一元二次方程實(shí)數(shù)根題例剖析

1、元二次方程實(shí)數(shù)根題例剖析例1下列方程中兩實(shí)數(shù)根之和為2的方程是(A x2+2x+3=0 (B x2-2x+3=0(C x2-2x-3=0 (D x2+2x+3=0錯(cuò)答：B正解：C錯(cuò)因剖析:由根與系數(shù)的關(guān)系得x 1+x2=2,極易誤選B。應(yīng)考慮到方程有實(shí)數(shù)根,故由可知，方程B無(wú)實(shí)數(shù)根，方程C合適。例2若關(guān)于x的方程x 2+2(k+2x+k2=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是(A k>-1 (B k<0 (c -1< k<0 (D - K k <0錯(cuò)解:B正解:D錯(cuò)因剖析:漏掉了方程有實(shí)數(shù)根的前提是 >0例3 (2002山東太原中考題 已知x 1, x

2、 2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1x+m2+1=0的兩個(gè) 實(shí)數(shù)根,當(dāng)x 12+x22=15時(shí)，求m的值。錯(cuò)解:由根與系數(shù)的關(guān)系得x 1+x2= -(2m+1, x 1x 2=m2+1, x 12+x22=(x1+x2 2-2x 1x 2=2m2+4m-1=15 貝 U m=-4 或 2 =(2m+1 2-4(m2+1 > 0 m >貝3/由=2。例4已知關(guān)于x的一元二次方程x 2=2(1-mx-m2的兩實(shí)數(shù)根為x 1, x 2.(1求m的取值范圍;（2設(shè)y=x1+x2,當(dāng)y取得最小值時(shí),求相應(yīng)m的值,并求出最小值.分析：（1若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式 =b2-4

3、ac> （建立關(guān)于m的 不等式，可求出m的取值范圍；（2根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x 1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而 可得出y、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及（1題得出的自變量的取值范圍，即 可求出y的最小值及對(duì)應(yīng)的 m值.解：（1將原方程整理為x2+2（m-1x+m2=0原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 =4(m-12-4m 2 =-8m+4> 0得 mC 1/2.(2 x1, x 2 為 x 2+2(m-1x+m2=0 的兩根 y=x1+x2=-2m+2,且 mc 1/2.因而y隨m的增大而減小，故當(dāng)m=1/2時(shí)，取得最小值1.例5甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，用字母P、 q分別表示兩人各投擲一次的點(diǎn)

4、數(shù)。（1求滿足關(guān)于x 2+Px+q=0的方程有實(shí)數(shù)解的概率。（2求（1中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率。分析:（1方程x 2+Px+q=0有實(shí)數(shù)解,則P 2-4q> （把巴投擲骰子的36種p、q對(duì)應(yīng) 值，代入檢驗(yàn),找出符合條件的個(gè)數(shù)；（2方程x 2+Px+q=0有相同實(shí)數(shù)解,則P 2-4q=0, 把投擲骰子的36種P、q對(duì)應(yīng)值，代入檢驗(yàn),找出符合條件的個(gè)數(shù).解:兩人投擲骰子共有36種等可能情況,（1其中使方程有實(shí)數(shù)解共有19種情況:p=6 時(shí),q=6、5、4、3、2、1;p=5 時(shí),q=6、5、4、3、2、1；p=4 時(shí),q=4、3、 2、 1;p=3 時(shí),q=2、1；p=2時(shí),q=1;故其

5、概率為19/36.(2使方程有相等實(shí)數(shù)解共有2種情況:p=4, q=4; p=2, q=1 故其概率為 1/18.點(diǎn)評(píng):本題考查一元二次方程根的判別式和概率關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及推理能力.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；一元二次 方程有實(shí)數(shù)根，判別式為非負(fù)數(shù).例6三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4,第三邊的長(zhǎng)是方程X 2-12x+35=0的根則該三角形的周長(zhǎng)為(A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不對(duì)分析:易得方程的兩根，那么根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，排除不合題意的邊，進(jìn)而求 得三角形周長(zhǎng)即可.解:解方程得：x=5或x=7.當(dāng)x=7時(shí)，3+4=7,不能組成三角形；當(dāng)x=

6、5時(shí)，3+4>5,三邊能夠組成三角形.該三角形的周長(zhǎng)為3+4+5=12,故選B.點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角形三邊關(guān)系，注意在求周長(zhǎng)時(shí)一定要先判斷是否能構(gòu)成 三角形.例7 (2010年蘭州市已知兩圓的半徑R、r分別為方程X 2-5x+6=0的兩根，兩 圓的圓心距為1,兩圓的位置關(guān)系是(A.外離B.內(nèi)切C.相交D.外切分析:本題可先求出方程的根即兩圓的半徑 R、r，再根據(jù)由數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷兩圓位置關(guān)系的方法，確定兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓圓心距為P,兩圓半徑分別為R和r且R> r則有:外離:P>R+r;外切:P=R+r;相交:R-r解:兩圓的半徑分別是方程的兩根，兩圓半徑和為5,半徑積為6,半徑差為=1,即圓心距等于半徑差，根據(jù)圓心距與半徑之間的數(shù)量