相似三角形中考復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)題型分類練習(xí))38482

1、相似三角形知識(shí)概述1 .平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2 .平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。3 .相似三角形的定義對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.4 .相似三角形的基本性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等.相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形的周長比等于相似比面積比等于相似比的平方溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例.相似比具有

2、順序性. 例如 AB6 A B' C的對應(yīng)邊的比，即相似比為k,則AA' B' C' s ABCF = J.的相似比工,當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有 k=k' =1.相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出.5 .相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長線相交，所得的三角形與原三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。溫馨提示：(1)判定三角形相似的幾條思路：條件中若有平行，可采用判定定理1

3、;條件中若有一對角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?，可再找一對角相等或找夾邊對應(yīng)成比例；條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對對應(yīng)角相等必 須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等.條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對應(yīng)成比例。(2)在綜合題中，注意相似知識(shí)的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用, 培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。(3)運(yùn)用相似的知識(shí)解決一些實(shí)際問題，要能夠在理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識(shí)的問題, 要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。6.位似定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這

4、樣的兩個(gè)圖形 叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.因此，位似圖形一定是相似圖形，但 相似圖形不一定是位似圖形.性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.11)(21注意：(1)位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.(2)兩個(gè)位似圖形不僅相似而且對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或在同一直線上7,三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的

5、一項(xiàng)基本功.通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊 (或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.2、常見的相似三角形的基本圖形:學(xué)習(xí)三角形相似的判定， 要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形 成一整套完整的判定方法.如：(1) “平行線型

6、”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖.“見平行，想相似”是解這類題的基本思路;(2) “相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀?“見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3) “旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/1=/2,/B=/D(或/C=/ E),則ADa ABC該圖可看成把第一個(gè)圖中的 ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線.以上 “平行線型”是常見的，這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識(shí)圖較困難，解題時(shí) 要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔

7、助線構(gòu)造出基本圖形.相似三角形專題分類練習(xí)講解題型一：線段的比、黃金分割1.在比仞尺1: 10000的地圖上，相距2cm的兩地的實(shí)際距離是(A. 200cmB . 200dm C . 200mD. 200km2.若二一則下列各式中不正確的是（）y 4fl x + y _7- y * 八 x-y_ 1 x + 2y 11A. = - B. - 4 C . = D.=y 4 y-ry qA 3x y 2 xc3 .若5 ,則;=；已知二2 ,則上上=y 3 x yx ,y 。4 .若 5x 4y 0 且 xy 0,貝U x ： y =。;已知）_y _z，且 3y 2z 6,則3565 .2和8的

8、比例中項(xiàng)是 ;線段2 cm與8 cm的比例中項(xiàng)為 6.已知 a : b : c = 2 ： 3 : 4,且 2a+ 3b2c=10,求 a, b , c 的值。題型二：相似的性質(zhì)1 .如果兩個(gè)相似三角形的面積比為3 : 4,則它們的周長比為 。2 .已知 AB8 DEF且 AB DE=1: 2,則 ABC的面積與 DEF的面積之比為 3 .如圖，DE/ BC, AD： BD=2： 3,則A ADE的面積：四邊形 DBCE勺面積=。4 .如圖，已知等邊三角形 ABC的邊長為2, DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：(1) DE=1, (2) CDa CAB (3) CDE勺面積與 CAB的面積之比

9、為1: 4.其中正確的有： 個(gè)5 .如圖，在梯形 ABCD43, AD/ BC, 4ADE與 BCE面積之比為 4 : 9,那么 ADE與 ABE面積之比為6 .平行四邊形ABCM,AB=28 E、F是對角線 AC上的兩點(diǎn)，且 AE=EF=FC DE交AB于點(diǎn)M, MF交CD于點(diǎn)N,貝U CN=第3題第4題第6題7.如圖，已知平行四邊形ABCD43, E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F,AC,DE把平行四邊形ABC防成的四部分的面積分別為 S1, S2, S3, S.卜面結(jié)論：只有一對相似三角形；EF: ED=1: 2;,Si： S2： S3： S4=1: 2: 4: 5.其中正確的結(jié)論是（）

