重點高中數(shù)學(xué)搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(學(xué)生版)

1、精心整理八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球當(dāng)講到付雨樓老師于2021年1月14日總第539期微文章,我如獲至寶.為有了教學(xué)的實施, 我以付老師的文章主基石、框架,增加了我個人的理解及例題,形成此文,仍用文原名,與各位同 行分享.不當(dāng)之處,敬請大家批評指正.一、有關(guān)定義1 .球的定義：空間中到定點的距離等于定長的點的集合軌跡叫球面,簡稱球 2 .外接球的定義：假設(shè)一個多面體的各個頂點都在一個球的球面上,那么稱這個多面體是這個球的內(nèi) 接多面體,這個球是這個多面體的外接球.3 .內(nèi)切球的定義：假設(shè)一個多面體的各面都與一個球的球面相切,那么稱這個多面體是這個球的外切 I多面體,這個球是這個

2、多面體的內(nèi)切球.二、外接球的有關(guān)知識與方法1 .性質(zhì)：|,性質(zhì)1:過球心的平面截球面所得圓是大圓,大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)2:經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心,該平面截球所得圓是大圓；性質(zhì)3:過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面類比：圓的垂徑定理；性質(zhì)4:球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心；性質(zhì)5:在同一球中,過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交,交點是球心類比：在同圓中,兩相交弦的中垂線交點是圓心精心整理2 .結(jié)論：結(jié)論1:長方體的外接球的球心在體對角線的交點處,即長方體的體對角線的中點是球心；結(jié)論2:假設(shè)由長方體切得的多面體的所有頂點是原長方體的頂點,那么

3、所得多面體與原長方體的外接球相同；結(jié)論3:長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓圓心,換言之,就是：底面的一條對角線與一條高棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓；/ A J X結(jié)論4:圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點處；結(jié)論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓,該矩形的對角線外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論6:直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7:圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上； / I結(jié)論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓,該三角形的外接圓直徑是球的直徑；結(jié)論9:側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球 .3

4、.終極利器：勾股定理、正定理 及余弦定理解三角形求線段長度；三、內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1 .假設(shè)球與平面相切,那么切點與球心連線與切面垂直 .與直線切圓的結(jié)論有一致性.2 .內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.類比：與多邊形的內(nèi)切圓.3,正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.4,正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上,但不一定重合 .精心整理5.根本方法:1構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理;2體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法等體積法四、與臺體相關(guān)的,此略五、八大模型第一講柱體背景的模型類型一、墻角模型三條棱兩兩垂直,不找球心的位置即可求出球半徑 方法：找三條兩兩

5、垂直的線段,直接用公式 2R2 = a2+b2+c2 ,即2R = 4 a2 + b2+c2 ,求出R例1 1各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,那么這個球的外表積是A. 16二 B. 20二 C. 24二 D. 32 二2假設(shè)三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為 43,那么其外接球的外表積是(3)HSB3題-1引理ADCE在正三棱錐S-ABC中,M、N分別是棱SC BC的中點,AM _LMN,假設(shè)側(cè)棱SA = 2而,那么正三棱錐S-ABC外接球面積是.解：引理：正三棱錐的對棱互相垂直.證實如下：如圖3 -1 ,取AB,BC的中點D,E ,連接AE,CD , AE, CD交于

6、H,連接SH ,那么H是底面正三角形ABC的中央, 二 SH _L 平面 ABC,二 SH -L AB , ; AC=BC, AD=BD, CD _L AB ,AB_L平面 SCD,精心整理垂J.AB_LSC,同理：BC1SA, AC1SB,即正三棱錐的對棱互直,此題圖如圖(3) -2, 丁 AM 1 MN , SB/MN ,二 AM 1SB , v AC _LSB, SB _L平面 SAC ,SB_SA, SB_SC,SB_SA, BC _ SA,:.SA_L平面 SBC ,SA_LSC ,故三棱錐S - ABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直,二(2R)2 =(23)2 +(2百)2 +(2遙)2

7、 =36 ,即4R2 =36 ,正三棱錐S - ABC外接球的外表積是36K .(4)在四面體S-ABC中,SA_L平面ABC, /BAC =120 ： SA= AC = 2, AB = 1,那么該四面體的外接球的外表積為6、4、3,那么它的外接球的外表積是5如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,它們的面積分別為和邊6某幾何體的三視圖如下圖,三視圖是腰長為1的等腰直角三角形 I長為1的正方形,那么該幾何體外接球的體積為I類型二、對棱相等模型補形為長方體題設(shè)：三棱錐即四面體中,三組對棱分別相等,求外接球(AB=CD, AD=BC, AC=BD)B圖2-1第一步：畫出一個長方體,標(biāo)出三組互為異面直線的對棱

