中值定理下嫁高考22456

1、中值定理“下嫁”高考數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)近幾年，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考命題成為熱點(diǎn).許多省市高考試卷有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先歸類總結(jié)，再通過一些具體的高考試題，利用拉格朗日中值定理解答，并與參考答案的解法作比較，體現(xiàn)高觀點(diǎn)解題的好處.拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 .一、證明或成立（其中）例：（2007年高考全國卷I第20題）設(shè)函數(shù).（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）證明：若對所有，都有 ，則的取值范圍是.（）略.（）證明：（i）當(dāng)時(shí)，對任意的，都有(ii)當(dāng)時(shí)，問題即轉(zhuǎn)化為對

2、所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知內(nèi)至少存在一點(diǎn)（從而），使得，即，由于，故在上是增函數(shù)，讓得，所以的取值范圍是.評注：第(2)小題提供的參考答案用的是初等數(shù)學(xué)的方法.即令，再分和 兩種情況討論.其中，又要去解方程.但這有兩個(gè)缺點(diǎn)：首先，為什么的取值范圍要以為分界展開.其次，方程求解較為麻煩.但用拉格朗日中值定理求解就可以避開討論，省去麻煩.二、證明成立例：（2004年四川卷第22題）已知函數(shù).（）求函數(shù)的最大值；（）設(shè)，證明：.（）略； （）證明：依題意，有由拉格朗日中值定理得，存在，使得評注：對于不等式中含有的形式，我們往往可以把和，分別對和兩次運(yùn)用拉格朗日中值定理.三、證明成立例： (

3、2OO6年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：（）當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)時(shí)，.證明：（）不妨設(shè)，即證由拉格朗日中值定理知，存在，則且，又，.當(dāng)時(shí)，.所以是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證（）由得，令則由拉格朗日中值定理得：下面只要證明：當(dāng)時(shí)，任意,都有，則有，即證時(shí)，恒成立.這等價(jià)于證明的最小值大于.由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，又，故時(shí)，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.評注：這道題用初等數(shù)學(xué)的方法證明較為冗長，而且技巧性較強(qiáng).因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢.體現(xiàn)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性，說明了學(xué)習(xí)高等數(shù)

4、學(xué)的重要性.四、證明或成立例：（2008年全國卷22題）設(shè)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對任何，都有，求的取值范圍.（）略；（）證明：當(dāng)時(shí)，顯然對任何，都有；當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（）知，從而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在 上，的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.由知，當(dāng)時(shí)，的最大值為.所以，的最大值.為了使恒成立，應(yīng)有.所以的取值范圍是.評注：這道題的參考答案的解法是令,再去證明函數(shù)的最小值.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個(gè)參數(shù),要對參數(shù)進(jìn)行分類討論;其次為了判斷的單調(diào)性,還要求和的解,這個(gè)求解涉及到反余弦,較為復(fù)雜.而用拉格朗日中值定理就可以避

5、開麻煩，省去討論.再次體現(xiàn)了高觀點(diǎn)解題的優(yōu)越性.五、證明成立，（其中）例：（2007年安徽卷18題）設(shè).（）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)時(shí)，恒有.（）略；（）證明：即證，由于，則.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.由（）的解題過程知，所以.令得，.令得，.故在上最小值.所以.從而.又，則成立，從而當(dāng)時(shí)，成立. 評注：這道題的參考答案是用（）中在內(nèi)的極小值得到.又，所以.從而在上單調(diào)遞增,故的最小值，所以.但是如果沒有（），很難想到利用來判斷的單調(diào)性.而用拉格朗日中值定理證明，就不存在這個(gè)問題.六、證明或（其中）例：（2009年遼寧卷理21題）已知函數(shù)（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）證明

6、：若，則對任意，有.（）略；（）.由（）得，.所以要證成立，即證.下面即證之.令，則.由于，所以.從而在恒成立.也即.又，故.則，即，也即.評注：這道題（）小題存在兩個(gè)難點(diǎn)：首先有兩個(gè)變量；其次的值是變化的.參考答案的解法是考慮函數(shù).為什么考慮函數(shù)？很多考生一下子不易想到.而且的放縮也不易想到.拉格朗日中值定理是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要定理.是解決函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的重要工具.近年來，不少高考壓軸題以導(dǎo)數(shù)命題，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，這些壓軸題用初等數(shù)學(xué)的方法也可以求解.但初等數(shù)學(xué)的方法往往計(jì)算量較大.這時(shí)，用拉格朗日中值定理交易解決.充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性，有力反駁了“高數(shù)無用論”的錯(cuò)誤的想法.從而使學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，增加學(xué)習(xí)的興趣.從以上六道題目與參考答案不同的解法中，我們可以感受到高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)具有居高臨下的指導(dǎo)作用.近幾年，高觀點(diǎn)下的高考命題頗受命題者的青睞.因此加強(qiáng)對高等數(shù)學(xué)的研究就顯得很有必要.參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上冊）M.北京：高等教育出版社，20072