10、A . B . C . D .8 .如圖，大正方形中有 2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是 S、S2 ,那么S、S2的大小關(guān)系是（）A. Si > S2B. S = S2C.S<S2D. S、展 的大小關(guān)系不確定9 .如圖，在正方形ABCD43,點(diǎn)E在AB邊上，且 AE：EB= 2 ： 1,AF±DE于G交BC于F,則4 AEG的面積與四邊形BEGF勺面積之比為（）A.1： 2B.1： 4C.4： 9D.2: 310 .如圖，已知 DE/ BC, CM BE相交于點(diǎn) O, S DOE ： S COB =4 ： 9,則 AE： EC為（）A.2： 1B.2： 3C.4： 9

11、D.5: 411.已知三個(gè)邊長為2, 3, 5的正方形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為 第7題第8題第9題第10題第11題12 .如圖在 ABC中，矢I形 DEFG G F在BC上，D> E分別在 AB> AC上,AHL BC交DE于M, DG： DE=1 ： 2, BC= 12 cm, A+ 8 cm,求矩形的各邊長。13.已知如圖，正方形CDFE勺面積S2OABCD43, AB= 2, E是BC的中點(diǎn)，DF, AE, F為垂足，求 DFA的面積S/口四邊形題型三：相似的有關(guān)證明1 .已知：如圖，梯形 ABCD43, AB/ DC E是AB的中點(diǎn)，直線 ED分別與對角線 AC和

12、BC的延長線交于 MN點(diǎn)求證：MD M9 ND NEN2 .如圖，D在 AB上，且DE/ BC 交AC于E,F在 AD上，且AD2AF AB,求證：AEQAACID3 .如圖，在平行四邊形 ABCD43,過點(diǎn)A作AE! BC,垂足為E,連接DE, F為線段DE上一點(diǎn)，且/ AFE之B(1)求證： ADD DE(C若 AB=& AD=6/3, AF=4百,求 AE 的長.題型四：函數(shù)與相似1 .如圖，正方形ABCD43, AB= 1,G為DC中點(diǎn)，E為BC上任一點(diǎn)，（E點(diǎn)與點(diǎn) 日點(diǎn)C不重合）設(shè)BE=N, 過E作GA平行線交AB于F,設(shè)AFEC®積為',寫出了與工1的函數(shù)

13、關(guān)系式，并指出自變量 國的取值范圍。2 .如圖，ABC比矩形，AH= 2, HD= 4, DE= 2, EC= 1, F是BC上任一點(diǎn)（F與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合），過 F 作EH的平行線交AB于G,設(shè)BF為|工，四邊形HGF前積為|,寫出，與工的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量走 的取值范圍。廠-3 .如圖，有一塊直角梯形鐵皮 ABCD AD= 3cm, BC= 6cm, CD= 4cm,現(xiàn)要截出矩形 EFCG （ E點(diǎn)在AB上,與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），設(shè)BE= X ,矩形EFC5長為7 ,（1）寫出與王的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量5取值范圍；（2） 1取何值，矩形 EFCGM積等于直角梯形 ABCD1積的千

14、。4 .如圖，已知拋物線 y = x21與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C. （1）求A B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).（2）過點(diǎn)A作AP/ CB交拋物線于點(diǎn) P,求四邊形 ACBP勺面積.（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M物線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E,連接AE,求證：AE=CE;(3)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)F,試問以B、F,為頂點(diǎn)的三角形與 ABC!似嗎？請說明理由.a題型五、圓與相似1 . (2013?綏化)如圖,占八、A, B,C, D為。上的四個(gè)點(diǎn)，AC平分/BAD AC交BD于點(diǎn)E,則AE的長為(A.4B.5C.6D.72 .如圖，AB為。的直徑,D是弧B

15、C的中點(diǎn)，DEL AC交AC的延長線于AD的延長線于點(diǎn)F。求證：DE是。的切線;(2)若DE= 3,。的半徑為5,求BF的長。3 .如圖，RtABC中，Z C=90° ,。為直角邊 BC上一點(diǎn)，以。為圓心,CE=4,CD=6)E,。的切線BF交OC為半徑的圓恰好與斜邊AB相切于點(diǎn)D,與BC交于另一點(diǎn) E.(1)求證： AO挈 AOD(2)若BE=1, BD=3,求。的半徑及圖中陰影部分的面積S.4.如圖。是 ABC外接圓，AB是直彳5, D是AB延長線上一點(diǎn)， AE±DC的延長線于點(diǎn)E,且AC平分/EAR (1)求證:DE是。的切線；(2) 若AB=6, AE=4,求BCn

