浙江省杭州市嚴(yán)州中學(xué)2015-2016學(xué)年學(xué)高三(上)第一次模擬數(shù)學(xué)試題(解析版)(理科)

1、2015-2016學(xué)年浙江省杭州市嚴(yán)州中學(xué)高三（上）第一次模擬數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1已知集合A=x|y=ln（12x），B=x|x2x，則AB（AB）=（）A（，0）B（，1C（，0），1D（，02設(shè)a，bR，則“ab”是“|a|b|”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3函數(shù)y=（2x1）ex的圖象是（）ABCD4已知a，b是空間中兩不同直線，是空間中兩不同平面，下列命題中正確的是（）A若直線ab，b，則aB若平面，a，則aC若平面，a，b，則abD若a，

2、b，ab，則5若將函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小正值是（）ABCD6定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x0時，f（x）=x2+2x，則函數(shù)F（x）=f（x）x零點(diǎn)個數(shù)為（）A4B3C1D07已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1an=2n（nN*），則S2015=（）A220151B210093C3×210073D2100838已知向量滿足：，則在上的投影長度的取值范圍是（）ABCD二、填空題：本大題有7小題，9-12每題6分，13-15題每題4分，共36分把答案填在答題卷的相應(yīng)位置9若經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）的直線l與圓M：x2+y2+4

3、x2y+3=0相切，則圓M的圓心坐標(biāo)是；半徑為；切線在y軸上的截距是10設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（4）=；若f（a）=1，則a=11某空間幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則其體積是cm3，其側(cè)視圖的面積是cm212設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則動點(diǎn)P（x，y）所形成區(qū)域的面積為，z=x2+y2的取值范圍是13點(diǎn)P是雙曲線=1（a0，b0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，且OPF是POF=120°的等腰三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率是14函數(shù)f（x）=sin2x+的最大值是15已知x0，y0，2x+y=1，若4x2+y2+m0恒成立，則m的取值范圍是三、解答題：本大題共5小題，滿分74分解

4、答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（15分）（2015東陽市模擬）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且（）求角B的大小；（）若b=3，求ABC的面積最大值17（15分）（2015東陽市模擬）如圖，已知AB平面BEC，ABCD，AB=BC=4，BEC為等邊三角形，（1）若平面ABE平面ADE，求CD長度；（2）求直線AB與平面ADE所成角的取值范圍18（15分）（2015東陽市模擬）已知橢圓，離心率，且過點(diǎn)，（1）求橢圓方程；（2）RtABC以A（0，b）為直角頂點(diǎn)，邊AB，BC與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求ABC面積的最大值19（15分）（2015東陽

5、市模擬）函數(shù)f（x）=2ax22bxa+b（a，bR，a0），g（x）=2ax2b（1）若時，求f（sin）的最大值；（2）設(shè)a0時，若對任意R，都有|f（sin）|1恒成立，且g（sin）的最大值為2，求f（x）的表達(dá)式20（14分）（2015東陽市模擬）各項為正的數(shù)列an滿足，（1）取=an+1，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其公比；（2）取=2時令，記數(shù)列bn的前n項和為Sn，數(shù)列bn的前n項之積為Tn，求證：對任意正整數(shù)n，2n+1Tn+Sn為定值2015-2016學(xué)年浙江省杭州市嚴(yán)州中學(xué)高三（上）第一次模擬數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分

6、，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1已知集合A=x|y=ln（12x），B=x|x2x，則AB（AB）=（）A（，0）B（，1C（，0），1D（，0考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 專題：集合分析：分別求出關(guān)于集合A、B中的x的范圍，從而求出AB，AB，進(jìn)而求出AB（AB）解答：解：集合A=x|y=ln（12x），A=x|12x0=x|x，B=x|x2x=x|0x1，AB=x|x1，AB=x|0x，AB（AB）=（，0），1，故選：C點(diǎn)評：本題考查了集合的交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題2設(shè)a，bR，則“ab”是“|a|b|”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條

