2020年高考文數(shù)二輪專題復(fù)習(xí)：題型1第8講數(shù)列含解析

1、第 8 講數(shù)列考情分析數(shù)列為每年高考必考內(nèi)容之一，考查熱點主要有三個方面：對等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查，常以客觀題的形式出現(xiàn)，考查利用通項 公式、前 n 項和公式建立方程（組）求解，利用性質(zhì)解決有關(guān)計算問題，屬于中、低 檔題；（2）對數(shù)列通項公式的考查；（3）對數(shù)列求和及其簡單應(yīng)用的考查，主、客觀 題均會出現(xiàn)，常以等差、等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的通項、求和，難度中等.熱點題型分析熱點 1 等差、等比數(shù)列的基本運算及性質(zhì)方法結(jié)論- V-1. 等差（比）數(shù)列基本運算的解題策略（1） 設(shè)基本量 ai和公差 d（公比 q）;（2） 列、解方程（組）：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 ai和 d（q）的方程（組）

2、，然后求解，注 意整體計算，以減少運算量.2. 等差（比）數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略（1） 解題關(guān)鍵： 抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系， 從這些特點入 手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解；（2）牢固掌握等差 （比） 數(shù)列的性質(zhì)， 可分為三類： 通項公式的變形； 等差（比）中項的變形；前 n 項和公式的變形.比如：等差數(shù)列中，“若 m+ n = p+ q，則 am+ an= ap+ aq（m，n，p，q N ）”；等比數(shù)列中，“若 m+ n= p + q，貝 U aman=*apaq（m，n，p，q N ）”.I【題型分析】I1.已知在公比不為 1 的等比數(shù)列an中，a2a4= 9,且 2a3為 3

3、a2和 a4的等差 中項，設(shè)數(shù)列an的前 n 項積為 Tn，則 T8=（）A.2X37- 6B . 310C.318D. 320答案 D解析由題意得 a2a4= a2= 9.設(shè)等比數(shù)列仙的公比為 q,由 2a3為 3a2和 a4的等差中項可得 4a3= 3a2+ a4, 即4a3=學(xué)+ a3q，整理得 q2-4q + 3= 0，由公比不為 1，解得 q= 3.所以 T8= a1a2a8= a8q28= （a1q16） q12=（眄2）8q12= a8q12= 94X312= 320.故選 D.2. (2019 江蘇高考)已知數(shù)列an(n N*)是等差數(shù)列，Sn是其前 n 項和.若+ a8= 0

4、, S9= 27,則 S8的值是_ .答案 169 ai：旳旳=27? ai+ a9= 6? 2a5= 6? 2ai+ 8d = 6且 a5= 3.又 a2a5+ a8= 0? 2ai+ 5d = 0,解得 ai= 5, d = 2.8x81故 SB=8ai+2d= 16.解法二：同解法一得 a5= 3.又 a2a5+ a8= 0? 3a2+ a8= 0? 2a2+ 2a5= 0? a2 3.故 S8 8ai+8X；-1d 16.15911113. 在等比數(shù)列an中，若 a7+ a8+ as+ ai0云,a8a9 8 則 a +匸+ a + 088a7a8a9ai05答案591111解析 由等

5、比數(shù)列的性質(zhì)可得，a7ai0 a8a9三，：+ 一 +一 + 8a7a8a9ai01111a7+ ai0a8+ a9a7+ a8+ a9+ ai05a7ai0a8a9a7ai0a8a9a8a93I【誤區(qū)警示】I在求解數(shù)列基本量運算中，要注意公式使用時的準確性與合理性，更要注意 運算的準確性.如第 1 題要注意整體代換思想的運用，避免繁雜的運算出錯；第 3 題易忽視等比數(shù)列性質(zhì)“若 m+ n p+ q,則 aman apaq(m, n, p, q N )”，而 導(dǎo)致計算量過大.熱點 2 求數(shù)列的通項公式方法結(jié)論V1. 已知 Sn求 an的步驟(1)先利用 ai Si求出 ai；解析 解法一：由

6、S9= 27?a5 a2d32,ai a2 d 5.用 n1 替換 Sn中的 n 得到一個新的關(guān)系，利用 an Sn Sn-1(n2)便可求 出當 n2 時 an的表達式；(3)注意檢驗 n = 1 時的表達式是否可以與 n2 的表達式合并.2由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式A A對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為7 =f(n)的數(shù)列，并且容易在求數(shù)列f(n)前 nan項的積時，采用疊乘法求數(shù)列an的通項公式；對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為 an+1二 an+ f(n)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相 加法)求其通項公式；(3)對于遞推關(guān)系式形如 an+1=pan+ q(pM0,1,0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公

