第五講---平面上取點(diǎn)線-平面的輔助投影;線面相對(duì)位置

1、一、平面上的點(diǎn)和直線第五講基本內(nèi)容第五講基本內(nèi)容:二、平面的輔助投影三、線面相對(duì)位置(1)(1)平面上取任意直線平面上取任意直線 若一直線通過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。 若一直線通過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線， 則此直線在該平面內(nèi)。方法一：方法一：方法二：方法二：如何判斷直線在平面內(nèi)如何判斷直線在平面內(nèi)？一、平面上的點(diǎn)和直線abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1 已知平面由相交的兩直線已知平面由相交的兩直線ABAB、AC AC 所確定，所確定，試在試在平面內(nèi)平面內(nèi)任作一條直線。任作一條直線。解法一解法一解法二解法二（利用方法一）（利用方法一）（

2、利用方法二）（利用方法二）有無數(shù)個(gè)解。有無數(shù)個(gè)解。例例2 2 在平面在平面ABC ABC 內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H H 面的距離為面的距離為20mm20mm。n m nm20c a b cab 結(jié)論：結(jié)論：唯一解！唯一解！問題：?jiǎn)栴}：本題有幾個(gè)解？本題有幾個(gè)解？(2)(2)平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn)即：即：找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例例1 1 面上取點(diǎn)的方法面上取點(diǎn)的方法定點(diǎn)先定線定點(diǎn)先定線利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解k bacc a b 已知

3、已知K K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABCABC上，求上，求K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。k例例2 2efgef m g h mh通過在面內(nèi)作通過在面內(nèi)作輔助線求解輔助線求解已知已知M M點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面EFGEFG上，求上，求M M點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。kk 例例3 3 如圖所示，已知一般位置平面如圖所示，已知一般位置平面ABCDABCD的正面投影和的正面投影和 ABAB、ADAD兩條邊的水平投影兩條邊的水平投影ab和和ad，補(bǔ)全該面的水平投影。，補(bǔ)全該面的水平投影。 a b d c abd分析：分析：ABCD ABCD 既然是平面，既然是平面，則它的對(duì)角線必相交。則它的對(duì)角線必相交。作圖：

4、作圖：1 1）連接）連接a、c和和b、d，得交點(diǎn)得交點(diǎn)k；2 2）連接）連接b b、d d，在，在bd上求出上求出k，并連接，并連接a、k；3 3）在）在ak上求出上求出c，連接，連接b、c 和和d、c，即得該平面的水平，即得該平面的水平投影；投影；c例例 完成平面的水平投影完成平面的水平投影二、平面的輔助投影（一）（一） 把一般位置平把一般位置平面面變?yōu)樽優(yōu)橥队懊娲怪泵嫱队懊娲怪泵妫ǘǘ?把把投影面垂直面投影面垂直面變?yōu)樽優(yōu)橥队懊嫫叫忻嫱队懊嫫叫忻妫ㄈㄈ?把一般位置平把一般位置平面面變?yōu)樽優(yōu)橥队懊嫫叫忻嫱队懊嫫叫忻嫒齻€(gè)基本問題三個(gè)基本問題a cXVHbb ac（一）（一） 把一般

5、位置平把一般位置平面面變?yōu)樽優(yōu)橥队懊娲怪泵嫱队懊娲怪泵?c ddDX1H1a1c1b1 d1 dX1H1V db1 a1c1d1k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例題例題 求點(diǎn)S到平面ABC的距離距離eN ddX1VH1k1e1例題例題 已知E到平面ABC的距離為N，求E點(diǎn)的正面投影e。b1a1c1d1選講選講（二） 把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?V1c1b1a1X1X1V1c1b1a1a1c1b1X1 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1（三）（三） 把一般位置平把一般位置平面面變?yōu)樽優(yōu)橥队懊嫫叫忻嫱队懊嫫叫忻?實(shí)形例題例題 已知E點(diǎn)在平面ABC上，距離A、B為

6、15，求點(diǎn)E的投影。 d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2abaccbdda1(b1)d1c1 例題例題 求平面與平面的夾角。求平面與平面的夾角。（一）平行問題 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題 1熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和作兩個(gè)面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂

7、直的投影特性及作圖方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題 1熟練掌握點(diǎn)、線、面的基本作圖方法； 2能對(duì)一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。三、線面相對(duì)位置一、直線與平面平行幾何條件幾何條件 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。 有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。 例題1 例題2二、平面與平面平行幾何條件幾何條件 若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線對(duì)應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。 兩面平行的作圖問題有：

8、判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例題3 例題4 例題5直線與平面平行,平面與平面平行一、一、直線與平面平行直線與平面平行 若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行例題1 試判斷直線試判斷直線AB是否平行于定平面是否平行于定平面 fgfg結(jié)論：直線AB不平行于定平面例題2 試過點(diǎn)試過點(diǎn)K作水平線作水平線AB平行于平行于CDE平面平面 baaffb二、兩平面平行二、兩平面平行 若屬于一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB例題3 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行mnmn

9、rrss結(jié)論：兩平面平行例題4 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過點(diǎn)給定。試過點(diǎn)K作一平面作一平面平行于已知平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkk例題5 試判斷兩平面是否平行。試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH，所以兩平面平行一、直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)二、兩平面的交線是直線三、特殊位置線面相交四、一般位置平面與特殊位置平面相交五、直線與一般位置平面相交六、兩一般位置平面相交直線與平面的交點(diǎn)、兩平 面的交線一、一、直線與平面相交直線與平面相交直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)，它是直線與平面的共有點(diǎn)。BKAM二、平面與平面相交兩平面的交線是一條直

10、線，這條直線為兩平面所共有FKNL直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交bbaaccmmnn直線與直線與特殊位置特殊位置平面相交平面相交由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。kk判斷直線的可見性判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn 特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。 ( )k21k21求鉛垂線EF與一般位置平面ABC的交點(diǎn)并判別其可見性。 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性nlmmlnbaccabfkfkM

11、mnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性結(jié) 果判斷平面的可見性一、直線與平面垂直 幾何條件 定理1 定理2 例題7 例題8 例題9 例題10二、兩平面垂直 幾何條件 例題11 例題12 例題13直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直、兩平面垂直直線與平面垂直的幾何條件：直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。平面的一切直線。定理1 若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。knkn定理2（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。例題例題7 平面由 BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的法線。acacnnkkh例題例題8 試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）兩平面垂直的幾何條件兩平面垂直的幾何條件 若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD 反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。兩平面垂