Brouwer不動點定理的幾種證明要點

1、rouwer不動點定理的幾種證明學院名稱 專業(yè)名稱 學生姓名 指導教師二。一一年五月Brouwer不動點定理是很著名的定理.其中，關于它的證明很多有：代數(shù)拓 撲的證明、組合拓撲的證明、微分拓撲的證明等 .都涉及拓撲學上許多復雜的概 念和結果.關于該定理，也可以用圖論的方法證明，用離散離散理論解決連續(xù)系統(tǒng)中問題.本文試圖在總結其他證明方法的基礎上，對圖論的方法證明Brouwer不動點定理進行詳細的介紹來體現(xiàn)這一思想.關鍵詞：Brouwer；不動點.ABSTRACTBrouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , a

2、bout its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. T

3、his article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.Keywords: Brouwer; Fixed point.第一章引言1.1.1 研究背景1.1.2 本課題的研究內(nèi)容1.第二章Brouwer 不動點定理的證明 22.1 Brouwer不動點定理的圖論證明 2弓I理 2.1.1 （sperner ,

4、 1982） 3定理 2.1.2 （Brouwer）3.2.2 Brouwer不動點定理的初等證明 52.2.1 基本概念與引理 5.定理（Banach不動點定理）5.定理 （KKM定理） Brouwer不動點定理的證明 7定理 （FKKM定理）7.定理 （Brouwer不動點定理）8.2.3 Brouwer不動點定理的J.Milnor分析證明 92.3.6 Brouwer 不動點定理1.8參考文獻19致謝20第一章引言1.1 研究背景Brouwer不動點定理是非線性分析和拓撲學中的重要基本定理，它的敘述簡潔，應用廣泛，但

5、證明卻很不簡單.不論是代數(shù)拓撲的證明1,還是組合拓撲的證明2,以及微分拓撲的 證明同，都涉及拓撲學上許多復雜的概念和結果.1978年著名的微分拓撲學家J.Milnor給出了一中新證明4,只用到多變量微分學的知識和某些基本分析定理.關于該定理，也可以用圖論的方法證明，這種離散理論解決連續(xù)系統(tǒng)中問題的思想，對我們也給了很大的啟示本文試圖在總結其他證明方法的基礎上，對圖論的方法證明Brouwer不動點定理進行詳細的介紹.1.2 本課題的研究內(nèi)容整理Brouwer不動點定理的初等、圖論方面的證明和J.Milnor給出的用多變量微分學和某些基本分析定理的新證明.詳細介紹Brouwer不動點定理的圖論方法

6、證明，體現(xiàn)離散理論解決連續(xù)系統(tǒng)中問題的思 想.第二章rouwer不動點定理的證明2.1 Brouwer不動點定理的圖論證明Brouwer不動點定理：若Y表示平面上一個三角形區(qū)域圍成的閉區(qū)域，f是乂 到自身的連續(xù)映射，則f至少有一個不動點，即存在一點p0 WA 2 ,使得f (p0) = p0 . mn首先把m剖分成若干小三角形區(qū)域，即=IJ到2,到2 p a2的面積為零. 把A2的三個頂點分別標志位0,1,2.每個6：的頂JGr/Z1砰的數(shù)標志.若6i2的 頂r在A2上的邊上，且 公的這條邊端點之標號為k與m, 6i2的頂也標成k與m, 稱這些標志位正常標志，在正常標志中小三角形6：的三頂分別

7、標志0,1,2時，稱6為正常三角形，見圖a. A2的這種標志的剖分稱為三角剖分.圖2.1圖 2.2弓I理 2.1.1 (sperner , 1982)在必的三角剖分中，正常三角形為奇數(shù)個.證：記6。2為A2的外部區(qū)域，a2,%2,., 6m2是d進行三角剖分得到三角形子區(qū) 域.以&2d22,.Hm2為頂集造一個圖G,對于i與j接非零的情形，僅當6；與6j2有 公共邊具此邊端點標志為0與1時，才在此二頂間連一邊，對 瓦2與62(i ¥0)的情 形，僅當6：的0-1標志的邊落在A2的0-1標志的邊上時，在頂602與6間連一邊， 見圖b.由于上述圖G中奇次項的個數(shù)是偶數(shù)，如果d (

