2013高考理科數學解題方法攻略—立體幾何2

1、高考立體幾何常考與方法： 1求異面直線所成的角：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平行；三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；2求直線與平面所成的角：關鍵找“兩足”：垂足與斜足解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內的射影的夾角（注意三垂線定理的應用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線面垂直）；三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。3求二面角的平面角解題步

2、驟：一找：根據二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角； 二證：證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）； 三計算：通過解三角形，求出二面角的平面角。?？键c一：三視圖1.若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是?？键c二：體積、表面積、距離、角A1CBAB1C1D1DO1. 如圖所示，已知正四棱錐SABCD側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為_.2如上圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AB C1D1的距離為_.3.已知是球表面上的點，則球表面積等于_.常

3、考點三： 平行與垂直的證明1. 正方體，E為棱的中點() 求證：；() 求證：平面；（）求三棱錐的體積?？键c四： 異面直線所成的角，線面角，二面角1.如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求證：（1）平面PAC平面PBD；（2）求PC與平面PBD所成的角；?？键c五： 線面、面面關系判斷題1已知直線l、m、平面、，且l，m，給出下列四個命題：（1），則lm（2）若lm，則（3）若，則lm（4）若lm，則其中正確的是_.高考題1. (2011年高考山東卷理科19)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形， ACB=，平面，EF，.=.（)若是

4、線段的中點，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小2.(2011年高考浙江卷理科20)如圖，在三棱錐中，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。（I）證明：如圖，以O為原點，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz則，由此可得，所以，即（II）解：設設平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即由即得由解得，故AM=3。綜上所述，存在點M符合題意，AM=3。方法二：（I）證明：由AB=AC，D是BC的中

5、點，得又平面ABC，得因為，所以平面PAD，故（II）解：如圖，在平面PAB內作于M，連CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又從而PM，所以AM=PA-PM=3。綜上所述，存在點M符合題意，AM=3。3.(2011年高考遼寧卷理科18)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD.（I）證明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值.18解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz. （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，

6、0）.則所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依題意有B（1，0，1），設是平面PBC的法向量，則因此可取設m是平面PBQ的法向量，則可取故二面角QBPC的余弦值為12分4.(2011年高考安徽卷理科17)如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，,，都是正三角形.（）證明直線；（II）求棱錐F-OBED的體積。（）（綜合法）證明：設G是線段DA與線段EB延長線的交點，由于OAB與ODE都是正三角形，所以OB,OB=,OG=OD=2同理，設G是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG=OD=2，又由于G和G都在線段DA的延長線上

7、，所以G與G重合。在GED和GFD中，由OB,OB=和OC, OC=,可知B,C分別是GE和GF的中點，所以BC是GEF的中位線，故BCEF.（向量法）過點F作FQAD,交AD于點Q，連QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED,以Q為坐標原點，為x軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立如圖所示空間直角坐標系。由條件知E(，0,0)，F（0,0，），B（，-，0），C（0，-，）。則有，。所以，即得BCEF.（）解：由OB=1，OE=2，EOB=60°，知SEOB=,而OED是邊長為2的正三角形，故SOED=,所以SOBED=SEOB+SOED=。過點F作FQAD，交AD于點

8、Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=，所以VF-OBED=FQ·SOBED=。5. (2011年高考全國新課標卷理科18) 四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。(18)解：（ ）因為, 由余弦定理得從而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD（）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標系D-，則,。設平面PA

9、B的法向量為n=（x,y,z），則 即 因此可取n=設平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 6.(2011年高考天津卷理科17)如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）設為棱的中點，點在平面內，且平面，求線段的長本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.滿分13分. 方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點. 依題意得 （I）解：易得， 于是 所以異面直線AC與A

10、1B1所成角的余弦值為 （II）解：易知 設平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為 （III）解：由N為棱B1C1的中點，得設M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長為方法二：（I）解：由于AC/A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因為平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以，過點A作于點R，連接B

11、1R，于是，故為二面角AA1C1B1的平面角.在中，連接AB1，在中，從而所以二面角AA1C1B1的正弦值為（III）解：因為平面A1B1C1，所以取HB1中點D，連接ND，由于N是棱B1C1中點，所以ND/C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長交A1B1于點E，則由得，延長EM交AB于點F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，7(2011年高考湖南卷理科19)如圖5，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點，為的中點（）證明：平面平面;（）求二面角的余弦值.解：（I）連接，因為,為的中點，所以.又因為內的兩條相交直線，所以而，所以。（II）

12、在平面中，過作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，過作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值為。8. (2011年高考廣東卷理科18)在椎體中，是邊長為1的棱形，且,分別是的中點，（1） 證明：（2）求二面角的余弦值。18.解：(1) 取AD的中點G，又PA=PD，由題意知ABC是等邊三角形，又PG, BG是平面PGB的兩條相交直線，(2) 由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.9. (2011年高考湖北卷理科18)如圖，已知，本棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側棱CC1上，且不與點C重合.() 當CF=1時，求

13、證：EFA1E. ()設二面角C-AF-E的大小為，求的最小值.解法1：過E作于N，連結EF。 （I）如圖1，連結NF、AC1，由直棱柱的性質知， 底面ABC側面A1C。 又度面?zhèn)让鍭，C=AC，且底面ABC， 所以側面A1C，NF為EF在側面A1C內的射影，在中，=1，則由，得NF/AC1，又故。由三垂線定理知（II）如圖2，連結AF，過N作于M，連結ME。由（I）知側面A1C，根據三垂線定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，設在中，在故又故當時，達到最小值；，此時F與C1重合。解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標系，則由已知可得于是則故（II）設，平面AEF的一個法向量為，則由（I

14、）得F（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性質可取側面AC1的一個法向量為， 于是由為銳角可得， 所以， 由，得，即 故當，即點F與點C1重合時，取得最小值10.(2011年高考陜西卷理科16)如圖：在，沿把折起，使（）證明：平面；（）設。解（）折起前是邊上的高， 當 折起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC.（ ）由 及（）知DA，DC兩兩垂直，不防設=1，以D為坐標原點，以，所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），與夾角的

15、余弦值為，=.11.(2011年高考重慶卷理科19)在四面體中，平面, ,=,=（）若=2，=2，求四面體的體積。（）若二面角-為，求異面直線與所成角的余弦值。 12(2011年高考四川卷理科19)如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA(I)求證：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.()求點C到平面B1DP的距離解析：（1）連接交于,又為的中點，中點，,D為的中點。（2）由題意,過B 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,則(3)因為，所以

16、,在中，13.(2011年高考全國卷理科19)四棱錐中，,，側面為等邊三角形，.（）證明：;（)求與平面所成角的大小.（II）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算計算把求角的問題轉化為數值計算問題,思路清晰思維量小。【精講精析】計算SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可證又，因此，.（II）過D做，如圖建立空間直角坐標系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可計算平面SBC的一個法向量是.所以AB與平面SBC所成角為.14.(2011年高考江蘇16)如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點.求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD15(2011年高考北京卷理科16)在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；、（）當平面與平面垂直時，求