2013年中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)與特殊角押軸題(帶答案)

1、2013年中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)與特殊角押軸題（帶答案）銳角三角函數(shù)與特殊角的押軸題解析匯編二銳角三角函數(shù)與特殊角一、選擇題1（2011湖北隨州，9，3分）cos30 =（）ABCD【思路分析】因?yàn)閏os30,所以C正確.故選C.【答案】C【點(diǎn)評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函 數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.難度較小.1.（2011甘肅蘭州，4,4分）如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的 交點(diǎn)處，若將ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到則tan的值為（）A.B.C.D.【解題思路】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/二/B,利用網(wǎng)格構(gòu)建一個(gè)直角三 角形，通過觀察可以看出/B的對邊為1,相鄰的直角邊等于3,

2、所以tan二tanB二，故選B,其余選項(xiàng)顯然不正確.【答案】B.【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形三角函數(shù)的定義,旋轉(zhuǎn) 不改變圖形的形狀和大小,利用圖形的初始位置進(jìn)行思考是解決本題 的重要方法,另 ABC顯然不是一個(gè)直角三角形,巧妙的利用網(wǎng)格構(gòu) 建直角三角形也是一個(gè)非常重要的方法.難度中等.2.（2011江蘇鎮(zhèn)江，6, 2分）如圖，在RtAABC中，/ACB= 90CD丄AB,垂足為D.若AC=,BC=2,貝卩sin/ACD的值為（）ABCD【解題思路】T/ACD=ZB,Asin/ACD= sin/B=.【答案】A【點(diǎn)評】此題主要考查三角形函數(shù)的定義.直角三角形中，一個(gè)銳角 的正弦是指對

3、邊與斜邊的比.具體求值時(shí)，可進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題變得 簡單，難度較小.2、（2011四川樂山，2,3分）如圖（1）,在4X4的正方形網(wǎng)格中，tana=（A）1（B）2（C）（D）【解題思路】 根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)： 設(shè)每一小正方形的邊長為1，可以確定/a的對邊為2,鄰邊為1,然后利用正切的定義tana= a的對邊/a的鄰邊=2.故A、C D不正確。【答案】B。【點(diǎn)評】網(wǎng)格問題是近幾年來中考的熱點(diǎn)，它考查了學(xué)生的讀圖、析 圖的能力，充分利用網(wǎng)格的特點(diǎn)，構(gòu)建適當(dāng)?shù)膱D形，確定圖形相應(yīng)的 邊長或角的度數(shù)，根據(jù)題目條件要求列式計(jì)算。難度中等.10. （2011年四川省南充市，10,3分）如圖，/ABC和/CDE均

4、為等 腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：tan/AEC二;S/ABC+Sd CD醫(yī)S/ACE;BM丄DM;BM=DM.正 確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)【解題思路】此題易得/ACE=90,二tan/AEC=.成立;設(shè)AC=a,CE=b則而故,即：二成立；延長DM交直線AB于N,易證AMNAEMD, 進(jìn)而得到MD二MN,BD=BN由等腰三角形三線合一，可得成立?！敬鸢浮緿【點(diǎn)評】本題是一個(gè)綜合性題目，有一定難度。9.（2011四川樂山，9,3分）如圖（5）,在正方形ABCD中，E、F分 別是邊BC CD的中點(diǎn)，AE交BF于點(diǎn)H, CG

5、/ AE交BF于點(diǎn)G。 下列 結(jié)論： tan/HBE二coHEBH二F. 其中正確的序號(hào)是（A）（B） （C）（D）【解題思路】：根據(jù)題意：TE、F分別是正方形ABCD邊BG CD的中點(diǎn)，二ABEABCF/./BAE=/ CBF又v/BEA與/BAE互余，二/BEA與/EBH互余，即AE! BFABHE是直角三角形，tan/HBE=co/HEB正確；又vCG/ AE,GFC是直角三角形，即BCFACDF/.成立；又vBE=CF/GFC/BEH/BHE=Z CGF/ BHEACGF,故BH=CG,BH=FG不成立；vE、F分別是邊BC CD的中點(diǎn)，設(shè)正方 形ABCD的邊長為2,則BE=1,根據(jù)勾