8、題2)是奇數(shù)，則 d(612),d(622),.,d(6m2)中奇數(shù)個奇次項，又 d(6i2)<3,i =1,2,.,m.故a2®2,.,加2 中 的奇次項是一次項.而僅當a2是正常三角形時，d2)=1,所以正常三角形有奇數(shù) 個.下證d(S02)是奇數(shù).事實上，d(S02)是舒上0-1邊上以0與1為端點的小區(qū)間的個 數(shù).當?shù)倪@條0-1邊之內(nèi)點為任何小三角形之頂時，是奇數(shù).當?shù)倪@條邊內(nèi)有小三角 形之頂時，由于標志是正常的，的則這種小三角形在的這條 0-1邊上之端點標志位 0或1.這時又有兩種情況，(i)在這條0-1邊上的小三角形頂皆標志0或皆標志1, 則，(ii)在乂這條0-1邊

9、上的小三角形之頂點標0與標1都有時，我們把端點標 號一樣的小區(qū)間收縮成一點，標號不變，則f的這條0-1邊上的標號序列為0-1交錯列010101-01,這里出現(xiàn)奇數(shù)個以0, 1為端點的小區(qū)間，故d(6；)為奇數(shù).證畢.定理 2.1.2 (Brouwer)f是Y到自己的連續(xù)映射，則存在Pb。2,使f(P0)=P0.證：P0,R,P2是1的三個頂點，則對任意pWA2,可以寫成 2P =a0P0+a1pl+a2 P2 ,貝 la 之0, Z a =1 ,其中的 P, P0, P1, P2 是二維向量，且 i /.P =(%©©), f(P)=四0,&e2).令 Si =(a

10、°,a1,a2)| 90,闞包)七篦之 a；,i =0,1,2.如果能證出S0QsQ S* ,則存在(,4e2尸S001S1ns2，且Hj 蕓 a, i =0,1,2；又 X a = Z ai = 1 ,故必有 a0 = a°, a 二 a, a? = a2,即 f 有不動點. 2i =0i =0下證弧事實上，考慮管的正常標志的三角形剖分，使得標志i的每個頂點屬 i =0, , ,于 Si, i =0,1,2 .A2上任意一點 P = (a0,a1,a2), f (p) =(a0, a1,a2) ,存在一個使22p w Si ,且a >0 ;否則當每個ai >0

11、時，ai>ai.于是Zai>Zai,矛盾.若一個三i =0i =0角形頂點pwSi且aiA0時，p標志以i,這種標志是正常標志，例如 個的頂點 Pi(i =0,1,2)有4=1 ,故RWS,標成i ;在1的P0P1邊上各點的a2 = 0 ,我們只 能把這邊上的點標以0或1; P0P2邊上的點同理只能標志0或2； p1P2上的點只能 標志1或2,故正常標志.由引理知，至少有一個正常三角形，其中頂點分別屬于S0,S,S2.我們是剖分無限變 密，且小三角形中的最大直徑足夠小，則有分別在 80,8,$中的三個點，兩兩相距 可以任意小，又f是連續(xù)的，故SqSS是閉集.于是，&|81|

12、5"也證畢.2.2 Brouwer不動點定理的初等證明2.2.1 基本概念與引理定義 設E是一線性空間，其一切子集構成的集族記為2E.子集A=E 稱為有限閉的，若它與每一有限維平面LuE的交接L上的Eucild拓撲是閉的； 個集族A一稱為有限交性質(zhì)，如果它的每一有限子集的交不空 .定義 設E是一線性空間，X是E上的任意子集，稱G：Xt 2E是一 個KKMM像，m如果對任何有限子集xx2,.xmuX ,有：gx1,x2,.xmu|jG(xi) 14引理 設集合Xu Rn非空，則距離函數(shù)d(x)=四| x-y|是Lipschitz 的，即有：|d

13、(x) -d(y)| <|x-y|Vx, y= Rn2.2.2 利用Banach不動點定理證明KKM®理 定理(Banach 不動點定理)有限維空間中有界閉凸集上的連續(xù)自映射必有不動點.定理(KKM定理)設E是一線性空間，X是E的子集，G：Xt2e是一 KKM央像.如果對于任何 xWX , G(x)是有限閉的，則集族G(x)|xWX具有有限交性質(zhì).證：反證法.假設存在x1, x2,. xm u X使得n G(xb =弧設L是由 .i 1.xx2,.x叫張成的有限維平面，d是上的Eucild的度量.令D = cox1, x?,. x叫m則D UL.由假

