挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題教師版)(2016版)

1、 挑戰(zhàn)壓軸題 善思教育目 錄第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題21.1 因動點產(chǎn)生的相似三角形問題21.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題111.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題191.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題311.5 因動點產(chǎn)生的面積問題411.6 因動點產(chǎn)生的線段和差問題51第二部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題562.1 由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題562.2 由面積產(chǎn)生的函數(shù)關系問題58第三部分圖形運動中的計算說理問題673.1 代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題673.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題71第四部分 圖形的平移翻折與旋轉75第一部分 函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1 因

2、動點產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2015年上海市寶山區(qū)嘉定區(qū)中考模擬第24題如圖1，在平面直角坐標系中，雙曲線（k0）與直線yx2都經(jīng)過點A(2, m) （1）求k與m的值；（2）此雙曲線又經(jīng)過點B(n, 2)，過點B的直線BC與直線yx2平行交y軸于點C，聯(lián)結AB、AC，求ABC的面積；（3）在（2）的條件下，設直線yx2與y軸交于點D，在射線CB上有一點E，如果以點A、C、E所組成的三角形與ACD相似，且相似比不為1，求點E的坐標圖1 滿分解答（1）將點A(2, m)代入yx2，得m4所以點A的坐標為(2, 4)將點A(2, 4)代入，得k8（2）將點B(n, 2)，代入，得n4所以點B的

3、坐標為(4, 2)設直線BC為yxb，代入點B(4, 2)，得b2所以點C的坐標為(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B兩點間的水平距離和豎直距離都是2，B、C兩點間的水平距離和豎直距離都是4所以AB，BC，ABC90 圖2所以SABC8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD，AC由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE與ACD相似，分兩種情況：如圖3，當時，CEAD此時ACDCAE，相似比為1如圖4，當時，解得CE此時C、E兩點間的水平距離和豎直距離都是10，所以E(10, 8)圖3 圖4考點伸展第（

4、2）題我們在計算ABC的面積時，恰好ABC是直角三角形一般情況下，在坐標平面內(nèi)計算圖形的面積，用割補法如圖5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y軸由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得SABC8圖5例2 2014年武漢市中考第24題如圖1，RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）如圖2，連接AQ、CP，若AQCP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點在

5、ABC的一條中位線上圖1 圖2滿分解答（1）RtABC中，AC6，BC8，所以AB10BPQ與ABC相似，存在兩種情況： 如果，那么解得t1 如果，那么解得圖3 圖4（2）作PDBC，垂足為D在RtBPD中，BP5t，cosB，所以BDBPcosB4t，PD3t當AQCP時，ACQCDP所以，即解得圖5 圖6（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E由于H是PQ的中點，HF/PD，所以F是QD的中點又因為BDCQ4t，所以BFCF因此F是BC的中點，E是AB的中點所以PQ的中點H在ABC的中位線EF上考點伸展本題情景下，如果以PQ為直徑的H與ABC的邊相切，求t的值如圖7，

6、當H與AB相切時，QPAB，就是，如圖8，當H與BC相切時，PQBC，就是，t1如圖9，當H與AC相切時，直徑，半徑等于FC4所以解得，或t0（如圖10，但是與已知0t2矛盾）圖7 圖 8 圖9 圖10例3 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為_，點C的坐標為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第

7、一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）B的坐標為(b, 0)，點C的坐標為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設點P的坐標為(x, x)如圖3，聯(lián)結OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以OA、OC為鄰邊構造矩形OAQC，那么OQCQOA當，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以OC為直徑的圓與直線x1

8、交于點Q，那么OQC90。因此OCQQOA當時，BQAQOA此時OQB90所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例4 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1： (m0)與x軸交于點B、C，與y軸

9、交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BHEH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得解得m4（2）當m4時，所以C(4, 0)，E(0, 2)所以SBCE（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當H落在線段EC上時，BHEH最小設對稱軸與x軸的交點為P，那么因此解得所以點H的坐標為（4）如圖3，過點B作E

