很好的拉普拉斯變換講解

1、第7章拉普拉斯變換拉普拉斯(Laplace)變換是分析和求解常系數(shù)線性微分方程的一種簡便的方法，而且在自動控制系統(tǒng)的分析和綜合中也起著重要的作用.本章將扼要地介紹拉普拉斯變換(以下簡稱拉氏變換)的基本概念、主要性質(zhì)、逆變換以及它在解常系數(shù)線性微分方程中的應(yīng)用.7.1拉氏變換的基本概念在代數(shù)中，直接計算是很復(fù)雜的，而引用對數(shù)后，可先把上式變換為13lgN lg 6.28 (lg 5781 lg 9.8 21g 20) lg1.16435,然后通過查常用對數(shù)表和反對數(shù)表，就可算得原來要求的數(shù)N .這是一種把復(fù)雜運算轉(zhuǎn)化為簡單運算的做法，而拉氏變換則是另一種化繁為簡的做法.7.1.1拉氏變換的基本概

2、念f (t) e pt dt定義 設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t 0時有定義，若廣義積分 0在P的某一區(qū)域內(nèi)收斂,則此積分就確定了一個參量為P的函數(shù)，記作F(P),即F(P) f(t)e ptdt 0(7-1)稱(7-1)式為函數(shù)f的拉氏變換式，用記號LfF(P)表示.函數(shù)F(P)稱為f的 拉氏變換(Laplace)(或稱為f的象函數(shù)).函數(shù)f稱為F(P)的拉氏逆變換(或稱為F(P) 象原函數(shù))，記作11 _ _L F(P) f(t),即 f(t) L F(P).關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點說明：(1)在定義中，只要求f在t 0時有定義.為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后總 假定在t 0時，f(t) 0

3、.(2)在較為深入的討論中，拉氏變換式中的參數(shù) P是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值.為了方便起見, 本章我們把P作為實數(shù)來討論，這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用.(3)拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù)，它是一種積分變換. 般來說，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的.例7-1求一次函數(shù)f at (t0，a為常數(shù))的拉氏變換.L at ate ptdt解0亙 td(e pt)更e pt0- e ptdtp 0pp 0apta pt.0e dt -2e 0p 0pap2 (p 0)7.1.2單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生的電流時,要涉及到我們要介

4、紹的脈沖函數(shù),在原來電流為零的電路中，某一瞬時(設(shè)為t 0)進入一單位電量的脈沖，現(xiàn)要確定電路上 的電流i，以Q表示上述電路中的電量，則由于電流強度是電量對時間的變化率，即所以，當(dāng)t0時，i0；當(dāng)t 0時,Q(0i(0) lim t 01tm0Q(t t) Q(t)tt) Q(0) t1 litm0(Y上式說明，在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)能夠用來表示上述電路的電流強 度.為此，引進一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為 狄拉克函數(shù).定義0時，（t）的極限0, t 0 1 （t）, 0 t設(shè)0，t ,稱為狄拉克（Dirac）函數(shù)，簡稱為 函數(shù).0,t 0（t）當(dāng)t 0時， 的值為0;當(dāng)t 0時，的

5、值為無窮大，即，t 0. 和的圖形如圖7-1和圖7-2所示.1（t）dt dt 1（t）dt 1顯然，對任何 0,有0 ，所以工程技術(shù)中，常將函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，有些工程書上，將函數(shù)用一個長度等于1的有向線段來表示（如圖7-2所示），這個線段的長度表示函數(shù)的積分，叫做 函數(shù)的強度.例7-2求（t）的拉氏變換.解根據(jù)拉氏變換的定義,L (t)0(t)e ptdt1(lim )e00ptdt lim00 e ptdt lim0lim A0LimX1 . pe 一 lim1 pt-e p dt0! p 1即 L (t) 1.u(t)例7-3求單位階梯函數(shù)0,1,00的拉氏變換.Lu(t) 解u(t