8、；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為 a,b,c, AD = BC=x,AB=CD=y, AC=BD=z,列方程組,精心整理a2 +b2 =x22,2,2-2,22 /cc2 22,2 X 十 y 十 ZJb +c =y = (2R) =a +b +c =,2222c a = zI1 .1 .補充：圖 2-1 中,VACD =abc abc 父4 = abc .63222222222第三步：根據(jù)墻角模型,2R =、a2 +b2+c2 JXyZ-, R2 = X *y Z , R-F二匚 28,8求出R.例2(1)如下列圖所示三棱錐 A BCD,其中AB = CD =5,AC = BD =6, A

9、D = BC =7,那么該三棱錐外接球的外表積為.(2)在三棱錐 ABCD 中,AB=CD=2, AD = BC=3, AC = BD = 4 ,那么三棱錐 A BCD 外接球的外表積為.(3)正四面體的各條棱長都為板,那么該正面體外接球的體積為) I/ I(4)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上,假設(shè)過該球球心的一個截面如下列圖,那么圖中三角形(正四面體的截面)的面積是.類型三、漢堡模型(直棱柱的外接球、圓柱的外接球)題設(shè)：如圖3-1 ,圖3-2 ,圖3-3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步：確定球心.的位置,O1是AABC的外心,那

10、么OO1_L平面ABC;1 1弟一步：算出小圓 O1的半徑AO1=r, OO1=AA1= h ( AA1 = h也是圓柱的圖)；2 2第三步：勾股定理：OA2 =O1A2 +0102n R2=4)2+r2= R = Jr2 +(-)2 ,解出 R.22精心整理例3 (1) 一個正六棱柱的底面上正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3,那么這個球的體積為8(2)直三棱柱ABC -ABCi的各頂點都在同一球面上,假設(shè) AB = AC = AAi=2,/BAC = 120那么此 球的外表積等于.(3)AEAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互

11、相垂直,EA = EB = 3, AD = 2/AEB = 60口, 那么多面體EABCD的外接球的外表積為.(4)在直二梭柱 ABC-AiBiCi 中,AB =4,AC =6, A = , AA =4 ,那么直二梭柱 ABC - AiBiCi 的外接 3球的外表積為.第二講錐體背景的模型類型四、切瓜模型(兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一一正弦定理求大圓直徑是通法)/ I1 .如圖4-i ,平面PAC _L平面ABC,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑),且P的射影是AABC的外心u 三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱相等 u 三棱P - ABC的底面 MBC在圓錐的底上,頂點P點也 .

12、一； I /是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心O的位置,取AABC的外心0那么P,O,Oi三點共線；第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=r,再算出棱錐的高POi=h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理：OA2 =O1A2 +0102 n R2 =(h-R)2+r2 ,解出R ;事實上,MCP的外接圓就是大圓,直接用 正弦定理也可求解出R.2 .如圖4-2 ,平面PAC,平面ABC,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑),且 PA_L AC ,那么精心整理利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： (2R)2 =PA2+(2r)2u 2R =/PA2 +(2r)2 ; R2 =r2 OOi2

13、仁 R fJr2 OO；3 .如圖4-3 ,平面PAC _L平面ABC,且AB _L BC (即AC為小圓的直徑)4 .題設(shè)：如圖4-4 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB_L BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心O必是APAC的外心,即APAC的外接圓是大圓,先求出小圓的直徑 AC = 2r；第二步：在APAC中,可根據(jù)正弦定理 _a_=_=_c_=2R,求出R.sin A sin B sinCj 4I J例4 (1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,假設(shè)該棱錐的高為1 ,底面邊長為2V3 ,那么該球的外表積為.(2)正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 后,各頂點都在同一球

14、面上,那么此球體積為(3) 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上,那么該正三棱錐的體積是()A 9 33C 43D. l3(4)在三棱錐P-ABC中,PA=PB =PC =不,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60 =,那么該三棱錐外接球的體積為()4 二A. -： B. C.4 二 D.-(5)三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的求面上,AABC是邊長為1的正三角形,SC為球O圖5的直徑,且SC = 2 ,那么此棱錐的體積為(A. B. VC. ?D. ?精心整理 類型五、垂面模型一條直線垂直于一個平面1 .題設(shè)：如圖5, PA_L平面ABC,求外接球