10、C的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于F由于BCEFBC，所以當，即時，BCEFBC設點F的坐標為，由，得解得xm2所以F(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，由于EBCCBF，所以，即時，BCEBFC在RtBFF中，由FFBF，得解得x2m所以F所以BF2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F、F的坐標后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長例5 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1

11、）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當S=36時點A1的坐標；（3）在圖1中，設點D的坐標為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動設P、Q兩點的運動時間為t，是否存

12、在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）（2） 梯形O1A1B1C1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當S=36時， 解得 此時點A1的坐標為（6，3）（3）設直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQG

13、AF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時GAFGQEPQD由于，所以解得 圖3 圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實上，圖3和圖4都是假設存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3例6 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三點（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的 點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得D

14、CA的面積最大，求出點D的坐標,圖1滿分解答 （1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的 坐標（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設點P的坐標為如圖2，當點P在x軸上方時，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時點P的坐標為（2，1）如圖3，當點P在點A的右側時，x4，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得不合題意如圖4，當點P在點B的左側時，x1，解方程，得此時點P的坐標為解方程，得此時點P與點O重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點P的坐標為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為

15、設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為所以因此當時，DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1） 圖5 圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設點D的橫坐標為（m，n），那么由于，所以1.2 因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1 2015年重慶市中考第25題如圖1，在ABC中，ACB90，BAC60，點E是BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DHAC，垂足為H，連接EF，HF（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC，求AB、B

16、D的長；（2）如圖1，求證：HFEF（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由圖1 圖2滿分解答（1）如圖3，在RtABC中，BAC60，AC，所以AB在RtADH中，DAH30，AH，所以DH1，AD2在RtADB中，AD2，AB，由勾股定理，得BD（2）如圖4，由DAB90，BAC60，AE平分BAC，得DAE60，DAH30在RtADE中，AE在RtADH中，DH所以AEDH因為點F是RtABD的斜邊上的中線，所以FAFD，F(xiàn)ADFDA所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF圖3 圖4 圖5（3）如圖5，作FMAB于M，聯(lián)結CM由FM

17、/DA，F(xiàn)是DB的中點，得M是AB的中點因此FM，ACM是等邊三角形又因為AE，所以FMEA又因為CMCA，CMFCAE30，所以CMFCAE所以MCFACE，CFCE所以ECFACM60所以CEF是等邊三角形考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺如圖6，如圖7，當點F落在BC邊上時，點H與點C重合圖6 圖7如圖8，圖9，點E落在BC邊上如圖10，圖11，等腰梯形ABEC圖8 圖9 圖10 圖11例2 2014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的P總經(jīng)過定點A

18、(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，P始終與x軸相交；（3）設P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點，當AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標圖1滿分解答（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負值）（2）拋物線的解析式為，設點P的坐標為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x軸的距離所以在點P運動的過程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設MN的中點為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當AM

19、AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標為0圖2 圖3如圖4，當MAMN時，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此時xOH2所以點P的縱坐標為如圖5，當NANM時，點P的縱坐標為也為圖4 圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的P總經(jīng)過定點B(0, 1)，那么在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切這是因為：設點P的坐標為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑PB圓心P到直線y1的距離所以在點P運動的過程中，P始終與直線y1相切例3 2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，點D為邊BC的中點，DEBC交邊A

20、C于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且PDQ90（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過點D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當BP2，P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖

21、5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當QCQD時，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點伸展如圖6，當CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例4 2012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點

22、，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由圖1 滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點，設ya(x1)(x3)，代入點C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1當點P落在線段BC上時，PAPC最小，PAC的周長最小設拋物線的對稱軸與x軸的交點為H由，BOCO，得PHBH2所以點P的坐標為(1, 2

23、)圖2（3）點M的坐標為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當MAMC時，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時點M的坐標為(1, 1)如圖4，當AMAC時，AM2AC2解方程4m210，得此時點M的坐標為(1,)或(1,)如圖5，當CMCA時，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當M(1, 6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)圖3 圖4 圖5例5 2012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA4，將線

24、段OA繞點O順時針旋轉120至OB的位置（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）如圖2，過點B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以點B的坐標為（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4, 0)，設拋物線的解析式為yax(x4)，代入點B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對稱軸是直線x2，設點P的坐標為(2, y)當OPOB4時，OP216所以4+y216解得當P在時，B、O、P三點共線（如圖2