14、定每個i =1,2,.小10|6(父)在L中閉，故310|6(4)=0的充分必要條件是x定義函數(shù):Lp|G(xi).m, (x)八 d(x,Lp|G(xi)i 1由于f|G(xi) =* ,故對于每一 xw D , L(x) >0.由引理1知: i 1 (x) - (y)| n x-x,y D 一, 1m iI'不妨設D包含原點，否則用D-Z xi代替D即可.令: m i j1 mf(x)=E< d(x,LfjG(xi)xi-x Dt ' (x) i 4式中，t>1是待定參數(shù).則f:DT D連續(xù)，且對任意x,ywD,有:1 md i i 1 m、iit -d(

15、y，LpG(x )x -t d(x，LQG(x)x t (y) i 4t (x) i 11 m1 m1 % d(y,L 3)雙 一-d(x,L G(xi)xi t (y) -t (y) y1 尸LX i i 1-mt(y) /(降口 一而/但備融卜面對式(3)右端兩項分別進行估計.首先由引理1.對任意x, yw D ,有:i 1 mi ix-詞:卅x,LnG(x)x1<t 1 (y) xi )|x-y|其次根據(jù)式(2),對任意x, y w D ,Ji d(x, LpG(xi) xi t (y) y有：1 mO i id(x，LPG(x )x t (x) i m工1- t'(x)(

16、y)md(x, Lp|G(xi)|xi|'(x)- '(y) i 1n m ：-nr d(x,L G(xi) t(x)(y) yxi )i|x-y綜合式(3)、(4)、(5)知:II f(y)- f (x)| Mh(； y)|x-y式中，h(x, y)=, (y)m -m卅Hg(川xl,在有界閉集Dm D上連續(xù)，因此有最大值M .取足夠大的t > maxM ,仆，則，f構成D上的一個壓縮 映射.由Banach不動點定理知道，有一不動點xw D .令I -'i |d(x, Lp|G(xi)0,i il,2,m)ll_,i、-，r1 mi i則 x ''

17、;'UG(x)另外：x = f(x) =工 d(x, LQG(xi)xiilt ' (x) y% d (x, L p|G(xi)xi 1 xi | i I ; G(xi) t(x) i Ii I導致了矛盾.故定理2成立.2.2.3 Brouwer不動點定理的證明引理 設集族A/,另是Rn中的非空閉集合，其中一個有界，具有有 限交性質(zhì)，則該集族看非空交.證明：反證法.假設n A>=巾，則它的余集為全空間，即n CA7 = C（Pl A，）= Rn 即開集CA九.的并覆蓋全空間，當然也覆蓋集族中的有界閉集.由有限覆蓋定理知， 存在有限個開集CACA. 一 CAm

18、.覆蓋住A0 ,即：AoUCAljCAlIlUCAm從而： CAnAnAzn用nA-即：2nllin%）=®這與假設相矛盾，從而 引理2成立.定理 （FKKM 定理）設X是Rn中的非空緊凸集，G:Xt Rn是閉值的KKM央射，且存在一點xo使 G（x。）有界，則集族G（x）|xWX有非空交.證明：根據(jù)定理2知集族G（x）|xWX具有有限交性質(zhì)，于是根據(jù)引理 2知 定理3成立.引理 .設X是Rn中的非空緊凸集，映射G:Xt Rn連續(xù)，則至少存在一點 yw X 使得：y-G(y) = inf x-G( y)|引理 .設X是Rn中的非空緊凸集，映

19、射G:Xt Rn連續(xù).若對于X中 每一滿足x#G(x)的點x,連結x和G(x)的線段x,G(x)至少包含X中2點.則G 在X中有不動點.定理(Brouwer 不動點定理)設G：DuRnT Rn是閉集D上的壓縮映像，G(D)u D ,則對任意x0e D ,迭 代序列：x1=G(xk)k =0,1,存在唯一的極限點.證明：由引理 ,223.4 可知Brouwer不動點定理 成立.2.3 Brouwer不動點定理的J.Milnor分析證明2. 3.1考慮所有實數(shù)n元組的集合En =x=x., xn| x« M i M n)是實數(shù),在El 引進三種線

20、性運算之后，Rn=En,+,<>就稱為n維歐式空間，其中x=(x1,.,xn) 稱為Rn的點或向量，諸X稱為點x的坐標或向量x的分量；向量x = (x,.,xn)和 y =(y ,., yn)相加,結果是一個向量，定義為x y = (x< y1,.,xn yn) 實數(shù)支和向量x相乘，結果是一個向量，定義為：x 二(二 X,.xn)向量x和y的內(nèi)積是一個實數(shù)，定義為nx, y 八 XV i 1于是，向量的長度定義為x = Jx, x = .、x2 =i =1向量x和y的之間的距離就是x-y =(x -)2i=1由于對任何1a有二 x y,二 x y = x,x；二2 2 x,

