數(shù)學(xué)建摸實(shí)驗(yàn)有氧鍛煉

1、實(shí)驗(yàn)報(bào)告課程名稱 數(shù)學(xué)建模 年級(jí) 12 級(jí) 日期5.19 姓 名葉美芳 學(xué)號(hào)*1235 班級(jí) 數(shù)學(xué)*班實(shí)驗(yàn)名稱回歸分析一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙螅? .掌握回歸分析的基本理論2 .會(huì)運(yùn)用回歸分析相關(guān)理論進(jìn)行編程和解決實(shí)際問(wèn)題二.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1 .背景：由于有氧鍛煉中，人體的耗氧能力是衡量人身體健康狀況的重要指標(biāo)，而耗氧能力(人 體單位重量單位時(shí)間內(nèi)最大的耗氧量)在日常生活中難以直接測(cè)量，故本文建立相關(guān)數(shù)學(xué) 模型，采用機(jī)理分析和回歸分析以及數(shù)據(jù)擬合相結(jié)合的辦法，以期望使普通大眾能夠方便 快鍵地對(duì)自身身體狀況有更為直接的了解，也能更加合理科學(xué)地鍛煉。2 .題目：習(xí)題7:在有氧鍛煉中人的耗氧能力 y (mL/

2、(min - kg)是衡量身體狀況的重要指標(biāo)，它可能與以下因素有關(guān)：年齡x1,體重x2(kg),1500m跑的時(shí)間x3(min),靜止時(shí)心跳速度x4 (次/min),跑步后心速x5 (次/min ),對(duì)24名40至57歲的志愿者進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果如下表1.1(節(jié)選)，試建立耗氧能力y與諸因素的之間的回歸模型表1.1在舁 廳P123421222324Y44.645.354.359.639.446.145.454.7X14440444257545250X289.575.185.868.273.479.476.370.9X36.826.045.194.97.586.75.785.35X46262454

3、058624848X5178185156166174156164146(1)若中刈x5只許選擇1個(gè)變量，最好的模型是什么?(2)若中x5只許選擇2個(gè)變量，最好的模型是什么?(3) 若不限制變量的個(gè)數(shù)，最好的模型是什么？(4) 對(duì)最終模型觀察殘查，有無(wú)異常點(diǎn)，若有，剔除后如何？3. 做法 ：本題不同小問(wèn)需要建立不同模型，由于專業(yè)知識(shí)所限，并且提供的數(shù)據(jù)較少，難以做出精確符合現(xiàn)實(shí)情況的模型，因此這里用最簡(jiǎn)單的線性回歸法進(jìn)行擬和模型基本形式如下：事實(shí)上，中的項(xiàng)(高次項(xiàng)和交互項(xiàng))對(duì)于本題目來(lái)講意義不大，因?yàn)樗o定的 5 個(gè)自變量和因變量之間關(guān)系比較模糊，幾個(gè)變量彼此之間的聯(lián)系也很難說(shuō)清，因此用自變量的

4、一次線性擬和就足以適應(yīng)本題的要求。但作為練習(xí)，還是將每種回歸方法都使用到了，可以用于參考。具體采用的各個(gè)模型將在下面單獨(dú)說(shuō)明，這里不再重復(fù)。4. 程序由于本題需要建立多組模型，并且要在不斷的調(diào)試中發(fā)現(xiàn)最合理的，很多命令都要在這個(gè)過(guò)程中不斷使用，這里僅僅給出使用的最基本的命令。數(shù)據(jù)clearA= - ；%數(shù)據(jù)矩陣，略n=24;y=A(2,:);% 提取各個(gè)數(shù)據(jù)x1=A(3,:);x2=A(4,:);x3=A(5,:);x4=A(6,:);x5=A(7,:);繪制散點(diǎn)圖(大致判斷影響情況)for i=1:5subplot(2,3,i),plot(A(i+2,:),y,'+'),gr

5、idpauseendpause單參數(shù)回歸(第一問(wèn))X=ones(n,1),x4'%b,bint,r,rint,s=regress(y',X); %這里檢驗(yàn)的是自變量x4 ，實(shí)際操作時(shí)要分別檢驗(yàn)x1x5回歸分析程序(a =0.05 )b,bint,s,%rcoplot(r,rint) %Polytool(x3',y',2) %輸出回歸系數(shù)估計(jì)值、置信區(qū)間、以及統(tǒng)計(jì)量殘差圖檢驗(yàn)一元多項(xiàng)式回歸的結(jié)果，輸出交互式畫面雙參數(shù)回歸(第二問(wèn)) ：用逐步回歸法找出最合理的兩個(gè)變量X5=x1',x2',x3',x4',x5'stepwise