7、式.【題型分析】I1.(2019 長沙雅禮中學(xué)、河南實驗中學(xué)聯(lián)考)在數(shù)列an中，a1= 2,學(xué)十二號+In i1+1，則 an等于()A.2 + nln n B. 2n+(n 1)ln nC.2 n+ nln n D. 1 + n+nln n答案 C解析 由題意得石=ln (n+ 1) ln n，n 分別用 1,2,3，(n1)取代,累加得an乎=ln n ln 1 = ln n，= 2+ ln n，： an= (ln n+2)n，故選 C.n 1n,2._ 已知數(shù)列an的前 n 項和為 S，且 a1= 1， an+1= 2Sn，則數(shù)列an的通項公 式為.解析 當 n2 時，an= 2Si-1

8、， an+1 an= 2Sn 2Sn-1= 2an,即卩 an+1=3an, 數(shù)列an的第 2 項及以后各項構(gòu)成等比數(shù)列，a2= 2a1= 2,公比為 3,:an= 2 3n 2, n2,當 n= 1 時，a1= 1,_； 1, n= 1,答案an=1, n =2 3n2,1，n2數(shù)列an的通項公式為an= 2 3n2, n2.【誤區(qū)警示】I1 利用 an= Sn Sn1求通項時，應(yīng)注意 n2 這一前提條件.第 2 題易錯解為an= 222. 利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項時，要合理轉(zhuǎn)化確定相鄰兩項之間的關(guān)系第1 題易錯點有二：一是已知條件的轉(zhuǎn)化不明確導(dǎo)致無從下手； 二是疊加法求通項公 式不熟練導(dǎo)致

9、出錯熱點 3 數(shù)列求和問題方法結(jié)論1. 分組求和的常用方法根據(jù)等差、等比數(shù)列分組；(2)根據(jù)正、負項分組，此時數(shù)列的通項式中常會有(1)等特征.2. 裂項相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差；裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多.3. 錯位相減法的關(guān)注點(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項相乘anbn型數(shù)列求和;步驟1求和時先乘以等比數(shù)列bn的公比；2把兩個和的形式錯位相減；3整理結(jié)果形式.I【題型分析】I1. 已知數(shù)列an的前 n 項和為 Sn= 2n+1+ m,且 a1, a4, a5 2 成等差數(shù)列， bn=an：十：十1，數(shù)列bn的前 n 項和為 Tn,則滿足 Tn2

10、#7 的最小正整數(shù)門的值為(A.11答案n/m+ 4，n= 1，根據(jù)春2+m可以求得 2n，n2，所以有 a1= m+ 4， a4=16，a5= 32，根據(jù) a1，a4，a5 2 成等差數(shù)列，可得 m+ 4+ 32 2 = 32，從而求得 m= 2, 所以 a1= 2 滿足 an=2,解析從而求得 an= 2n(n N*),所以 bn=an二n 4：n+1(an一 1 an+1一 1)(2 一 12 1)112 1 2 111111 11A1 所以 Tn=13+3 7+7 15+ 21 一 2n+11 =121， 令 1 2+1一 12018,整理得 2n+12019，解得 n10.2._已知

11、數(shù)列 an的前 n 項和為 Sn,且 an= n 2n,則 Sn=_.答案(n 1)2n+1+ 2解析 由 an= n 2n且 Sn= a1+ a2+ an得，Sn=1X21+2X22+3X23+ +(n1)X2n1+nX2n, 2Sn=1X22+2X23+(n1)X2n+nX2n+1.兩式相減得，Sn=21+22+23+2nnX2n+1=罟-nX2n+2n+1-2-nX2n+1 Sn=nX2n+12n+1+2=(n1)2n+1+2.I【誤區(qū)警示】I裂項相消后一般情況下剩余項是對稱的，即前面剩余的項和后面剩余的項是 對應(yīng)的第 1 題易搞錯剩余項，導(dǎo)致求和出錯第 2 題錯位相減法求和時，易出 現(xiàn)

12、以下兩種錯誤：一是兩式錯位相減時最后一項 nX2n+1沒有變號；二是對相減后 的和式的結(jié)構(gòu)認識模糊，把項數(shù)數(shù)錯.熱點 4 數(shù)列的綜合應(yīng)用方法結(jié)論1解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.2.數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(1) 數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系 時要特別注意；(2) 利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時， 應(yīng)準確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相 關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.I【題型分析】141.設(shè)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，已知a1= 5，an+1=S2018等于()5044A5048C.-04答案75047=2，二

13、S2018= 504X(a1+ a2+ a3+ a4)+ a1+ a2= 1008+ 5= .故選 B.2.已知數(shù)列an滿足 a1= 33，a.+1 a.= 2n，則號的最小值為_21答案 21解析由題意得，a2 a1= 2X1， a3 a2= 2X2， a4 a3= 2X3，an an-1= 2( n1)，將上述 n 1 個式子累加，得(a2 a1)+ (a3 a2)+ (an an-1) = 21 + 2+ (n 1)，即 an a1= n(n 1)，得 an= a1+ n(n 1)=一 n + 33，2annn+3333 .所以一=n+ 1.nnn由 f (x)0，解得 x ,33;由

