), B (2, 1), C (1, 1),點P (xb凌)在ABC勺三條邊上5運動，I可是否存在這樣的點 P,使a+b=:？右存在，求出點 P的坐標；右不存4在，請說明理由.2y = 4xx = x1 x= x25.(福建模擬)已知方程組有兩個實數

3、解和 ，且x/2才0,y=2x+by = y1y=y2x1半 x2.(1)求b的取值范圍;（2）否存在實數b，使得:+1?若存在,求出b的值；若不存在,請說明理由.6.（成都某校自主招生）已知 ab, c為實數，且滿足 a+ b+c = 0, abc= 8,求c的取值范圍.7.（四川某校自主招生）已知實數x+y = 3a1x、y滿足x22 4a2 2a 2，求xy的取值范圍.8.（福建某校自主招生）已知方程(ax+1)2 = a2( 1-x2) (a>1)的兩個實數根 入、X2滿足XiVX2,求證:1V XiV 0vx2V 1 .（答案）1 .（北京模擬）已知關于 x的一元二次方程x2+

4、px+ q+1=0有一個實數根為2.（1）用含p的代數式表示q;（2）求證：拋物線y1 = x2+px+q與x軸有兩個交點;（3）設拋物線y1 = x2+px+ q的頂點為M與y軸的交點為E,拋物線y2=X + px+ q+ 1的頂點為N,與y軸的交點為F,若四邊形FEMN勺面積等于2,求p的值.解：（1） 關于x的一元二次方程x2+px+q+1=0有一個實數根為222+2p+q+1 =0,整理得：q=2p52 2)=p 4q = p 4( 2p5) = p+ 8p+ 20= ( p+4)2無論p取任何實數，都有（p+4） >0.2無論p取任何實數，都有（p+4）+4>0,0拋物線

5、y1 = x2+px+ q與x軸有兩個交點2(3) 拋物線yi=x2 + px+q與拋物線y2=x2+px+ q+1的對稱軸相同，都為直線 x=-p,且開口大小相同，拋物線y2 = xpx+q+1可由拋物線 yi = x2+px+q沿y軸方向向上平移一個單位得到.EF/ MN EF= MN= 1四邊形FEM準平行四邊形,一_一p 一 p由意息信S 四邊形FEM肝 EF | I =2,即| 2| =2.p = ±4222.(安徽某校自主招生)設關于 x的方程x -5x-m+1 = 0的兩個實數根分別為民、B ,試確定實數 m的取值范圍，使| a |十| B | 06成立.解：丁 =52

6、-4( -R2+ 1) =4n2i + 21不論m取何值，方程x2-5x-m+1 = 0都有兩個不相等的實根,.x2-5x-ni+ 1 = 0, ，oc+B=5, aB=1 mV| a | +| B | 0 6, .B 2+2| a p | <36,即(a + B)22 a B +2| a B | 0 3622.25-2(1-m)+2|1 -m| < 3621，當 1 m>0,即10 me 1 時，25036 成立-1<mc 1當 1 m< 0,即 m< 1 或 m> 1 時，得 25 4( 1 -ni) < 36“1515斛得-< me、

7、一二pwm<1 或 1<5綜合、得:3.(湖南懷化)已知 xi, X2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+ a=0的兩個實數根.(1)是否存在實數a,使-北十乂水2=4十乂2成立？若存在，求出a的值；若不存在,請你說明理由;(2)求使(又十1)( X2+1)為負整數的實數a的整數值.解：(1)xi, X2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+ a=0的兩個實數根a* 6a- 6 乎 02即4a -4a(a-6) >0假設存在實數 a使-乂1+乂入2=4十乂2成立，貝(J 4+(Xi+X2)- xiX2 = 02a a - /日4+謠a6 = °, 倚 a=24-