16、 BD的長5. (2012遼寧)如圖，AB是。的直徑，點(diǎn) C在。0上，/ CAB的平分線交。于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E,連接BC交AD點(diǎn)F。(1)猜想ED與。的位置關(guān)系，并證明你的猜想;(2)若 AB= 6, AD= 5,求 AF的長。6. (2013?十堰)如圖1, 4ABC中，CA=CB點(diǎn)O在高CH上，ODLCA于點(diǎn)D, OELCB于點(diǎn)E,以。為圓心，OD為半徑作。O.(1)求證：O。與CB相切于點(diǎn)E;(2)如圖2,若。過點(diǎn)H,且AC=5, AB=6,連接EH,求 BHE的面積.題型六、因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題1 . D是4ABC的AB邊上一點(diǎn)，過 A D及三角形邊上的一點(diǎn)

17、 E的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。CD是RtABC的BC邊上一點(diǎn)，過 C D及三角形邊上的一點(diǎn) E的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。2 .已知RtOA取直角坐標(biāo)系中白位置如圖，P (3, 4)為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線0人£±的動(dòng)點(diǎn)，線段線段，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)。x3.在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A (4,PC把RtOAB成兩部分，問點(diǎn) C在什么位置時(shí)，分割彳#到的三角形與OA則似？畫出所有符合要求的0), B (0, 2),如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得由點(diǎn)B O C組成的三角形與 AOBf似。4 .已知：如圖，P是邊長為4的正方形ABCD一點(diǎn)，且PB

18、=3, BH BP,垂足為B,請?jiān)谏渚€BF上找一點(diǎn)M使以R M C為頂點(diǎn)的三角形與 ABP相似。5 .正方形ABCDi長為4, M N分別是BC CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保才| AMW MNB直.(1)證明：RtAABIVhRtAMCN(2)設(shè)BMx,梯形ABCN勺面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCNT積最大，并求出最大面積；(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí) RtAABMh RtAMN求此時(shí)x的值.6 .如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)AB,EGJ± AC垂足分別為 F,G.(1)

19、求證：EG CG ；AD cD(2) FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由;(3)當(dāng)AB=AC寸， FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由.7 .矩形OABCE平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (6, 0), C (0, 3),直線y=3x與BC邊相交于 D點(diǎn).4(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若拋物線y=ax?9x經(jīng)過點(diǎn)A,試確定此拋物線的表達(dá)式；4(3)設(shè)(2)中的拋物線的對稱軸與直線O或于點(diǎn)M點(diǎn)P為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以 P、O M為頂點(diǎn)的三角形與 OCDI似，求符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo).8 .如圖，拋物線 y= 1x2+ _5x2與x軸相交于點(diǎn) A B

20、,與y軸相交于點(diǎn)C.22(1)求證： AOGACOB(2)過點(diǎn)C作CD/ x軸交拋物線于點(diǎn) D.若點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個(gè)單位的速度由A向B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個(gè)單位的速度由 D向C運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過幾秒后， PQ= AC9 .如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（0, 7由），且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段 AB9的長為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+PDt小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);在拋物線上是否存在點(diǎn) Q使QABfABC!目似？如果存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理題型三：位似10 如圖所示，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCD敞大后得至

21、IJ五邊形 A B' C D' E.已知OA= 10 cm, OA =20 cm,則五邊形 ABCDE勺周長與五邊形 A B C D' E'的周長白比值是 .11 如圖，在6X8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為 1,點(diǎn)O和ABC勺頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn). 以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖 中作 A' B' C',使AA' B' C和ABCB似，且位似比為 1： 2連接中的AA',求四邊形 AA' C C的周長.（結(jié)果保留根號(hào)）12 如圖，點(diǎn) O是等邊三角形 PQR勺中心，P'、Q'、R'分另1J是 OP OQ OR的中點(diǎn)，則4 P' Q R'