14、f (x)0，解得 0 xv .33.所以函數(shù) f(x)在33,+x)上單調(diào)遞增，在(0,33)上單調(diào)遞減.2an，0wanWq，12an1，20)，貝 U f (x)= 1 33，1因為 n N*，所以當 n = 6 時，f(n)即半取得最小值，而 f(6)=冒=6+3 121 =2.所以岸的最小值為 f(6)=乎.I【誤區(qū)警示】I第 1 題易把數(shù)列的周期求錯，導(dǎo)致 S2018的值求錯.第 2 題易出現(xiàn)的錯誤有兩 個：一是在罟的表達式中，忽視 n 為正整數(shù)的特點并直接利用基本不等式 n+ * 2 33 求解最值；二是即使考慮了 n 為正整數(shù)，但把詈取最小值時的 n 值弄錯.真題自檢感悟1.

15、（2018 全國卷I）設(shè) Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和.若 3=3+S4, ai= 2,則 a5=（）A. - 12 B. - 10 C. 10 D. 12答案 B解析 設(shè)該等差數(shù)列的公差為 d,根據(jù)題中的條件可得（3X2 、4X33X 3X2+=2X2+d+4X2+d,整理解得 d= 3,所以 a5= a1+ 4d = 2 12= 10,故選 B.2. （2019 北京高考）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為 S,若 a2= 3, Ss= 10,貝 U a5=_ , sn的最小值為_ .答案 010解析a2= a1+ d= 3, S5= 5a1+ 10d= 10,二 a1= 4, d= 1，

16、 a5= a1+ 4d = 0, an= a1+ （n 1）d= n 5.令 an12an+1成立的 n 的最小值為_ .答案 27+1.所以 n 的最小值為 27.專題作業(yè)一、選擇題1. （2017 全國卷I）記 Sn為等差數(shù)列an的前 n 項和.若 a4+ a5= 24, S6= 48,則an的公差為（）A.1 B. 2 C. 4 D. 8答案 C解析設(shè)an的公差為 d,則解得 d = 4.故選 C.2. （2019 河北衡水模擬）已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,且 S = 6n,則 tana5二（）A#C. . 3 答案 C 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，S9= 6n=9 a；一-

17、 = 9a5,：a5=號1，則 tana5=tan2= . 3,故選 C.3. （2019 廣州綜合測試）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，若 a4+ a6= 10,則 a?（a1+2a3）+ a3a9的值為（ ）A.10 B. 20 C. 100 D. 200答案 C2 2 2解析 a7（a1+ 2 出）+ a3a9 a7a1+ 2a7a3+ a3a9 a4+ 2a4a6+ a6= （a4+ a6）= 100,故選 C.4. （2019 大連模擬）設(shè)等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn, 9 = 3, S4= 15,則 S等解析S26=21X門+ 41)+522X212503, a27=43,貝U12a

18、27= 516,不滿足Sn12an+1；S?7=522X(1+43+22X212546,a28= 45, 貝 12 亦=540,滿足 Sn12an由a4+ a5= 24,&=48,|：a1+ 3d + a1+ 4d = 24,得 6a1+6XX5d = 48,B. 3于()A.27 B. 31 C. 63 D. 75答案 C解析 由題意得，S4-S2, S6 S 成等比數(shù)列，所以 3,12, S6- 15 成等比 數(shù)列，所以 122= 3X(S6- 15)，解得 & = 63.5 若 S 為數(shù)列的前 n 項和，且 Sn= 2an-2,則 S 等于()A.255 B. 256 C

19、. 510 D. 511答案 C解析 當 n= 1 時，a1= Si = 2a1 2，據(jù)此可得 a1= 2，當 n2 時，Sn 2an 2， Sn-1 2an-1 2，兩式作差可得 an 2an- 2an-1，貝Uan 2an-1，據(jù)此可得數(shù)列an是首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列，笫1；2 29 2 512 2 510.1 26.設(shè) Sn是公差不為 0 的等差數(shù)列an的前 n 項和，S3 a2,且$ ,電 S4成 等比數(shù)列，貝Ua10等于()A.15 B. 19 C. 21 D. 30答案 B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,因為 S3 a2，所以 3a2 a2，解得 a2 0 或 a2 3