25、）當BPBO4時，BP216所以解得當PBPO時，PB2PO2所以解得綜合、，點P的坐標為，如圖2所示圖2 圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么DOA與OAB是兩個相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點為因此所以DOA30，ODA120例6 2011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求點A和點B的坐標；（2）過點A作ACy軸于點C，過點B作直線l/y軸動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿OCA的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點

26、Q當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動在運動過程中，設動點P運動的時間為t秒當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由 圖1 滿分解答（1）解方程組 得 所以點A的坐標是(3，4)令，得所以點B的坐標是(7，0)（2）如圖2，當P在OC上運動時，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如圖3，當P在CA上運動時，APR的最大面積為6因此，當t2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8圖2 圖3 圖4我們先討論P在OC上運動時的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OB

27、AB因此OABAOBB如圖4，點P由O向C運動的過程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45保持不變，PAQ越來越大，所以只存在APQAQP的情況此時點A在PQ的垂直平分線上，OR2CA6所以BR1，t1我們再來討論P在CA上運動時的情形，4t7在APQ中， 為定值，如圖5，當APAQ時，解方程，得如圖6，當QPQA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程，得如7，當PAPQ時，那么因此解方程，得綜上所述，t1或或5或時，APQ是等腰三角形 圖5 圖6 圖7考點伸展當P在CA上，QPQA時，也可以用來求解1.3 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例1 2015年上海市虹口區(qū)中考模擬

28、第25題如圖1，在RtABC中，ACB90，AB13，CD/AB，點E為射線CD上一動點（不與點C重合），聯(lián)結AE交邊BC于F，BAE的平分線交BC于點G （1）當CE3時，求SCEFSCAF的值；（2）設CEx，AEy，當CG2GB時，求y與x之間的函數(shù)關系式；（3）當AC5時，聯(lián)結EG，若AEG為直角三角形，求BG的長圖1 滿分解答（1）如圖2，由CE/AB，得由于CEF與CAF是同高三角形，所以SCEFSCAF313（2）如圖3，延長AG交射線CD于M 圖2由CM/AB，得所以CM2AB26由CM/AB，得EMABAM又因為AM平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以yEAEM2

29、6x圖3 圖4（3）在RtABC中， AB13，AC5，所以BC12如圖 4，當AGE90時，延長EG交AB于N，那么AGEAGN所以G是EN的中點所以G是BC的中點，BG6如圖5，當AEG90時，由CAFEGF，得由CE/AB，得所以又因為AFGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以GAGB作GHAH，那么BHAH在RtGBH中，由cosB，得BG圖5 圖6考點伸展第（3）題的第種情況，當AEG90時的核心問題是說理GAGB如果用四點共圓，那么很容易如圖6，由A、C、E、G四點共圓，直接得到24上海版教材不學習四點共圓，比較麻煩一點的思路還有：如圖7，當AEG90時，設AG的中

30、點為P，那么PC和PE分別是RtACG和RtAEG斜邊上的中線，所以PCPEPAPG所以122，325如圖8，在等腰PCE中，CPE1802(45)，又因為CPE180(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以GAGB圖7 圖8例2 2014年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)ya(x22mx3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a0，m0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C(0,3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD/AB，聯(lián)結AD過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設該二次函數(shù)的圖

31、像的頂點為F探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，聯(lián)結GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由圖1滿分解答（1）將C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(xiàn)(m, 4)，對稱軸為直線xm所以點D的坐標為(2m,3)設點E的坐標為(x, a(xm)(x3m)如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E由于EAEDAD，所以因此所

32、以am(x3m)1結合，于是得到x4m當x4m時，ya(xm)(x3m)5am25所以點E的坐標為(4m, 5)所以圖2 圖3（3）如圖3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G證明如下：作FFx軸于F，那么因此所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形此時GF4m所以GO3m，點G的坐標為(3m, 0)考點伸展第（3）題中的點G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊此時因此所以此時 例3 2013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側

33、），與y軸交于點C，連結BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1 滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點P的坐標為(m, 0)，可得，所以MQ當MQ