21、yH ' y,y - 0所以判別式x, y)2x,x%y,y> W 0即是對任何x和y w Rn有Canchy - By。不等式| x,y |M x y等式成立的充要條件是：相差一個常數(shù)因子.因此我們可以定義的夾角x,y的余 弦為 _ <x,y) cos'"y尸而顯然，I cos區(qū),y J £1 ； x和y相差正數(shù)因子時，cos(x, y)| <1 ；相差負數(shù)因子時, |cos&,y=；此外由于222x-y = x y -2 x,y=x 2 y 2 一2 x y cos x,y與通常的余弦定律一致，所以cosx,y)的定義是合理的.

22、從而，向量x和y正交定 義為，x；y 'k。.向量x可以用從原點到點x的有向線段來表示，也可以平行移動 到任何位置，只依賴于方向和長度.因此，在圖示中，兩個向量相加可以用平行四 邊形法則，也可以用三角形法則.圖 2.3(a)圖 2.3(b)2.3.2命I*是Rn中的一個區(qū)域.如果對任何向量xWI*,都相應的地有一個向 量y(x) w Rn ,就說y是把I*映入Rn的一個映像(變換).如果y(x)的諸分量 %(%,.出)(1 Ei Wn)是(x1,.,xn)的連續(xù)函數(shù)，就說y是連續(xù)向量場.注意，在說到 連續(xù)可微時，總是指函數(shù)對各個變兀的一階偏導數(shù)在包含I的一個n維開領域中處處存在且連續(xù).

23、引理 命I是有界閉域，v是I上的連續(xù)可微向量場.于是存在 Lipchitz 常數(shù)c ,使得v(x)-v(y) <c x-y ,x, y I*證明，由于v是I*上的連續(xù)，所以對任何 g* ,存在61)下0,使得v在方體I(t)5(t)=xRnHx-£ |<5(£)(1<i<n)10處處連續(xù)可微，命cj = sup |-上|XI ( ,、.()fXj于是，根據(jù)微分中值定理，對隹何x,ywI(*每代)有|v(x) -v(y)| <z |Vi(X2.xn)-Vi(y2.yn)| Vi(K,X2.,Xn) -Vi(y2,X2,.,Xn)|V

24、i(y1,X2.,Xn) -V(y1, y2,.,Xn) | +|Vi(yi,y2.,Xn) -Vi(yi,X2,.,Xn) |Gj |x -yi 區(qū)£ «|x-y i.ji,j今證存在6>0,不依賴于二w| ,使得對任何x, y w I (-, 6(-),上述吧不等式 成立.否則，對任何正整數(shù)p,存在I*以及Xp,ypW I(二,工)，使得 p p p ppx(Xp) -v(yp) 一二 Cj Xp -yp由于I是有界閉集，根據(jù)Bolzano-Weierstrass 止理，可設tw I ,從而,Xp*-* -.于是,當p充分大時,Xp,yp = I (-,§

25、;(-),所以，v(Xp) -v(yp)Cj I Xp - yp矛盾.這樣一來，如果命 m - supl v(x) -v(y)|C=max,Z qX yi , j則對任何 x, y w I* 有|v(x)-v(y) <c|x-y|引理 命I*是有界閉域，v是I*上的連續(xù)可微向量場.命u:I*t Rn是 一個變換，止義為u(x) =x+t V(x),xW I 于是，當|t|充分小時，u是把I變成 區(qū)域u(I*)的一一變換，區(qū)域u(I*)的體積可以表示為t的多項式.證明：據(jù)引理1,設是的Lipschitz 常數(shù).一1 于是，當|t|<-時，變換u是的.C因為，若 X #

26、y而 v(x) =u(y),則由 x y = t(v(y) v(x)推出 |x -y| <|t |c|x -y| <|x -y|,矛盾.其次，由于所以的Jacobi行列式是11；:v； J(u) =、i,j t;:Xj1,i = j,i j0,i=j因而可以表為的多項式：J(u) =1 - a1(x)tan(x)tn其中諸ai(x)t顯然是的連續(xù)函數(shù).注意，當t=0時，這個行列式之值為1,所以 只要|t|充分小，則J(u)恒為正.于是，則反函數(shù)定理，當|t|充分小時，u是把區(qū) 域I變成區(qū)域u(I )的連續(xù)可微變換，它的逆變換也是連續(xù)可微的.因此，按照體積的積分定義以及n重積分的換元