6、)e ptdt0ptdt1 pt,e op例7-4求指數(shù)函數(shù)f(t)eata為常數(shù)）的拉氏變換.Le 解at0at ee ptdt(p a)t,e dta)at .Le (pa)Lsin類似可得t-2(p 0) pLcos t2(p 0)習(xí)題7 - 1求1-4題中函數(shù)的拉氏變換1.f(t)2.f(t)3.4.f(t) f(t)4t et2attesin（ t ）（，是常數(shù)）.7.2拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換有以下幾個主要性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以求一些較為復(fù)雜的函數(shù)的拉氏變換.性質(zhì)1 （線性性質(zhì)）若ai, 也是常數(shù)，且Lf1（t） F1（P）, Lf2F2（P）,則Laifi(t) a2 f2aiL

7、"azLf。) aF(P)a2F2(P)(7-2)證明La1fi(t) a2 f2(t)ai fi(t) a2f2(t)e PtdtaiLfi(t) 例7-50a2Lf2（t） aiFi（p） a2Fz（p）.求下列函數(shù)的拉氏變換：ai 0fi(t)e ptdta2f2(t)e0ptdt(i)f(t) -(1 eat)解（i）iL-(1aaeat)1L1a(2) f (t)at1L1asin tcostLe ata1P(P a)Lsin t cost(2)11L2sin2t 2性質(zhì)2 （平移性質(zhì)）若 Lf(t) F(p),則Leatf(t)F(P a) ( a為常數(shù)).(7-3)Le

8、atf(t)證明0eatf (t)e ptdtf (t)e (p a)tdtF(P a)位移性質(zhì)表明：象原函數(shù)乘以eat等于其象函數(shù)左右平移個單位.例 7-6 求 Lteat： 1 Lt解因為 p ：性質(zhì)3 （滯后性質(zhì)）at .Le sinLsin tt和 Leatcos tLcos t2,由位移性質(zhì)即得若 Lf(t) F(p)則Lf(ta)apF(p)(a0)(7-4)Lf(t a)證明f (t a)e ptdtf(t a)e ptdtf (t a)ePt的定義說明中已指出，當(dāng)t 0時，f（t） 0.因此，對于函數(shù)f(t時，f（t a） 0,所以上式右端的第一個積分為 0 ,對于第二個積分，

9、令滯后性質(zhì)指出：象函數(shù)乘以e ap等于其象原函數(shù)的圖形沿t軸向右平移7-3所示）dt,在拉氏變換 a 0（即 t a） t a ，則a個單位（如圖由于函數(shù)f(t a)是當(dāng)t a時才有非零數(shù)值.故與f相比，在時間上滯后了一個a值, 正是這個道理，我們才稱它為滯后性質(zhì).在實際應(yīng)用中，為了突出“滯后”這一特點，常在f(t為這個函數(shù)上再乘u(t a)，所以滯后性質(zhì)也表示為Lu(t a)f(t a) eapF(p)例 7-7 求 Lu(t a)Lu(t解因為Lup ,由滯后性質(zhì)得例 7-8 求 Lea(t)u(t).LeatLea(t )u(t解因為 P a,所以 例7-9求下列函數(shù)的拉氏變換：f(t)

10、(1)c1,0 t a,C2,a t.(2)ap 1a) eP*n 1)e ， (P a)P a3, 0 t 2,f (t)1, 2 t 4,0,4 t.解(1)由圖7-4容易看出，當(dāng)t a時,f的值是在G的基礎(chǔ)上加上了( c2 G),即(C2 G)u(t a)故可把 f (t)寫成 f (t) Gu(t)6 c1)u(t a),于是CiC2 Cia pLf(t)- -1e pp pc1 (c2 c1 )e ap仿(1),把f寫成f(t)Lf(t)3u(t) 4u(t 2)2 p 4 p3 4e p e p pppu(t 4),于是3 4e 2P e 4Pp由例7-9看出,用單位階梯函數(shù)可我們

11、可以用拉氏變換定義來驗算例 7-9所得的結(jié)果. 將分段函數(shù)的表達式合寫成一個式子.0,t 0c,0 t a f(t)2c,a t 3a例7-10已知0,t 3a ,求Lf.解：如圖7-5所示，f (t)可用單位階梯函數(shù)表示為f cu(t) cu(t a) 2cu(t 3a)，于是-eap 2-e3ap c(1eap2e 3ap)PP P P,由拉氏變換定義來驗證：-(1 e ap 2eap 2e3ap) - (1 e ap 2e 3ap)PP.性質(zhì)4(微分性質(zhì))若Lf(t) F(p),并設(shè)f在0, +上連續(xù)，f為分段連續(xù)，則L f (t) pF(p) f (0) . (7-5) 證明 由拉氏變