7、件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷 專題：簡易邏輯分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可解答：解：若a=1，b=2，滿足ab，但|a|b|不成立，若a=2，b=1，滿足|a|b|，但ab不成立，即“ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要條件，故選：D點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，比較基礎(chǔ)3函數(shù)y=（2x1）ex的圖象是（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)的圖象 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：先通過函數(shù)的零點(diǎn)排除C，D，再根據(jù)x的變化趨勢和y的關(guān)系排除B，問題得以解決解答：解：令y=（2x1）ex=0，解得x=，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，故排除C，D，當(dāng)x時，ex0

8、，所以y0，故排除B，故選：A點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)對函數(shù)圖象的影響，并通過對函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)的圖象等問題4已知a，b是空間中兩不同直線，是空間中兩不同平面，下列命題中正確的是（）A若直線ab，b，則aB若平面，a，則aC若平面，a，b，則abD若a，b，ab，則考點(diǎn)：平面與平面平行的判定 專題：空間位置關(guān)系與距離分析：由條件利用直線和平面平行的判定定理、性質(zhì)定理，直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論解答：解：若直線ab，b，則a或a，故A不對；若平面，a，則a或a，故B不對；若平面，a，b，則ab或a、b是異面直線，故C不對；根據(jù)垂直于同一條

9、直線的兩個平面平行，可得D正確，故選：D點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，直線和平面平行的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5若將函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小正值是（）ABCD考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換 專題：三角函數(shù)的求值分析：利用兩角和的正弦函數(shù)對解析式進(jìn)行化簡，由所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，根據(jù)對稱軸方程求出的最小值解答：解：函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的圖象向右平移的單位，所得圖象是函數(shù)y=sin（2x+2），圖象關(guān)于y軸對稱，可得2=k+

10、，即=，當(dāng)k=1時，的最小正值是故選：C點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查正弦函數(shù)圖象的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題6定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x0時，f（x）=x2+2x，則函數(shù)F（x）=f（x）x零點(diǎn)個數(shù)為（）A4B3C1D0考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：利用奇偶性求解f（x）解析式構(gòu)造f（x）=，g（x）=x，畫出圖象，利用交點(diǎn)個數(shù)即可判斷F（x）零點(diǎn)個數(shù)解答：解：在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x0時，f（x）=x2+2x，當(dāng)x0時，f（x）=f（x）=（x）2+2（x）=x2+2x，f（x）=，g（x）=x，根據(jù)圖形可判斷：f（x）=，與g（x）=x，有3個交點(diǎn)，

11、即可得出函數(shù)F（x）=f（x）x零點(diǎn)個數(shù)為3，故選：B點(diǎn)評：本題考查了復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)的判斷問題，構(gòu)函數(shù)轉(zhuǎn)化為交點(diǎn) 的問題求解，數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是畫出圖象7已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1an=2n（nN*），則S2015=（）A220151B210093C3×210073D210083考點(diǎn)：數(shù)列的求和 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：由已知得數(shù)列an的奇數(shù)項是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出前2015項的和解答：解：a1=1，an+1an=2n，a2=2，當(dāng)n2時，anan1=2n1，=2，數(shù)列an中奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等比數(shù)列

12、，S2015=+=210093，故選：B點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前2015項的和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列an的奇數(shù)項是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2，公比為2的等比數(shù)列8已知向量滿足：，則在上的投影長度的取值范圍是（）ABCD考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 專題：平面向量及應(yīng)用分析：由=12可求的范圍，進(jìn)而可求的范圍，然后由在上的投影|cos可求解答：解：設(shè)向量的夾角為|=13，|=1=125=在上的投影|cos=cos故選D點(diǎn)評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)及投影的定義的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清楚基本概念二、填空題：本大題有7小題，9-12每題