6、(X5,y') ；%XX=x3',x1'%利用輸出的交互式畫面，可以選出最佳的兩個(gè)變量當(dāng)?shù)玫搅俗罴训膬蓚€(gè)變量后(這里假設(shè)是x3x1 )rstool(XX,y','linear') %檢驗(yàn)二元情況下的交互項(xiàng)和高次項(xiàng)全部參數(shù)回歸(第三問(wèn))：仍然用逐步回歸法找出最合理的組合方式X5=x1',x2',x3',x4',x5'% stepwise(X5,y')第五問(wèn)要求對(duì)殘差進(jìn)行分析，并且剔除異常點(diǎn)，可以在該問(wèn)得到最終模型后，采用 regress 得到的殘差值和置信區(qū)間并根據(jù)其繪制殘差圖，然后再進(jìn)行剔除操作重新

7、檢驗(yàn)。 5. 運(yùn)行結(jié)果及分析散點(diǎn)圖1)2)3)（4）（5）從左上到右下的順序?yàn)閤1x5.可以由點(diǎn)的分布大致看出，除了 x3自變量呈現(xiàn)比較明 顯的負(fù)相關(guān)趨勢(shì)以外，對(duì)于其他的各個(gè)自變量都難以直接觀測(cè)出其對(duì)于因變量的影響。根 據(jù)這種結(jié)果，可以假設(shè)自變量 x3（1500m跑后心速）最直接的與鍛煉耗氧能力相關(guān)，下面通 過(guò)對(duì)各個(gè)自變量的單參數(shù)回歸進(jìn)行檢驗(yàn)。單參數(shù)回歸被 檢 對(duì)象B 0B1B 1置信區(qū)怛RA2FPsA2X164.3812-0.3599-0.8309,0.11110.10252.51150.127331.2484X252.7432-0.0644-0.4334,0.30460.00590.131

8、00.730934.6097X383.4438-5.6682-7.1252,-4.21120.747465.095908.7943X467.1094-0.3599-0.6262,-0.09360.26317.85600.010425.6547X594.0024-0.2739-0.5095,-0.03840.20915.81690.024727.5352由單參數(shù)回歸的結(jié)果可以證明X3（1500m跑后心速）可以最好的反映出y（鍛煉耗氧能力）的情況。由B 1置信區(qū)間可以 看出，x1、x2包含0在內(nèi)，即y可能與該參數(shù)無(wú)關(guān)，所以不選擇，并且兩者的 p值已經(jīng)明 顯的大于=0.05,則不考慮x1、x20比較

9、x3x5后發(fā)現(xiàn)，x3的2R-決定系數(shù)明顯的大于x5 的，決定系數(shù)反映的是在因量的總變化中自變量引起的那部分的比例，2R大說(shuō)明x3自變量對(duì)因變量起的決定彳用最大。并且 x3的p和sA2值也都比較小，所以最終確定 x3可以最 好的反映出y的情況。用Polytool檢驗(yàn)含x3高次（2次）項(xiàng)的情況，參量 Export如下表：B 0B1B2回歸系數(shù)估計(jì) 值122.7242-17.90720.9356置信區(qū)仃限67.1878-35.0387-0.36951置信區(qū)間上限178.2605-0.77572.2408可以同之前的僅含一次項(xiàng)的結(jié)二;二二二:果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)各個(gè)參量的置信X卬+ ”一 二一區(qū)間都很寬，

10、且B 2的置信區(qū)問(wèn)過(guò)0。“,- j 可以認(rèn)為二次項(xiàng)的引入是不重要的。=_! ,一因此采用如下單參數(shù)模型描述y是最準(zhǔn)確地：yy物.芯中:00 =83.4438, L-5.6682 雙參數(shù)回歸：用stepwise作逐步回歸，部分過(guò)程和最終結(jié)輾如下圖：您=根據(jù)題目要求，最終得到取雙參量時(shí)的最佳結(jié)果（RMSE量最?。┦侨3 （1500m跑后心速）和x1 （年齡）自變量。但事實(shí)上，實(shí)際的逐步回歸過(guò)程在此時(shí)并沒(méi)有結(jié)束，最終的 最優(yōu)結(jié)果是只取x3參量。這說(shuō)明取x3、x1參量同只取x3相比優(yōu)勢(shì)并不明顯。通過(guò)rstool命令檢驗(yàn)二元情況下的交互項(xiàng)和高次項(xiàng)情況，下圖是linear情況下固定單 參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果