12、換定義及分部積分法，得Lf (t)f (t)e ptdt f(t)e ptof (t)e ptdt可以證明，在Lf存在的條件下，必有Lf(t) 0 f(0)lim f (t)e pt 0t ”,因此，pLf(t) pF(p) f(0)微分性質(zhì)表明：一個函數(shù)求導(dǎo)后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù)p,再減去函數(shù)的初始值.應(yīng)用上述結(jié)果，對二階導(dǎo)數(shù)可以推得2 _Lf (t) pLf (t) f (0) ppF(p) f(0) f (0) p F(p) pf(0) f (0)同理，可得Lf (t) P3F(p) p2f(0) pf (0) f (0)*以此類推，可得Lf (t) PnF(p) p

13、n1f(0) pn 2f (0) f(n 1)(0) .(7-6)由此可見，f各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換可以由p的乘方與象函數(shù)F(p)的代數(shù)式表示出來.特別是當(dāng)初值f(0)f'(0) f''(0) f(n 1)(0) 0時，有更簡單的結(jié)果Lf(n)(t) pnF(p), (n 1,2,)(7-7)利用這個性質(zhì)，可將f的微分方程轉(zhuǎn)化為F(p)的代數(shù)方程.例7-11利用微分性質(zhì)求Lsint和Lc0s t.解 令 f(t) sin t ,則 f(0)0, f (0)L 2sin t Lf (t)即2Lsin t移項化簡得2，f (t) sin t ,由 7-6 式，得 p2Lf(t)

14、 pf (0) f (0)2p Lsin t利用上述結(jié)果,cos性質(zhì)5 (積分性質(zhì))(t)證明令L (t) pL (t)Lsin t1t (sin t)及(7-5)式，可得- p p若 Lf(t)F(p)(pp22p0),且設(shè)f(t)連續(xù)，則tL f(x)dx0F(p)(7-8)f (x)dx0,顯見(0),而 L (t)F(p) pL (t) pL(0) 0 , Lf (t)tf (x)dx0且因f，F(xiàn)(p),所以有tI L f(x)dx,即 0由微分性質(zhì)，得1-F(p) p積分性質(zhì)表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換，等于這個函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù)例7-12求Ltn ( n是正整數(shù)).t解因為

15、式即得1dx, t02xdx, t33x2dx0tnnxodx,所以由(7-8)般地，有Ltn Lntn 1 L1x dt0nLtn1性質(zhì)若 Lf(t)PF(P)n!n 1 pLf(at)1F(上) a a(7-9)性質(zhì)若 Lf(t)F(p)Ltnf(t)1)nF(n)(P)(7-10)性質(zhì)若 Lf(t)F(p)lim且t 0f(t)t存在，則L評F(P)dPP(7-11)例 7-13 求 LtsintLsin t解因為(7-10)式可得Ltsint1*2P22 2(p )Lsin t解因為1P2 1L平sin t limt 0 tarctg P |p(7-11)式可得2 arctg psin

16、t pt e dt-arctg因此,當(dāng)Psint0時，得到一個廣義積分的值dt 2這個結(jié)果用原來的廣義積分的計算方法是得不到的.現(xiàn)將拉氏變換的八個性質(zhì)和在實際應(yīng)用中常用的一些函數(shù)的象函數(shù)分別列表如下: 表7-1拉氏變換的性質(zhì)序號設(shè) Lf(t) F(p)123Lf(t a)u(t a) eapF(p)(a>0)4Lf (t) pnF(p) pn1f(0) pn2f'(0) . f(n1)(0)56Lf(at) -F()aa (a>0)78表7-2常用函數(shù)的拉斯變換表序號1123456789101112131415161718192021習(xí)題7-2求5-12題中函數(shù)的拉氏變換4