13、6分，13-15題每題4分，共36分把答案填在答題卷的相應(yīng)位置9若經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）的直線l與圓M：x2+y2+4x2y+3=0相切，則圓M的圓心坐標(biāo)是（2，1）；半徑為；切線在y軸上的截距是3考點(diǎn)：圓的一般方程 專題：直線與圓分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求出圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)直線相切即可求出切線方程解答：解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y1）2=2，則圓心坐標(biāo)為（2，1），半徑R=，設(shè)切線斜率為k，過P的切線方程為y=k（x+3），即kxy+3k=0，則圓心到直線的距離d=，平方得k2+2k+1=（k+1）2=0，解得k=1，此時切線方程為y=x3，即在y軸上的截距為3，故答案為：點(diǎn)評：本

14、題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用以及直線和圓相切的位置關(guān)系的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)10設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（4）=5；若f（a）=1，則a=1或考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值 專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：直接利用分段函數(shù)，由里及外求解函數(shù)值，通過方程求出方程的根即可解答：解：函數(shù)f（x）=，則f（4）=2×42+1=31 f（f（4）=f（31）=log2（1+31）=5當(dāng)a1時，f（a）=1，可得2a2+1=1，解得a=1；當(dāng)a1時，f（a）=1，可得log2（1a）=1，解得a=；故答案為：5；1或點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的值的求法，方程的根的求解，分段函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力11某空間幾何

15、體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則其體積是4cm3，其側(cè)視圖的面積是cm2考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積 專題：空間位置關(guān)系與距離分析：判斷得出該幾何體是三棱錐，求解其體積：SCBD×AB，BCD邊BD的高為，再利用直角三角形求解面積即可解答：解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是三棱錐，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB面BCD，BCCD，其體積：SCBD×AB=4，BCD邊BD的高為=側(cè)視圖的面積：×2=故答案為；4，點(diǎn)評：本題考查了三棱錐的三視圖的運(yùn)用，仔細(xì)閱讀數(shù)據(jù)判斷恢復(fù)直觀圖，關(guān)鍵是利用好仔細(xì)平面的位置關(guān)系求解，屬于中檔題12設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則動點(diǎn)P（

16、x，y）所形成區(qū)域的面積為1，z=x2+y2的取值范圍是1，5考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃 專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出A，B，C的坐標(biāo)，從而求出三角形的面積，再根據(jù)z=x2+y2的幾何意義，求出其范圍即可解答：解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，ABC為平面區(qū)域的面積，SABC=×2×1=1，而z=x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，由圖象得：A或B到原點(diǎn)的距離最大，C到原點(diǎn)的距離最小，d最大值=5，d最小值=1，故答案為：1，1，5點(diǎn)評：本題考察了簡單的線性規(guī)劃問題，考察z=x2+y2的幾何意義，本題是一道中檔題13點(diǎn)P是雙曲線=1（

17、a0，b0）上一點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，且OPF是POF=120°的等腰三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率是+1考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì) 專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：由題意可得P在雙曲線的左支上，可設(shè)P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（ccos60°，csin60°），代入雙曲線方程，由離心率公式，解方程即可得到結(jié)論解答：解：由題意可得P在雙曲線的左支上，可設(shè)P在第二象限，且|OP|=|OF|=c，即有P（ccos60°，csin60°），即為（c，c），代入雙曲線方程，可得=1，即為=1，由e=，可得e2=1，化簡可得e48

18、e2+4=0，解得e2=4±2，由e1，可得e=+1故答案為：+1點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要方程的運(yùn)用和離心率的求法，正確判斷P的位置和求出P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵14函數(shù)f（x）=sin2x+的最大值是考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值；兩角和與差的正弦函數(shù) 專題：三角函數(shù)的求值分析：利用兩角和的余弦展開，令t=cosxsinx換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值解答解答：解：f（x）=sin2x+=sin2x+=sin2x+=2sinxcosx+cosxsinx令t=cosxsinx，則t，t2=12sinxcosx，2sinxcosx=1t2原函數(shù)化為y=t2+t+1，t，對稱軸方程為t=，當(dāng)

