平面幾何與立體幾何的類比

1、平面幾何與立體幾何的類比一目標(biāo)定位“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是高中數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)基本理念 .雖然形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，學(xué)會(huì)形式化表達(dá)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本要求，但更重要的是對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，是生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng) .高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程的本質(zhì)，除了要講邏輯推理，更要講道理（合情推理） .為此，高中數(shù)學(xué)課程中的立體幾何初步，其內(nèi)容設(shè)計(jì)將合情推理與演繹推理有機(jī)地結(jié)合在一起，體現(xiàn)了直觀幾何與論證幾何的結(jié)合，避免了以往課程中以論證幾何為主線展開幾何內(nèi)容的形式化的問題，讓學(xué)生在自主探索的過程中，理解有關(guān)數(shù)學(xué)概念、結(jié)論，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法 . 根據(jù)數(shù)學(xué)

2、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本節(jié)課的目標(biāo)要求定位如下：1、通過比較、分析平面幾何與立體幾何的相似性，進(jìn)行類比推理，構(gòu)造新的概念、創(chuàng)建新命題、拓展新結(jié)論和尋找解題途徑 .2、了解類比在科學(xué)上的運(yùn)用 .通過研究過程，培養(yǎng)學(xué)生“主動(dòng)探索、敢于實(shí)踐、勇于發(fā)現(xiàn)、合作交流”的能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力 .3、通過創(chuàng)設(shè)和諧、協(xié)作的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生體驗(yàn)成功，增強(qiáng)自信，增強(qiáng)運(yùn)用類比推理的自覺性，并在探究與體驗(yàn)活動(dòng)中感受幾何學(xué)中的結(jié)構(gòu)美和對稱美 .二多向?qū)Ρ龋o）三案例聚焦本節(jié)內(nèi)容為教材（立體幾何初步）中的一個(gè)閱讀材料，編排這個(gè)閱讀材料是為了擴(kuò)展學(xué)生的知識，提高學(xué)生的興趣 .通過該閱讀材料，可使學(xué)生體會(huì)類比這種合情推理在猜

3、測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路方面的作用 .在本專題的教學(xué)中，教師還可以根據(jù)實(shí)際情況對一部分有興趣的同學(xué)作進(jìn)一步的指導(dǎo)和要求，讓這部分同學(xué)查找、閱讀有關(guān)資料，了解類比在科學(xué)研究中的作用、意義和重要性 .由于本專題蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，故本專題內(nèi)容除了是知識上的拓展，更應(yīng)看成是方法上的拓展 .類比思想應(yīng)受到足夠的重視，因?yàn)樗芗ぐl(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行探索、發(fā)現(xiàn)的意識和能力 .因此，要充分利用和挖掘教材中的有關(guān)內(nèi)容，創(chuàng)造機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)和運(yùn)用類比的方法 .但也要讓學(xué)生思考類比方法在拓展和推廣方面的可靠性和正確性，辨證地理解創(chuàng)新和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系 .事實(shí)上，合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)基本

4、知識的理解，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，只有這樣，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力 .本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是類比的對象間的結(jié)構(gòu)特征（類的界定、比的內(nèi)容）、規(guī)則和方式以及運(yùn)用類比推理思想解決有關(guān)問題，而教學(xué)難點(diǎn)則是類比中命題變化的內(nèi)容、規(guī)則、特點(diǎn)及命題不變的結(jié)構(gòu)、關(guān)系、屬性，另外，類比中的新元素、新關(guān)系、新圖形的構(gòu)建、定義和約定也是難點(diǎn)所在 .在教學(xué)的過程中，應(yīng)使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)觀察分析數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)問題間的聯(lián)系和區(qū)別，尋找數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的“改變”與“不變”、“個(gè)性”與“共性” .加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容框架的宏觀認(rèn)識 .四教學(xué)示例（蘇教版）（一）提出問題，引導(dǎo)思考：平面幾何與立體幾何的關(guān)系？1、 