17、t5 3e6 5sin 2t 3cost7 sin 2tcos2t 8 . sin3t .1, 0 t 4,sint, 0 t ,9. f(t) 1，t4.10.f(t) t，t.10, 0 t 2,J 1, 2 t 4,11. f(t)0,4t.12.f(t)tneat.7.3拉氏變換的逆運算前面我們主要討論了怎樣由已知函數(shù) f求它的象函數(shù)F （ p）的問題.運算法的另一面 是已知象函數(shù)F（p）要求它的象原函數(shù)f，這就是拉斯逆變換問題.同時把常用的拉氏變 換的性質(zhì)用逆變換形式一一列出.性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3（線性性質(zhì)）（平移性質(zhì)）（滯后性質(zhì)）L 1a1F1(p) a2F2(p) a1L1F1(p

18、)1 _L F(p a)L1e aPF(p)eatL1F(p)eatf(t)f(ta) u(ta)a2L1F2(p)a1 f1 (t) a2 f2(t)*例7-15求下列象函數(shù)的逆變換:F(P)(1)F(p)(3)1p 3 .2p 52- p(2)(4)F(p)F(p)解（1）將a3代入表二（5）,得f(t)1(P 2)3 .4P 3LT1P 33t e(2)由性質(zhì)2及表二(11f(t) L13(P 2)3(3)由性質(zhì)1及表二f(t) L12P2 P(4)由性質(zhì)1及表二1 4p 3f(t) L -2-P 44),得2t 11e L P(2)、 (3),2tL2仔1 2!1 ,2 2tt e21

19、112L 1一 5L 12 5tF(P)例7-16求p(9)、 (10),1 p4L - p 42P 3p2 2P 5的逆變換.312L2p2 434cos2t sin 2t2-1f(t) L 解52P 3. 1 2(p 1)2 L 2P2 2p 5 (p 1)2t5 tt52e cos2t e sin 2t e 2cos2t sin 2t 22在運用拉氏變換解決工程技術(shù)中的應(yīng)有問題時，通常遇到的象函數(shù)常常是有理分式，對于有理分式一般可采用部分分式方法將它分解為較為簡單的分式之和，然后再利用拉氏變換表求出象原函數(shù).p 9F（P）-例7-17 求 p 5P 11_112t _ 3t7L 6L 7

20、e 6ep 3p 2 p 3的逆變換.解 先將F（p）分解為兩個最簡分式之和:p 9p 9A B-2ZZ7-P5p6(p2)(p 3)p 2 p 3p 976用待定系數(shù)法求得A 7-2Z二 二 "-1 _1f(t) L F(p) L 6,所以P5P6P 2P 3,于是p 3F(P) 3 p 2例7-18求 p 4p 4P的逆變換.解 先將F (p)分解為幾個簡單分式之和：A用待定系數(shù)法求得3P34P 3 4p24P_ 2P(P 2)12,B一2C(P 2)2F(P)24p2 4P所以34P12(P 2)2于是342tIte 2t 2習(xí)題7-3求13-18題中函數(shù)的拉氏逆變換F(P)1

21、3.F(P)15.F(P)17.7.42二.2P 8 p2 362P3 c 2P 6pF(P)29pF(P)4Pp2 16P(PF(P)J1)( P 2)P2 12P(P 1)2拉氏變換應(yīng)用舉例下面舉例說明拉氏變換在解常微分方程中的應(yīng)用.例7-19求微分方程x(t) 2x(t) 0滿足初值條件：解第一步對方程兩邊取拉氏變換，并設(shè)Lx(t)Lx'(t) 2x(t) L0Lx(t) 2Lx(t) 0x(0) 3的解.X(P).pX(p) x(0) 2X(p) 0將初始條件x(0) 3代入上式，得(P 2)X(p) 3.這樣，原來的微分方程經(jīng)過拉氏變換后，就得到了一個象函數(shù)的代數(shù)方程.3第二步解出 X(p) ： X(P)=P 21134 2tx(t) L X(p) L - 3e第三步求象函數(shù)的拉氏逆變換：P 22t這樣就得到了微分方程的解x(t) 3e .7-3 :象函數(shù) 的代數(shù)由例7-19可知，用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程的方法的運算過程如表 作拉氏叁舞數(shù)線 解代數(shù)蚱程求拉氏里里挑B數(shù)刀象函數(shù).if-20邛牌jf程I y 3y 2yl 2e*足%彳g條件 y(0) 2, y(0)1 的解.解對所給微分方程的兩邊分別作拉氏變換.設(shè)Ly(t)