20、, 又因為 S1, S2 , S4構(gòu)成等比數(shù)列，所以 S2 S1S4,所以(2a2 d)2 (a2 d)(4a2+ 2d),若 a2 0,貝 U 孑-2d2,此時 d 0,不符合題意，舍去，當 a2 3 時，可得(6-d)2 (3-d)(12 + 2d),解得 d 2(d 0 舍去)，所以 a10 a2+ 8d 3+ 8X2 19.7. (2019 煙臺模擬)已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足 5 2, b 5,且an(bn+1 bn) an+1，則數(shù)列bn的前 n 項和為(+ nA.3n + 1 B. 3n 1 C. 2 答案 C解析Tb1 2, b2 5,且 an(bn+1 bn) an+1

21、,其前 8 項和為 S8D.3n2-n2a1(b2 b1) a2,即卩 a2 3a1,又數(shù)列an為等比數(shù)列，數(shù)列的公比 q= 3,且 an 0,.,an+1 c-bn+1 bn= 3 ,an 數(shù)列bn是首項為 2,公差為 3 的等差數(shù)列，數(shù)列bn的前 n 項和為2小n（n 1 小 3n + nSn=2n+2x3=2.8.（2016 四川高考）某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公 司2015 年全年投入研發(fā)資金 130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一 年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05, lg 1

22、.3 0.11，lg 20.30）A.2018 年 B . 2019 年 C. 2020 年 D. 2021 年答案 B解析 根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從 2015 年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列 an，其中，首項 a1= 130,公比 q =1 + 12%=1.12，所以 an= 130X1.12n1.由 130X1.12n1200，兩邊同時取對數(shù),lg 2 lg 1.3 lg 2 lg 1.3 0.30 0.11得 n13lg 12，又刃 lg12005= 3.8,貝 U n4.8,即 a5開始超過200,所以 2019 年投入的研發(fā)資金開始超過 20

23、0 萬元，故選 B.所以 a2=*：3, a3=*J3, a4= 0, a5= *：；3 a6= 3,故此數(shù)列的周期為 3.9.已知數(shù)列an滿足 a1= 0, an+1(n N ),則 a56等于(A. 3C/3答案 AD.32解析因為 an+1an: 3*+1嚇N)，a1= 0,所以 a56= a18x3+2= a2=3.3an+ 1的前 n 項和為（）10.在數(shù)列 an 中,12n+ + +n+1n+1n+ 11又bn=荷，則數(shù)列bnnA.q2n c- n+ 1答案 D1 2n解析由已知得 an=+n+ 1 n+ 1n+ 11n=n+1(1+2+n)=2，1 1 1 1“nn+1，所以數(shù)列

24、bn的前 n 項和為 Sn=11.(2017 全國卷I)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟 件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了 “解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活 動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項是 2,接下來的兩項是 20,21，再接下 來的三項是 20,21,22， 依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N: N100 且該數(shù)列的前 N 項和為 2 的整數(shù)幕.組，接下來的兩項為第 2 組，再接下來的三項為第 3 組, 依此類推，則第 n 組的項數(shù)為 n,前 n 組的項數(shù)和為 些.nf 1

25、+ n 由題意知，N 100,令一 2 100? n14 且門 N*，即 N 出現(xiàn)在第 13 組之后.第 n 組的各項和為豈=2n-1,前 n 組所有項的和為乍子-n =廣1-2n.設(shè) N 是第 n+ 1 組的第 k 項，若要使前 N 項和為 2 的整數(shù)幕，貝UN 丫+ 項的和即第n+ 1 組的前 k 項的和 2k 1 應(yīng)與一 2 n 互為相反數(shù)，即 2k 1 = 2+ n(krr111 111+ + +b1223 丁 34 TB-n+14n D-n+ 1從而 bn=14n , n+1 = n+1 .故選 D.那么該款軟件的激活碼是()220 D. 110B. 330 C.A.440答案解析設(shè)

26、首項為第 14anan+1n+1 二41-*29X1+29 N , n14), k= log2(n + 3)? n 最小為 29,此時 k= 5,貝UN=2+ 5= 440.故選 A.* 、，12.已知數(shù)列an中,ai= 2, n(an+1 an) = an+ 1, n N ,若對于任意的 a an+12,2, nN ,不等式 n+72t + at 1 恒成立，則實數(shù) t 的取值范圍為()A. (,2U2,+x)B. (,2U1,+x)C. (,1U2,+x)D. 2,2答案 A解析 根據(jù)題意，數(shù)列an中，n(an+1 an)= an+ 1,即 nan+1 (n+ 1 冋=1,an-1an-2a2111111n1三+2a1+a1_nn+ 1+n-1n+n 2n 1+11+2_3n+r3,2t2+at-1,即3-dr2t2+at-1對于任意的a 2,2, n N*，不等式弓 3，化為 2t2+ n+ 1at40,設(shè) f(a)_2t2+ at4, a 2,2，可得 f(2)0 且 f(2)