8、a 24 a)0 JeL a * 6.二存在實數a = 24,使-乂1十乂僅2 = 4十乂2成立(2). ' (xi+1)( X2+ 1) = (Xi + X2)+X1X2+I=3 3十1=a-6 a-6要使(x-1)(X2+1)為負整數，則只需 a為7, 8, 9, 124.(江蘇模擬)已知關于x的方程x2-(a+b+1)x+a=0 (b>0)有兩個實數根X1、x2,且 x1< x2.(1)求證：x1 < K x2一1,， 一， 若點A (1, 2), B (2, 1), C (1, 1),點P (xb凌)在ABC勺三條邊上5運動，I可是否存在這樣的點P,使a+b=

9、4?右存在，求出點 P的坐標；右不存在，請說明理由.解：(1)由根與系數的關系得：xI+x2 = a+b+1, x1x2=a，a=XiX2, b= xi + X2- X1X2 1b>0, 二 X1 + X2-X1X2-1 >0 1 X1 X2 + X1X20 0( 1-X1)( 1 - X2) < 0又. X10X2,1-X1 >0, 1 -X2< 0即 X1< 1 , X2> 1. , .X1< 1< X259(2) X1+X2 = a+b+1, a+b= 4,X1+X2=4當點P (X1, X2)在BC邊上運動時則5WX1W 1, X2

10、=1. .X1 = 9 X2=91=故在AC邊上存在滿足條件的點 P (1, 4)當點P (X1, X2)在AB邊上運動時i1則2 & X1 0 1, 1 0 X20 2,勿知 X2 = 2x1>1 444故在BC邊上不存在滿足條件的點 P當點P (X1, X2)在AC邊上運動時則 X1=1, 1<X2<2-5 i9 rl5取則 X1+X2=4,即 a+b=4Xl+X2=:，- Xi = , X2 =4'4'2又.qvjvl, 1<3<22 4'2 33故在AB邊上存在滿足條件的點（3,3） 綜上所述,當點P （Xi, X2）在 A

11、BC勺三條邊上運動時，在 BC邊上沒有滿足條53 3件的點，而在AG AB邊上存在滿足條件的點，它們分別是（1, 4）和（疝2）2y = 4xx = xi x= X25.（福建模擬）已知方程組有兩個實數解和 ，且X1X2才0,y=2x+by = yiy=y2Xi 會 X2.（1）求b的取值范圍；（2）否存在實數b,使得）+9= 1?若存在，求出b的值；若不存在，請說明理 Xi X2由.解：（1）由已知得 4X=（2X+b）；整理得 4X2+（4b-4）X+b2=0. Xi才X2, 0,即(4b4)216b2>0,解得 b<2b2又 X1X20, .7*0, b04一 1 1綜上所述

12、，bv2且b才011 Xi + X2 4( 1-b)Xi X2 X1X2b2b2(2) Xi+X2=1 b, XiX2=i，b2+4b4=0,解得 b=2±2亞-1. -2 + 2*=2(*-1)>勿 b=2+2中不合題意,舍去 ，b=-2-2 也6.（成都某校自主招生）已知 a, b, c為實數，且滿足a+ b+c = 0, abc= 8,求 c的取值范圍.解：a+b+c = 0, abc = 8,a, b, c都不為零，且 a+b=c, ab= 一c .a, b是方程x2 ：0的兩個實數根=c2 4x 8>0c,.28 一、當cv0時，c4x 丁0恒成立當 c>

13、0 時，得 c3> 32,c> 2V4故c的取值范圍是cv0或c）23/Nx+y = 3a17.（四川某校自主招生）已知實數x、y滿足x2丫2_ 4a22a2,求xy的取值范圍.解：丁(x y)2>0,x2+ y2>2xy.'-2(x2+y2) >(x+y)2，2(4a2-2a+ 2) >(3a- 1)2即 a22a30 0,解得一10a&31222 xy=2( x+y) (x+y) = 1( 3a-1)2-(4a2-2a+2)12= 2(5a-4a- 1)時2一5a9xy有最小值-10；當a = 3時有最大值169-近 xy<i68.(福建某校自主招生)已知方程 (ax+1)2 = a2(1-x2) (a>1)的兩個實數根xi、X2滿足Xi<X2,求證：1V XiV Ovx2V 1.證明：將原方程整理，得 2a2x2+2ax+1-a2=0令y =