34、DC8時，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(2,0)，(6,4)考點伸展第（3）題可以這樣解：設點Q的坐標為如圖3，當DBQ90時， 所以解得x6此時Q(6,4)如圖4，當BDQ90時， 所以解得x2此時Q(2,0)圖3 圖4例4 2012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當

35、ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側有對應的點D設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，點D的坐標為因為AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以

36、D的坐標為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以點M1的坐標為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性，直線l還可以是考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點C例5 2012年杭州市中

37、考第22題在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點A(1,k)和點B(1,k)（1）當k2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值滿分解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是當k2時，反比例函數(shù)的解析式是（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k0當k0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大拋物線yk(x2x1)的對稱軸是直線 圖1所以當k0且時，反比例函數(shù)與二次

38、函數(shù)都是y隨x增大而增大（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，當OQOAOB時，ABQ是以AB為直徑的直角三角形由OQ2OA2，得解得（如圖2），（如圖3）圖2 圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當A、C關于直線yx對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形圖4 圖5例6 2011年浙江省中

39、考第23題設直線l1：yk1xb1與l2：yk2xb2，若l1l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線（1）已知直線；和點C(0，2)，則直線_和_是點C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式 圖1答案（1）直線和是點C的直角線（2）當APB90時，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如圖2，當OP6時，l1：， l2：y2x6如圖3，當OP1時，l1：y3x1， l2：圖2 圖

40、3例7 2010年北京市中考第24題在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上（1）求點B的坐標；（2）點P在線段OA上，從點O出發(fā)向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得EDPE，以PD為斜邊，在PD右側作等腰直角三角形PCD（當點P運動時，點C、D也隨之運動）當?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；若點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當點Q到達點O時停止運動，點P也停止運動）過Q作x軸的垂線，與直線A

41、B交于點F，延長QF到點M，使得FMQF，以QM為斜邊，在QM的左側作等腰直角三角形QMN（當點Q運動時，點M、N也隨之運動）若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值圖1滿分解答(1) 因為拋物線經(jīng)過原點，所以 解得，（舍去）因此所以點B的坐標為（2，4）(2) 如圖4，設OP的長為t，那么PE2t，EC2t，點C的坐標為(3t, 2t)當點C落在拋物線上時，解得如圖1，當兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合此時3t10解得如圖2，當兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，PQN是等腰直角三角形，PQPE此時解得如圖3，當兩條直角邊DC與QN

42、在同一條直線上，PQC是等腰直角三角形，PQPD此時解得 圖1 圖2 圖3例8 2009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，以A為中心順時針旋轉點M，以B為中心逆時針旋轉點N，使M、N兩點重合成一點C，構成ABC，設（1）求x的取值范圍；（2）若ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面積？圖1滿分解答（1）在ABC中，所以 解得（2）若AC為斜邊，則，即，此方程無實根若AB為斜邊，則，解得，滿足若BC為斜邊，則，解得，滿足因此當或時，ABC是直角三角形（3）在ABC中，作于D，設，ABC的面積為S，則如圖2，若點D在線段AB上，則移項，得兩邊平方，得整理，

43、得兩邊平方，得整理，得所以（）當時（滿足），取最大值，從而S取最大值 圖2 圖3如圖3，若點D在線段MA上，則同理可得，（）易知此時綜合得，ABC的最大面積為考點伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設，例如在圖2中，由列方程整理，得所以因此1.4 因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2015年成都市中考第28題如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yax22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），經(jīng)過點A的直線l：ykxb與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD4AC（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）

44、；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若ACE的面積的最大值為 ，求a的值；（3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由圖1 備用圖滿分解答（1）由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1, 0)由CD4AC，得xD4所以D(4, 5a)由A(1, 0)、D(4, 5a)，得直線l的函數(shù)表達式為yaxa（2）如圖1，過點E作x軸的垂線交AD于F設E(x, ax22ax3a)，F(xiàn)(x, axa)，那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF，得ACE的面積的最大值為解方程，得（3）已知A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以AD為分類標準，分兩種情況討論：如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD/QP，ADQP，對角線APQD由xD