函數(shù)值域求法大全(精編文檔).doc

1、函數(shù)值域復(fù)習(xí)-日期【最新整理，下載后即可編輯】函數(shù)值域求法H一種在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由 定義域和對應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng) 法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定 函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對于如何求函數(shù)的 值域，是學(xué)生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈 活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運(yùn)用適當(dāng)， 就能起到簡化運(yùn)算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。本文就函 數(shù)值域求法歸納如下，供參考。1 .直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。_ 1例i.求函數(shù)y=的值域。解：xhO.

2、Lo X顯然函數(shù)的值域是：（Y。） u （0，y）例2.求函數(shù)y = 3-五的值域。解：< 0,3 -< 3故函數(shù)的值域是：-8,32 .配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例3.求函數(shù)丫 = 乂2-2乂 +幻曰-1,2的值域。解：將函數(shù)配方得：y = （x-D2+4/ xe（-l,2由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)X=1時(shí)，ymin=4 ,當(dāng)X=-l時(shí)，Ymax=8 故函數(shù)的值域是：4, 83 .判別式法1 + X + X2例4.求函數(shù)丫= 1+乂2的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于X的一元二次方程(y-l)x2 +(y-l)x =0(1)當(dāng) y"時(shí)，xeRA = (-l)2

3、 -4(y-l)(y-D>0I解得：2-y-2(2)當(dāng)y=l時(shí)，x=0,而咤4故函數(shù)的值域?yàn)殛蓔例5.求函數(shù)y = x + Jx(2 - x)的值域。解：兩邊平方整理得：2x2-2(y + l)x + y2=0 (1) xeR/. A = 4(y + 1)2 -8y>0解得：1-V2<y<l + V2但此時(shí)的函數(shù)的定義域由x(2-x)N0,得0«x«2由對,僅保證關(guān)于X的方程：2x2-2(y + l)x + V=0在實(shí)數(shù)集R 有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間(),2上，即不能確保方程(1) 有實(shí)根，由川求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確 定此函數(shù)

4、的值域?yàn)橛?。可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。0<x<2y = x + 7x(2-x) > 0，ymin=Qy = l +應(yīng)代入方程(1)解得:似 2V22 +拒-2，歷即當(dāng)X產(chǎn) 2 時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋?。，1 +尤注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不 是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。4.反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來 確定原函數(shù)的值域。3x + 4例6.求函數(shù)口值域。4 . 6y解：由原函數(shù)式可得：”后_ 4 - 6y3則其反函數(shù)為：丫二口，其定義域?yàn)椋簒*5故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?00'5.函

5、數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性, 反客為主來確定函數(shù)的值域。_ex -1例7.求函數(shù)丫=下17的值域。eX_y + l解：由原函數(shù)式可得： y-1= ex >0巴>0/. y-i解得：-i<y<i故所求函數(shù)的值域?yàn)椋═1）COSX例8.求函數(shù)丫 =而。的值域。解：由原函數(shù)式可得：ysinx-cosx = 3y ）可化為:+1 s in x(x + p) = 3y 3ysinx(x + 0)= J =即內(nèi) xeR/. sin x(x + p)-Ll即解得：巫叵 故函數(shù)的值域?yàn)槎?丁.6.函數(shù)單調(diào)性法例9.求函數(shù)y = 2'"

6、+iog3/二T(2wxkio)的值域。解：令y=2X-S,y2=log3斤彳則y“2在2, 10上都是增函數(shù)所以y=yi + y?在2, 10上是增函數(shù)當(dāng)X = 2時(shí)，丫0皿=2-3+喝目="當(dāng) X=10 時(shí),ym = 25+log379=331 33故所求函數(shù)的值域?yàn)椋? 一例1().求函數(shù)丫=6門-瘍”的值域。2 y =- - 解：原函數(shù)可化為：Vx+T + VxT令力=Vm,y2=J，顯然到廣2在口，+8上為無上界的增函數(shù)所以y = y丫2在幾內(nèi)上也為無上界的增函數(shù)A = a/2所以當(dāng)x=l時(shí)，丫 =山+丫2有最小值& ,原函數(shù)有最大值加 顯然y。，故原函數(shù)的值域?yàn)?

7、。，庭17.換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函 數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾 種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例11.求函數(shù)y=x + vr萬的值域。解：令 x-l = t, go)則 X7 +1，1, 13. . y = f +t + l=(t + -)- +-又tNO,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng) t =。時(shí)，Ymin = 1當(dāng) t70時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)長+OO)例12.求函數(shù)y = x + 2 + Jl-(x + l)2的值域。解：因 l-(X + l)2 之 0即(X + 1)2<1故可令 X + l=8Sp,pwO,

8、7t y = cosp +1 + /1-cos2 p = sinp + COSp +1= a/2 sin(p + -) +14.0<p<7l,0<p + - <7l<sin(p + )< 124/.0<>/r2sin(p + -) + l<l + 24故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?金X _ X例13.求函數(shù)y=x4+2x2+i的值域。,_ 1 , 2x 1-x2解：原函數(shù)可變形為：?"2Xl + x2 Xl + x2【最新整理，下載后即可編輯】函數(shù)值域復(fù)習(xí)-日期-r 人 i qml =- T = sin 2P* T = cos2 p可令