6、股定理可得：BF=,GF=P=4,成 立。故D正確。答案】D【點(diǎn)評】本題是對三角形的全等、相似、勾股定理以及三角函數(shù)的應(yīng) 用的綜合考查，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)正方形的特點(diǎn)， 確定邊、角關(guān)系， 判定三角形的形狀，證得三角形全等、相似；并應(yīng)用勾股定理求得邊 長，利用全等、 相似關(guān)系，從而判定四個(gè)結(jié)論的正誤。 本題難度較大。（2011常州市第6題,2分）如圖，在RtABC中，/ACB=90,CD丄AB,垂足為D。若AC= BC=2則sin/ACD的值為ABCD【解題思路】在RtAABC中，由勾股定理得AB二，再根據(jù)等角的轉(zhuǎn)化，Sin/ACD二sir/B二故選A.【答案】選A.【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的

7、相關(guān)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)等角/ACD與/B之間的轉(zhuǎn)化.（2011江蘇蘇州，9,3分）在四邊形ABCD中，E、F分別是AB AD的中點(diǎn)，若EF=2 BC=5 CD=3則tanC等于（）A.B.C.D.【解題思路】連結(jié)BD,根據(jù)中位線EF知BDF=4在厶DBC中，因?yàn)锽D2+DC2=42 + 32=25,BC2=52=25,所以BD2+DC2=BC2所以 /BDC=90， 所以tanC=,故選B.【答案】B【點(diǎn)評】本題綜合考查了中位線、 勾股定理和銳角三角函數(shù)， 求tanC， 就要把/C構(gòu)成在一個(gè)直角三角形中.二、填空題1._（2011年湖北省武漢市3分）sin30的值為_.分析：特殊角的三

8、角函數(shù)值。答案： 點(diǎn)評：本題主要考察特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題。1. （2011福建泉州，16,4分）如圖，在RtAABC中，/C=90, AC=3,BC=4,則AB=，=.【解題思路】由勾股定理可得AB=5,由三角函數(shù)的定義可知：【答案】5,；【點(diǎn)評】本題側(cè)重對勾股定理,及三角函數(shù)定義的考查,難度較小。2. （2011江蘇鎮(zhèn)江，11,2分）若/a的補(bǔ)角是120則/a=_,sina=_.【解題思路】/a的補(bǔ)角是180 /a.sin60=.【答案】60,【點(diǎn)評】此題考查補(bǔ)角的概念,特殊角的三角函數(shù)值,難度較小.（2011常州市第11題,2分）若/的補(bǔ)角為120,則/=,Sin=。 【解題思路

9、】由/的補(bǔ)角為120建立方程180-/=120,解得/=600,sin600=.答案：600,【點(diǎn)評】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件建立方程，熟記特殊角的三角函 數(shù)值。（2011江蘇連云港，14,3分）ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，貝卩sinA=_.【解題思路】用勾股定理可以求得AC= AB邊上的高為2,即【答案】【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、 三角函數(shù)等知識(shí)及構(gòu)造思想。 難度較小。1.（2011湖南株洲,11,3分）如圖,孔明同學(xué)背著一桶水,從山腳 出發(fā),沿與地面成角的山坡向上走,送水到山上因今年春季受旱缺水 的王奶奶家（處）,米,貝孔明從到上升的高度是米.【解題思路】由圖形,結(jié)合含有30角的直角三