11、：項(xiàng)對(duì)應(yīng)的 系數(shù)常數(shù)項(xiàng)X3X1X3A2X1A2X3*X1RMSELinear90.8529-5.467 1-0.18 72.8704Purequadr atic142.8835-14.7911-1.17180.711 10.01092.9028Interacti on120.1929-10.1096-0.83640.10252.9033Quadratic144.4666-16.4515-1.01990.04500.68180.00622.9786可以看到高次項(xiàng)和相關(guān)項(xiàng)的系數(shù)都非常小，說(shuō)明其對(duì)于y的影響不大。根據(jù)rmse的結(jié)果進(jìn)行比較，仍然選擇linear回歸方式，即只用二元自變量的一次項(xiàng)。yx

12、x 其中：01390.8529,=-0.1870,-5.4671全參數(shù)回歸根據(jù)以上的分析可以驗(yàn)證模型建立時(shí)的猜想，本題中5個(gè)字變量和y的關(guān)系都不是很直接的，除x3外其他變量的影響很小，所以在最終完整模型中，不再考慮高次項(xiàng)和交互項(xiàng) 的影響，一方面簡(jiǎn)化模型，一方面大大節(jié)省的篩選的時(shí)間。所以采用stepwise命令，僅對(duì)五元變量x1x5的一次項(xiàng)進(jìn)行回歸分析，結(jié)果如下： Export參數(shù)結(jié)果：3置信區(qū)問(wèn)Coeff .Set-sta tp-va lX1-0.3254-0.594-0.0568-0.32540.1288-2.52 740.02X200 0-0.01310.0851-0.15390.8793

13、X3-4.5694-6.1842-2.9546-4.56940.7741-5.90260X400 0-0.03840.0915-0.41930.6797X5-0.1561-0.31260.0004-0.15610.075-2.08 090.0505RA2=0.814315F=29.2364RMSE=2.66669P=1.64368*e-7最終取以下三個(gè)參數(shù)得到最佳回歸結(jié)果：x3 （1500m跑后心速）、x1 （年齡）以及x5 （跑 步后心速）。但仍需要進(jìn)行一般回歸分析（regress ）確定常數(shù)項(xiàng)并觀察殘差，結(jié)果如下：最終得到的結(jié)果整體上優(yōu)越于剔除異常點(diǎn)之前的結(jié)果（不再粘貼結(jié)果）。但是事實(shí)上，

14、由于數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)過(guò)剔除不斷的結(jié)果，模型最終的形式和實(shí)際統(tǒng)計(jì)到的24組數(shù)據(jù)的整體情況偏離越來(lái)越大，也就是說(shuō)：剔除異常點(diǎn)雖然能夠一應(yīng)程度上降低其對(duì)于整體情況的干擾作用， 而剔除的過(guò)程也放大了其他原本正常數(shù)據(jù)點(diǎn)的異常性，所以異常點(diǎn)可能會(huì)不斷產(chǎn)生，但是 剔除的數(shù)量增加即采樣數(shù)據(jù)的減少也會(huì)削弱模型反省整體性能的能力。是一對(duì)矛盾，在數(shù) 據(jù)點(diǎn)較少的時(shí)候尤其明顯。比較科學(xué)的做法是：只進(jìn)行1次或少次剔除，保證整體性，又去掉了最主要的異常點(diǎn)。這里的最終結(jié)果采用剔除最初兩個(gè)異常點(diǎn)（10, 15號(hào)）后的結(jié)果，在此也附上完整數(shù)據(jù)（剔除之前）的結(jié)果，作為第 3問(wèn)的答案：完整數(shù)據(jù)（第三題結(jié)果）回歸參數(shù)取值置信區(qū)問(wèn)1118.01

15、3588.1010147.9260B 1-0.3254-0.5940-0.0568B 31-4.5694-6.1842-2.9546B 5-0.1561-0.31260.0004RA2FPsA20.814329.23640.00007.1112其中：%=118.0135,仇=-0.3254, %=-4.5694, 3二-0.1561一次剔除（最終結(jié)果）回歸參數(shù)取值置信區(qū)問(wèn)1119. 495594.6827144.3084B 1-0.3623-0.5991-0.1255B 3-4.0411-5.3617-2.7205B 5-0.1774-0.3030-0.0518RA2FPsA210. 862537.62690.00004.4400其中：00=119.4955,仇二-0.03623,03=40411, %=-0.17741500m跑后心速、年齡以及跑步后心速三個(gè)參數(shù)最能夠反映鍛煉耗氧量這個(gè)重要的身體 狀態(tài)指標(biāo)。三種心跳速度越快，說(shuō)明耗氧量越大；速度越慢，即時(shí)間越長(zhǎng)，說(shuō)明耗氧量越 小。三.實(shí)驗(yàn)總結(jié)：各回歸模型之間的區(qū)別：5重線性回歸模型是對(duì)所有的相關(guān)因素，統(tǒng)一作線