9、X = tgB,則有 l + x? 1 + x2y = -sin2pxcos2p = -jsin4pn kn n當(dāng)"彳一京時(shí),a k兀兀當(dāng)障爹+w時(shí),丫 maxy mm£4"4【最新整理，下載后即可編輯】而此時(shí)tan。有意義。£ J故所求函數(shù)的值域?yàn)樨Ｘ＠?4.求函數(shù)y = (sinx + l)(cosx + l) , Xe立句的值域。 解：y = (sin x + l)(cos x + 1)= sinxcosx +sinx +cosx + l令 sinx+cosx = tniI sinxcosx = -(t2 -1)則21 01,y = -(t2-l)

10、 + t + l = l(t + l)2 22由 t=sinx + cosx = VIsin(x + 7r/4)n n且'卜小2可得：4金*"3 ,石 .我 3 丘.,.當(dāng)t =0時(shí)，ym32 + J2,當(dāng)仁三時(shí)，y=十亍故所求函數(shù)的值域?yàn)? 2 2 Jo例15.求函數(shù)丫 = 乂+4+；w的值域。解：由5f2之0,可得故可令X =0COS B.0 £ 0,兀y =中行 cosp + 4 + 行 sinp = y6 sin(B + ) + 44*/ 0<p<Jt兀兀/5兀/. - < B + - < 4 y 4 4當(dāng)年兀/4時(shí)，ymax=4 +

11、、面當(dāng)。=兀時(shí),ymin=4-V5故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?4-石,4+加18 .數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距 離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加 簡單，一目了然，賞心悅目。例16.求函數(shù)y = J(x-2)2+J(x + 8)2的值域。-8解：原函數(shù)可化簡得：yTx-2I + IX + 8I上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P (x)到定點(diǎn)A(2), B(-8)間的距離 之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),yx-2l+lx+8HABI=10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)， y=lx-2l + lx+8l>l AB 1=10故所求函數(shù)的

12、值域?yàn)椋豪?17.求函數(shù) y = Jx? -6x + 13 +Jx? +4x + 5 的值域。解：原函數(shù)可變形為：y = J(X3尸 +(0 - 2產(chǎn) +J(x+24+(0+1)2上式可看成X軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2), B(-2,-l)的距離之 和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與X軸的交點(diǎn)時(shí)，ymin T ABI= J(3 + 2)2 + (2 + 1)2 =歷,故所求函數(shù)的值域?yàn)橛?+刈例 18.求函數(shù) y = &-6x + 13-Jx? +4x + 5 的值域。解：將函數(shù)變形為：y = J(x-3) +(0-2)2 -J(x + 2/+(0-1)2上式可看成定點(diǎn)A (3,

13、2)到點(diǎn)P(X, 0)的距離與定點(diǎn)B(-Zl) 到點(diǎn)P(x。)的距離之差。即：y=IAPI-IBPI由圖可知：(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與X軸的交 點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P則構(gòu)成AABP,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊， 有 II API_1 BP'lld ABI= J(3 + 2)2+(2-1)2 =屈即：->/26 < y < V26(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有II API-IBP 11=1 AB 1= '26綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?-而，癡1付注：由例17, 18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形， 使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離

14、之差時(shí)，則要使A, B 兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例17的A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(3, 2),(-2,-1),在x軸 的同側(cè)；例18的A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3, 2),(2,-1),在x軸 的同側(cè)。9 .不等式法利用基本不等式a + bN2屈,a + b + ci3破(a.b,ceR+),求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要 求和為定值，不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例19.求函數(shù)y = "inx +去)、3sx +3/-4的值域。解：原函數(shù)變形為:y = (sin2 x + cos2 x) + ；+ ； sin - x cos - x=

15、l + ces2x + sec2 x=3 + tan2 x + cot2 x>3Vlaii2 xcot2 x + 2=5當(dāng)且僅當(dāng)tanx=cotx即當(dāng)x = k兀±9時(shí)(kez),等號成立 故原函數(shù)的值域?yàn)?15,+8)例2().求函數(shù)y = 2sinxsin2x的值域。解：y = 4 sin x sin x cos x= 4sin2 xcosxy = 16 sin4 x cos2 x= 8sin2 xsin2 x(2-2sin2 x)<8(sin2 x + sin2 x + 2-2siii2 x)/3364ri當(dāng)且僅當(dāng)siMx = 2-2sin2x,即當(dāng)'&qu

16、ot;乂=？時(shí)，等號成立。2 64由y,萬可得:8a/3873 85/3故原函數(shù)的值域?yàn)椋篖 9910 . 一一映射法ax + b原理：因?yàn)閥=m(c*°)在定義域上x與y是一一對應(yīng)的。故 兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。函數(shù)值域復(fù)習(xí)-日期l-3x例21.求函數(shù)丫=口的值域。解：.定義域?yàn)楹鸵回匾唬籰-3x x- I由 y = K 得 2y+ 31-y11-y1X = 2773>-2X = 27T3<-233解得y"或y" 故函數(shù)的值域?yàn)?1 .多種方法綜合運(yùn)用例22.求函數(shù)丫=目的值域。解：令 1 = Jx + 2(lN0),則 x + 3 = t2+i+1 t + ! 2(1)當(dāng)t。時(shí)，T ,當(dāng)且僅當(dāng)1,即x=-i時(shí)取等號，所以°三；(2)當(dāng) t=0 時(shí)，y=0o綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋篒0'"注：先換元，后用不等式法l + x-2x2 +x，+x4例23.求函數(shù)X -i + 2x2 + x4 一 的值域。l-2x2 +x4x + X3y = _ 解：- 1 + 2x2+x4 1 + 2x2+x4/) 2