10、角形性質(zhì),或銳角函數(shù) 的知識(shí)求得BC= 40米.【答案】40.【點(diǎn)評】直角三角形是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ),也是中考的常考知識(shí).難度較小.3.（2011江西南昌,16,3分）如圖所示,兩塊完全相同的含30角的 直角三角形疊放在一起，且/DAB=30.有以下四個(gè)結(jié)論：AF丄BCADG4AACRO為BC的中點(diǎn)AG:DE= 4,其中正 確結(jié)論的序號(hào)是. （錯(cuò)填得0分,少填酌情給分）【解題思路】由/DAB=30得/BAE=60,所以/CAF=30而/C=60所以/CAF=90即AF丄BC,因 為/DAB二/CAF/D=ZC=60AD=AC，所 以AD3AACF連接OA易得OB=OA=OC艮卩O為BC的中點(diǎn)，

11、在直角ADG中，設(shè)DG=a貝卩AD=2a,AG=a在直角ADE中可得DE=4a所以AG:DE= 4.【答案】 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定、銳角三 角函數(shù)的意義和學(xué)生綜合分析的能力，難度較大.三、解答題17（2011四川樂山，17，9分）計(jì)算： 【解題思路】：根據(jù)絕對值的意義、銳角三角函數(shù)、 負(fù)指數(shù)的運(yùn)算和最 簡二次根式的化簡， 進(jìn)行計(jì)算：|-2|=2；cos300=;（）-1=3;=2.【答案】=2-+3+2=2-2+3+2=5.【點(diǎn)評】本題是對數(shù)與式的運(yùn)算的考查，特別是對絕對值的意義、銳 角三角函數(shù)、負(fù)指數(shù)的運(yùn)算和最簡二次根式的化簡的理解， 綜合性強(qiáng)。 本題難度中等

12、。21（2011四川廣安，21，7分）計(jì)算： 【解題思路】本題為基本計(jì)算題，主要考察負(fù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特 殊角三角函數(shù)值和絕對值的運(yùn)算【答案】解：原式=【點(diǎn)評】本題為基本計(jì)算題，主要考察負(fù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角 三角函數(shù)值和絕對值的運(yùn)算難度中等20（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，19，7分）計(jì)算： 【解題思路】原式=【答案】 【點(diǎn)評】本題主要考查了二次根式的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、絕 對值的意義、零指數(shù).難度較小.1. （2011四川內(nèi)江，17,7分）計(jì)算：tan30 -（n-2011）0+-【思路分析】分別計(jì)算三角函數(shù)值、化簡二次根式、求零次冪及去絕 對值,然后合并同類項(xiàng)或同類二次根式.【答

13、案】解：原式二X-1+2+1-=1+【點(diǎn)評】對于二次根式化應(yīng)化為最簡二次根式,絕對值的化簡應(yīng)注意 絕對號(hào)內(nèi)的數(shù)的正負(fù), 任何不等于零的數(shù)（或式）的零次冪都等于1.本 題易出現(xiàn)（n-2011）0=0、這樣的錯(cuò)誤.1.（2011甘肅蘭州，21,7分） 已知a是銳角， 且sin（a+15）=.計(jì)算4cosa+tan的+值.【解題思路】將a+15看成一個(gè)角，考慮特殊角的三角函數(shù)值sin60 =, 求出a=45,代入式子即可.【答案】Tsin60=,.a+15 =6,二a=45二4cosa+tana+=4cos45 1+tan45 +3二411 + 1+3=3.【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、零指

14、數(shù)冪的乘方、負(fù)指數(shù) 冪的乘方等知識(shí)點(diǎn).這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)也是最容易出錯(cuò)的地方，計(jì)算時(shí)只要 注意即可.難度較小.2.（2011廣東河源，11，6分） 計(jì)算：【解題思路】分別求出每個(gè)式子的值,再分別加減.，一個(gè)負(fù)數(shù)的允絕對 值是這個(gè)數(shù)相反數(shù)，?！敬鸢浮吭?3+1-3-=1-=-【點(diǎn)評】此題綜合考查絕對值、二次根式、三角函數(shù)、零指數(shù)冪及負(fù) 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，是一道綜合多個(gè)簡單知識(shí)點(diǎn)的常規(guī)計(jì)算題，計(jì)算 時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)，難度中等3.（2011江蘇鎮(zhèn)江，18（1），4分）計(jì)算：sin45；【解題思路】（1）將sin45和進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再加減.【答案】解：（1）原式=+2=2.【點(diǎn)評】本小題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，難度較