5、由平面幾何與立體幾何的相似性引發(fā)的思考，是否可以類比 .平面幾何和立體幾何在研究對象和方法、構(gòu)成圖形的基本元素等方面是相同或相似的，因此，在兩者之間進(jìn)行類比是研究他們性質(zhì)的一種非常有效的方法 .2、  什么是類比？類比是根據(jù)兩個(gè)對象在某些方面的相同或相似，推出它們在其他方面的相同或相似點(diǎn)的一種推理方法 .波利亞指出：類比就是一種相似 .類比思維的認(rèn)識依據(jù)是客觀事物或?qū)ο笾g存在的普遍聯(lián)系-相似形 .舉例：為什么人的老年稱為生命的黃昏？3、  類比在科學(xué)研究中的作用、意義和重要性 .由于類比推理所得結(jié)論的真實(shí)性并不可靠，因此它不能作為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理方法 .盡管如此，我們絲毫不

6、能由此忽視類比法 .為什么呢？因?yàn)樗翘岢鲂聠栴}和獲得新發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉 .還是波利亞說的好：如果把類比猜想的結(jié)論的似真性當(dāng)作肯定性，那將是愚蠢的 .但是，忽視這種似真的猜想更為愚蠢 .讓我們欣賞一段名人名言（Kepler）：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何中它應(yīng)該是最不容忽視的 .”（二）      研究課題：立體幾何與平面幾何的類比1、  如何進(jìn)行類比為了對二者進(jìn)行類比，可以在它們的基本元素之間建立如下的類比關(guān)系：平 面 空間從元素的相對關(guān)系入手 點(diǎn) 點(diǎn)或直線直線 直線或平面平面圖形

7、 平面圖形或立體圖形從元素的度量關(guān)系入手例如：線段長 面積面積 體積從元素的結(jié)構(gòu)特征入手平面角 二面角三角形 四面體（三棱錐）多邊形 多面體 2、  類比構(gòu)造命題例1、（1）在平面幾何中，若兩個(gè)角的邊對應(yīng)平行或垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) .那么推廣到空間，又有怎么樣的一個(gè)命題，并判斷該命題是否成立 .（2）在平面幾何中，三角形具有性質(zhì)：三角形的中線平分三角形的面積 .試將該性質(zhì)推廣到空間，寫出相應(yīng)的一個(gè)真命題，并加以證明 .點(diǎn)評：在進(jìn)行類比時(shí)要了解一些平面幾何研究對象與立體幾何研究對象常用的類比關(guān)系，如直線類比平面，三角形類比四面體，長度類比面積，面積類比體積等等 .但要注意的是這些

8、類比關(guān)系又不是唯一的 .例2、（2004年高考廣東卷） 在圖1所示的三角形PAB中，有面積關(guān)系：，則推廣到空間，在圖2所示的三棱錐P-ABC中，有體積關(guān)系： .3、  類比拓展結(jié)論例3、對勾股定理的拓展引申 .勾股定理：在直角邊長為a,b，斜邊長為c的直角三角形中，有 .類比：長、寬、高分別為a、b、c，對角線長為l的長方體中，有 .類比：設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則4、  類比推理論證由立體幾何問題，用類比的方法構(gòu)造輔助的平面幾何問題，通過這個(gè)問題的解決，類比猜想立體幾何問題的解決方法 .例4、求證：正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值 .