15、半徑.解題步驟：第一步：將 MBC畫在小圓面上,A為小圓直徑的一個端點,作小圓的直徑 AD,連接PD,那么PD 必過球心O;第二步：O1為4ABC的外心,所以O(shè)O1 _L平面ABC ,算出小圓O1的半徑O1D =r 三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理,得 _=上=,_ = 2,OO1 PA ;sin A sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：2R2 = PA2+2r2u 2R = JPA=2r2 ; R2 =r2 ./= R = . r2 OO；.2 .題設(shè)：如圖5-1至5-8這七個圖形,P的射影是AABC的外心二 三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱相等u三棱錐P-A

16、BC的底面AABC在圓錐的底上,頂點P點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心O的位置,取AABC的外心Oi,那么P,O,Oi三點共線；第二步：先算出小圓Oi的半徑AOi=r,再算出棱錐的高POi=h 也是圓錐的高；第三步：勾股定理：OA2 =O1A2 +0102 n R2 =h-R2+r2 ,解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓,用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5一個幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體外接球的外表積為精心整理A. 3 二B. 2二C.16二側(cè)視圖D,以上都不對第三講二面角背景的模型類型六、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊(如圖6) 第一步：先畫

17、出如圖6所示的圖形,將ABCD畫在小圓上,找出ABCD和AABD的外心H4DH2 ;第二步：過Hi和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線,兩垂線的交點即為球心O,連接OE,OC ;第三步：解AOEHi,算出OHi,在RtOCHi中,勾股定理：OH； + CH 2 = OC2注：易知O,Hi,E,H2四點共面且四點共圓,證略.例6 (i)三棱錐P-ABC中,平面PAC_L平面ABC, PAC和 ABC均為邊長為2的正三角形,那么三棱 i I ./錐P-ABC外接球的半徑為.|,(2)在直角梯形ABCD中,AB/CD , NA=90；/C=45： AB = AD=i,沿對角線BD折成四面體A-B

18、CD ,使平面ABD _L平面BCD ,假設(shè)四面體Ar-BCD的頂點在同一個球面上,那么該項球的外表積為(3)在四面體S-ABC中,AB_LBC, AB = BC = V2 ,二面角S-AC - B的余弦值為-匕3 ,那么四3面體S - ABC的外接球外表積為精心整理(4)在邊長為243的菱形ABCD中,/BAD =60,沿對角線BD折成二面角ABDC為120二的四面體ABCD ,那么此四面體的外接球外表積為(5)在四棱錐 ABCD 中,ZBDA =120 =, ZBDC =150 二,AD = BD = 2, CD = V3 ,二面角 A- BD-C的平面角的大小為120：那么此四面體的外接

19、球的體積為 類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：如圖7, /APB =NACB =90 求三棱錐P - ABC外接球半徑(分析：取公共的斜邊的中點O,1連接OP,OC ,那么OA=OB =OC =OP = AB,O為三棱錐P ABC外接球球心,然后在 OCP中 2求出半徑),當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān),只要不是平角球半徑都為定值.例7 (1)在矩形ABCD中,AB=4, BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角那么四面體ABCD的外接球的體積為()A.些二 B. 125 二 C. 125 二 D. 125

20、 二12(2)在矩形ABCD中,AB=2, BC=3,沿BD將矩形ABCD折疊,連接 AC,所得三棱錐ABCD的外接球的外表積為.第四講多面體的內(nèi)切球問題模型類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖8-1 ,三棱錐P-ABC上正三棱錐,求其內(nèi)切球的第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,E,H分別是兩個三角形的外心;1第一步：求DH = BD , PO = PHr, PD是側(cè)面ABP的局； 3精心整理第三步：由APOE相似于APDH ,建立等式：_1 =巴,解出r DH PD2.題設(shè)：如圖8-2,四棱錐P-ABC是正四棱錐,求其內(nèi)切球的第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,P,O, H三點共線；1第一步：求FH= BC, PO = PH-r, PF是側(cè)面APCD的局； 2第三步：由APOG相似于APFH ,建立等式： 步二空 解出HF PF3.題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐,求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法,即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三