15、小.22.（2011四川眉山，22，8分）在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，一位同學(xué)在教學(xué)樓的點(diǎn)A處觀察旗桿BC,測得旗桿頂部B的仰角為30測得旗 桿底部C的俯角為60已知點(diǎn)A距地面的高AD為15cm.求旗桿的 高度【解題思路】過A作AE丄BC,構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，然后利用解直角 三角形的知識(shí)解答【答案】過A作AE丄BC,垂足為E,由題意可知，四邊形ADCE為矩 形， EC=AD=15在RtAAEC中，tan/EAC=AE=（米）,在RtAAEB中,tan/BAE=BE二AE?taMEAB=?tan30 =（米），BC=CE+BE=20米）.故旗桿高度為20米【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的知識(shí)，作出輔助

16、線，構(gòu)造直角三 角形是解題的關(guān)鍵難度中等（2011江蘇南京，7分）如圖，某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組測量電視塔AB的 高度，他們借助一個(gè)高度為30m的建筑物CD進(jìn)行測量， 在點(diǎn)C處塔 頂B的仰角為45在點(diǎn)E處測得B的仰角為37 （B、D、E三點(diǎn)在一 條直線上）.求電視塔的高度h.（參考數(shù)據(jù)：sin370,.6Cos37 0.80an370）75【解題思路】本題主要考查了利用三角形函數(shù)求三角形的邊長，因?yàn)樵邳c(diǎn)C處塔頂B的仰角為45所以可以知道ABC為等腰直角三角形，所以AB二AC這樣就可以借助直角ABE求出電視塔的高度了【答案】在中，=.二EC=-().在中，/BCA= 45A在中，=.二.二(). 答：

17、電視塔高度約為120.點(diǎn)評：本題利用測電視塔的知識(shí)來考查三角形函數(shù)的知識(shí)，鮮活的背 景，豐富了試題的載體難度中等。4.(2011甘肅蘭州，26，9分)通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三 角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長 與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角 之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對 (sad)， 如圖，在ABC中，AB=AC頂角A的正對記作sadA,這時(shí)sadA二底邊/腰=.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定 的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad60=.(2) 對于0Av18

18、0 /A的正對值sadA的取值范圍是.(3) 如圖，已知si nA二，其中/A為銳角，試求sadA的值.【解題思路】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的的度數(shù)，判斷 出三角形為等邊三角形, 再根據(jù)正對的定義解答；(2)求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；(3)作出直角ABC,構(gòu)造等腰三角 形ACD,根據(jù)正對的定義解答.【答案】（1）根據(jù)正對定義， 當(dāng)頂角為60時(shí)，等腰三角形底角為60， 則三角形為等邊三角形，則sad60=1.（2） 當(dāng)/A接近0寸，sada接近0,當(dāng)/A接近180時(shí)，等腰三角形 的底接近于腰的二倍，故sada接近2.于是sadA的取值范圍是0vsadAv2.故答案為0vsadAv2.（3） 如圖，在ABC中，/ACB=90,sin/ A二.在AB上取點(diǎn)D,使AD=AC作DH丄AC, H為垂足，令BC=3k AB=5k,則AD=AC=4k又在ADH中，/AHD=90,sin/A=.DH=ADsinZ A=k, AH=k.則在CDH中，CH=AC-AH=k CD=k于是在ACD中，AD=AC=4k CD=k.由正對的定義可得：sadA=.【點(diǎn)評】此題是一道新定義的題目，考查了正對這一新內(nèi)容，要熟