27、法則，區(qū)域的體積可以表示為*. i. d I .i J i d hvol(u(I ) = HI duJIIHldun*u(I )=|l|J(u)dxJ|l dx2* I=a° at HI antn其中ai = |l|ai(x)dxi |H dxn*i = 0,1#|, n, a = 1-*Ic,kn中的n-1維單位球面定義為Sn'=xw hn|x| =1命v是Sn上的向量場.如果對任何*三$2都有儀7(乂)= 0,就說v是Sn上的向 量場.今設v是Sn上的連續(xù)可微的單位切向量場，即是對任何 xWSn有枚(x)| =1. 考慮區(qū)域圖 2.4I* =郵 kn2 <|x| &

28、lt;|12v(x)TX v(iA)，xw Illxll.、-A、.、*. .于是，v被擴充為I上的連續(xù)可微的切向量.再考慮變換 u : I> kn u(x) = x tv(x),x I由于|u(x)| =q|x+t命w(x);u- -tv(x), x I rlt2|v(x)2=1 t2 x13可見變換u把半徑為r(2 <r E?)的球面S (r) =xw R |帆=r受到半徑為r Ji +t2 的球面 SnJL(r Ji +t2)上.引理 當|t|充分小時，變換u把Sn(r)變成Sn(r,1+t2) ii證明：設t <-, t <-,其中c是在上的Lip

29、schitz 吊數(shù).對于任何固止的 3c由于 |tv(x)bt|W所以1： uo2 r d t2-tv(x) < w(x)tv(x) |uo - Sn 1(r .1 - t2)此外，| w(x) -w(y)| =|t |v(x) -v(y)| < t c | x y|而t c<1,可見w是把歐氏空間的閉集映入自身的壓縮映像，據(jù)壓縮映像原理,有唯一的原動點x0 =w(x0),即10.-+'儀).所以1=1 %|M+t2 ,因此r 1 t2uo =£o4tv(o),其中<=小產(chǎn),刈三$2.這就證明了對任何uoWs2(rJ")，存在唯一的%wSn;

30、 使得 u° =u(%) 現(xiàn)在讓我們對半徑為r的n維球體Bn(r) =xw Rn |網(wǎng)| Mr的體積給出一個計算公式vol(Bn(r) =cnrnn -1 n -3. .1 二%佃將i, n為偶數(shù)其中一 n n -22 2n-1n -3Jlt2 4六拈HI _ ,n奇數(shù)n n -23事實上，例如Ci -2,按歸納法有vol(Bn(r) =2 ；volBn/(.r2 -x2)dxn=2 0r Cn(r2 X；)dXn冗= 2a/rn J。2 cosnBde算出上述積分，就得到所要的結果.142.3.4 現(xiàn)在我們問：球面Sn上是否存在連續(xù)可微的單位切向量？這個問題的回

31、答有些古怪.如果n-1是奇數(shù)，回答是肯定的，事實上我們可以給出所要的向量， 例如v(x) =(X2 - K,& - X2,|“,Xn - Xn),x S”，但是，如果n1是偶數(shù)，回答則是否定的定理1.偶數(shù)維球面上不存在連續(xù)可微的單位切向量場.證明：假若不然，當n是奇數(shù)時，若Sn，上存在連續(xù)可微的單位切向量場v, 則據(jù)引理3,變換u(x)=x+tv(x)當|t|充分小時把區(qū)域I*=x- Rnllx-3變成區(qū)域 u(I*) =xw Rn |；Jl +t2 引x| <|/l+t2,所以 u(I*)的體積是vol (u(I *) =vol Bn (gjl+t2) -vol Bn(1jl

32、+ t2)22“n(乎-Qb.門)。 22=(,r-t2)nvoi(I*)由于n是奇數(shù)，這個體積不可能是t的多項式，因而和引理2的結果矛盾.定理1還可以稍加推廣如下.定理2.偶數(shù)維球面上不存在處處不為零的連續(xù)向量場.證明：假若不然，命v是Sn上處處不為零的連續(xù)向量場，m=MjnJv(x)| .于是m >0 .據(jù)Weierstrass逼近定理網(wǎng)，中有界閉集上的連續(xù)函數(shù)可以用多項式函數(shù) 均勻逼近，所以存在一個多項式映像 p:SnT Rn,即諸R(x)者B是區(qū)，川，)的多 項式，15使得 | p(x)-v(x)Q <m,x w Sn_L , 命 u(x) = p(x) 一( p(x),