19、t=時函數(shù)有最大值為故答案為：點(diǎn)評：本題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)，考查了利用換元法求三角函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題15已知x0，y0，2x+y=1，若4x2+y2+m0恒成立，則m的取值范圍是考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題 專題：綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：4x2+y2+m0恒成立，即m4x2+y2+恒成立，求出4x2+y2+的最大值，即可求得m的取值范圍解答：解：4x2+y2+m0恒成立，即m4x2+y2+恒成立，x0，y0，2x+y=1，12，04x2+y2+=（2x+y）24xy+=14xy+=4（）2+，4x2+y2+的最大值為，故答案為：點(diǎn)評：本題考查不等式恒成立問題，

20、考察基本不等式的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵三、解答題：本大題共5小題，滿分74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（15分）（2015東陽市模擬）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且（）求角B的大小；（）若b=3，求ABC的面積最大值考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理 專題：解三角形分析：（）由正弦定理結(jié)合已知可得sin2B=sinAsinC又，結(jié)合sinB0，可求sinB的值，結(jié)合B（0，），即可求得B的大小，又b2=ac，則ba或bc，即b不是ABC的最大邊，從而可求B的值（II）由余弦定理結(jié)合已知可得ac9，由三角形面積公式可得，即可求得ABC的面積最大

21、值解答：解：（）因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，則b2=ac由正弦定理得sin2B=sinAsinC又，所以因?yàn)閟inB0，則4分因?yàn)锽（0，），所以B=或又b2=ac，則ba或bc，即b不是ABC的最大邊，故7分（II）由余弦定理b2=a2+c22accosB得9=a2+c2ac2acac，得ac9所以，當(dāng)a=c=3時，ABC的面積最大值為12分點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，等比數(shù)列的性質(zhì)等知識的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題17（15分）（2015東陽市模擬）如圖，已知AB平面BEC，ABCD，AB=BC=4，BEC為等邊三角形，（1）若平面ABE平面ADE，求

22、CD長度；（2）求直線AB與平面ADE所成角的取值范圍考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；平面與平面垂直的判定 專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（1）設(shè)|CD|=d，取BE、AE中點(diǎn)O、F，連結(jié)OC、OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE、OC、OF為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，求出平面ABE的法向量、面ADE的一個法向量，利用平面ABE平面ADE，求CD長度；（2）利用向量的數(shù)量積公式，求直線AB與平面ADE所成角的取值范圍解答：解：（1）設(shè)|CD|=d，取BE、AE中點(diǎn)O、F，連結(jié)OC、OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE、OC、OF為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則A（2，0，4），B（2，0，0），可得平面AB

23、E的法向量為設(shè)面ADE的一個法向量為則可得所有，所以CD長度為2（2）由（1）可知：面ADE的一個法向量，設(shè)直線AB與面ADE所成角為，則，所以點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查向量知識的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵18（15分）（2015東陽市模擬）已知橢圓，離心率，且過點(diǎn)，（1）求橢圓方程；（2）RtABC以A（0，b）為直角頂點(diǎn)，邊AB，BC與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求ABC面積的最大值考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題 專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：（1）運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，以及點(diǎn)滿足方程，解方程，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）分別設(shè)出AB，AC

24、的方程，代入橢圓方程，求得B，C的橫坐標(biāo)，運(yùn)用弦長公式，以及三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值解答：解：（1）由，即=，又a2b2=c2，得a=3b，把點(diǎn)帶入橢圓方程可得：，所以橢圓方程為：；（2）不妨設(shè)AB的方程y=kx+1，則AC的方程為由得：（1+9k2）x2+18kx=0，k用代入，可得，從而有，于是 令，有，當(dāng)且僅當(dāng)，點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點(diǎn)，同時考查三角形的面積公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題19（15分）（2015東陽市模擬）函數(shù)f（x）=2ax22bxa+b（a，bR，a0），g（x）=2ax2b（1）若時，求f（sin）的最大值；（2）設(shè)a0時，若對任意R，都有|f（sin）|1恒成立，且g（sin）的最大值為2，求f（x）的表達(dá)式考點(diǎn)：復(fù)合三