9、第一步 類比構(gòu)造一個(gè)輔助平面幾何問題“求證:正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值”.第二步 通過分割的方法,利用面積的關(guān)系解決平面幾何問題(圖3). 圖3 圖4第三步 類比猜想,所給立體幾何問題是否也可以通過分割的方法,利用體積的關(guān)系來證明(圖4)?這個(gè)猜想是正確的(證明留給學(xué)生課外完成).（三）學(xué)生自主探索，嘗試體驗(yàn)類比 平面幾何與立體幾何的許多概念、性質(zhì)是相似的，如：“長方形的每一邊恰好與另一邊平行，而與其余的邊垂直”；“長方體的每一面恰好與另一面平行，而與其余的面垂直”.問題1：請你用類比法寫出更多相似的命題 .問題2：請你先寫出平面幾何中的一個(gè)結(jié)論，然后用類比法拓展推廣到空間的情形

10、，并加以證明 .問題3：你會(huì)運(yùn)用類比推理論證來解題嗎？不妨舉例一試！ 學(xué)生分組研究，由各小組推選學(xué)生展示有關(guān)研究成果 .（四）歸納總結(jié)有關(guān)內(nèi)容1、  類比的方式：類比構(gòu)造命題；類比拓展結(jié)論；類比推理論證 .2、  類比方法的簡單闡述：類比的存在性、可行性（合情推理）； 類比的必然性、偶然性（演繹推理）； 類比的探索性、創(chuàng)造性（創(chuàng)新思維）； 類比方法的聯(lián)想意識和運(yùn)用意識 . 3、  類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題，正如波利亞所說：“對平面幾何和立體幾何作類比，是提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn)取之不竭的源泉” .五、資源點(diǎn)擊課后作業(yè)建議

11、1、  請你用類比法寫出一組平面幾何與立體幾何相似的命題 .2、  請你用類比法將平面幾何的有關(guān)結(jié)論拓展推廣到空間的情形，并加以證明 .3、請你舉一例運(yùn)用類比推理論證來解決的立體幾何問題 .4、在平面幾何中，存在性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)倒頂點(diǎn)的距離與它到對邊中點(diǎn)的距離之比為；在立體幾何中，如果定義：四面體的頂點(diǎn)與其相對底面的重心連線也叫四面體的中線 . 請你判斷，四面體的四條中線是否也存在著類似的性質(zhì) .若存在，請用簡練語言敘述，并給予證明；若不存在，請說明理由 .5、  空間有n個(gè)平面，每三個(gè)平面交于一點(diǎn)，但無四面共點(diǎn)，試問：這些平面將空間分成幾部分

12、？（以上5題任選2題即可）拓展資源1、  借助類比推理，可望形成有關(guān)問題答案的猜想，從而找到有用的探索方向 .例如：已知，求證：（提示：先與“若則”這個(gè)結(jié)論作類比，然后用三角代換的方法證明）2、  類比是富于創(chuàng)造性的方法之一拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比 .”徐利治教授對歸納與類比在從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造性科學(xué)研究活動(dòng)過程中的作用作了充分肯定，畫了如下的圖： 在數(shù)學(xué)史上，類比推理給人的啟示是巨大的 .數(shù)學(xué)發(fā)展史上充滿了類比，我們隨時(shí)可以找到許多例證 .我們想用一個(gè)不太初等的例子來說明這點(diǎn)，但是這是一個(gè)比我所能想出的任何太初等的例子更能使人難忘和具有歷史意義的有趣的例子（波利亞語），瑞士數(shù)學(xué)家伯努利，他發(fā)現(xiàn)過幾個(gè)無窮級數(shù)的和，但是他未能求出所有的正整數(shù)平方的倒數(shù)之和，即未能找出：的和，這個(gè)問題引起了另一個(gè)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的注意，他發(fā)現(xiàn)了這個(gè)和的各式各樣表達(dá)式（定積分、級數(shù)），但沒有一個(gè)能使他滿意，他用了這些表達(dá)式之一，算出了有七位有效數(shù)字的和（1.644934），然而這僅僅是一個(gè)近似值，而他的目的是要求出準(zhǔn)確值，最后他發(fā)現(xiàn)了它，類比推理引導(dǎo)他作出了一個(gè)非常大膽的猜想 .數(shù)學(xué)家歐拉用類比法猜想的過程給人們以