33、x) x, xw Snr n、即u, (x) = p(x)-工Pj (x)xj x顯然，上的聯(lián)訊可微向量場，<j-J2n 1此外，u(x),x; =；p(x),x)-： p(x),xx =0,x S -所以u是Sn，上的切向量場，最后，u(x) = 0蘊涵p(x) =( p(x),x x ,所以(p(x),v(x) =0, | p(x) -v(x)| =|p(x)|2 +|v(x)|2 >m矛盾，從而 u在 Sn，上 處處不為零.因此w(x)=型_就是Sn上連續(xù)可微的單位切向量場.但是，如果|u(x)|n-1是偶數(shù)，定理1說，這是不可能的.例.地球表面的風的分布可以視為向量場，向量

34、的長度和方向分別表示在該點 的風力和風向.風力的分布當然是連續(xù)的，所以這個定理說，地球表面上總有一處 是完全無風的.2.3.5現(xiàn)在介紹一種方法，怎么樣從維球體傻瓜的向量場構造出維球面上的切向量場.考慮kn設kn =x|1 =0Sn =x kn1| x =1Bn =x kn | x <1Rn+1圖2.8Bn的邊界球面$1=已正|乂|=1是的赤道.假設名&了 Bn上一個處處不為零的連續(xù)向量場u ,使得xWSn"時，u(x)=x.首先，利用北極投影把Bn映成南半16 球 S=xwSn|xW0,奇數(shù)對任何 xwBn,從北極 N(0|0,1)到 x(XH|Xn,0)的連線與Sn的

35、交點自就是所要的對應點.容易驗證，北極投影的確定義是L12n“x)=2(2xi,|,2xn,|x| -1),xeBni +| xi他的遞變是x()=1(i/ln,0)Si1 - n 1顯然，這兩個變換都是連續(xù)可微的.對于任何固定的xWBn,kn中的直線x+tu(x) (t <a)經(jīng)過北極投影變成Sn上的球面曲線“x+tu(x)(注意，北極投影顯然對整個kn上的點都有定義，不過kn中不屬于的點背變到北半球上罷了).我們來證明：這條曲線在tM0時速度向量u(£)是S,在U處的切向量.事實上，按定義有 u( ) = (x tu(x) |t_0dt一d1.22 (2x tu(x)J|,

36、(2x tu(x), x tu(x) -1出1 x tu(x)i=、2 2(1+|ix2) 2u1(x)/|l,2u2(x),2x,u(x)2x1|,2xnjx212(x + u(x)1 x 2'由于u(x)連續(xù)依賴于x ,而x連續(xù)依賴于可見u(D連續(xù)依賴于WS,此外，(u( -), Q= -1771(1 可x|2) 4<x, u(x) +(|xi2 -1)2(x,u(x) 4|x|2+(|x 2 -1)22(x,u(x) 1 x =-1p7(1+|x)22(x,u(x)-(1+|X|2)22(x,u(x)1 + x 2=0可見，u是S上的連續(xù)切向量場.最后，還應指出N在S,上處

37、處不為零，因為N(b =0蘊涵(x,u(x) =0 ,從而有推出所有的Ni(x)=0,與假設矛盾.只要當 x w Sn，時，t(x) =x,u(x) = x所以 N(t) =(0, IH,0,1)指向正北.同樣，如果我們利用南極投影和向量場u我們將得到北半球S、= xWSn|xn書之0上的處處不為零的連續(xù)向量場 口，但是在赤道Sn”上這個向 量場指向正南.為了得到整個球面Sn上的連續(xù)向量場，我們利用向量場 -u,這樣17 相應的向量場N在赤道Sn上也指向正北.與南半球上的向量場一致.這樣一來，我 們從所給的向量場u構造出在整個上處處不為零的連續(xù)向量場 N.2.3.6 Brouwer不動點定理定理3.把n球體映入自身的任何連續(xù)映象f至少有一個不動點，即存在x w Bn ,使 f (x) = x證明：假若不然，對任何 xWBn, f(x)#x.命 u(x) = x-1(X, x)Bn1- x-y其中 x= f(x)顯然，當 xWSn，時，u(x)=x ;u(x)連續(xù)依賴于x,因為(x, y)#1.此外，u在Bn上處處不為零，因為 u(x) =0蘊涵 x x(x - y) = y (x, x) y 或 x + x(x, x) y = y + x(x, y)所以(x,x)+(x,x)(y,x) =(y,x)+(x,x)(x,y)即(x,x)=(y,x)由此再據(jù)u(x) =0即