三角形全等的判定_經(jīng)典習題

1、三角形全等的判定本節(jié)主要通過畫兩個全等的三角形，引導學生發(fā)現(xiàn)問題：要求證兩個三角形全等需要些“邊邊邊”、“邊角邊”、“角，接著進一步引導學生思考證明什么條件，然后由學生動手操作發(fā)現(xiàn)求證兩三角形全等的條件有: 邊角”、“角角邊”以及兩直角三角形全等的“斜邊直角邊” 三角形全等的思路，幫助一些看到證明題就頭痛的學生解決問。.三角形全等的判定這是本節(jié)的重點知識，在【知識點擊】 、【典例引路】、【當堂檢測】、【基礎訓練】中設置 了相應的例題以提高解題能力。二.易錯點因為證明三角形全等的條件較多，學生很容易把“邊邊角”也用來證明三角形全等，值得注意的是，這“邊邊角”并不是三角形全等的條件。sss點擊一：

2、邊邊邊公理：三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“點擊二：邊角邊公理:有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“ SAS ”點擊三：角邊角公理:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“角邊角”或“ ASA點擊四：角角邊推論:兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“ AAS' 點擊五：直角三角形全等的條件還有“斜邊直角邊公理”:有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊直角邊”或“HL”.點擊六：全等三角形的應用：證明線段或角相等，通常先觀察要證明的線段或角分布在怎樣的兩個可能全等的三角形中，再分析這

3、兩個三角形全等已經(jīng)有什么條件，還缺少什么條 件，最后證出所缺條件。點擊七：證明三角形全等的思路由于證明三角形全等的方法較多，因此證明兩個三角形全等的思路與其他證明題目的思路有所不同，它不是先想用什么方法去證，而是先分析條件，觀察待證全等的兩個三角形中, 已經(jīng)具備了哪些條件，然后以其為基礎，觀察其他需要的條件，最后證出需要的條件。例如：易得兩邊對應相等，則應再找夾角相等 ，在（1）（2）中證出一個條件,（2）第三邊相等則可以證出三角形的全等。類型之一 :SSS已知：如圖，點 B、E、C、F在同一直線上,AB=DE、AC=DF、BE=CF。求證： ABC DEF。【解析】已知中給的條件均為線段，由

4、此可以考慮從邊邊邊公理證明，這里又需用到等量公理?！敬鸢浮孔C明:/ BE=CF BE+EC=EC+CF （等量加等量和相等）AB =DE （已知）« AC = DF （已知）BC = EF （已證）L ABC DEF （ SSS）類型之二：ASA已知：如圖，/ 1= / 2,/ ABC= / DCB。求證：AB=DC?！窘馕觥孔C明線段或角相等時，常歸結到線段或角所在的三角形的全等上，這是三角形全等判斷的一種應用。本例要證明AB=DC，以它們所在的三角形全等為證明的手段，就是這種應用的一個例子。要證AB=DC，只需證明 ABC也DCB?！敬鸢浮孔C明：/ 1= / 2, / ABC= /

5、 DCB,/ ABC -/ 1 = / DCB -/ 2/ DBC= / ACB在 ABC和 DCB中:/ ><1NABC =2rDCBBC = BCNACB =NDBC:. ABC DCB（ASA） AB=DC類型之三:AAS已知：在 ABC中，AD為BC邊上的中線,CE 丄 AD , BF 丄 AD。求證：CE=BFC問題便可解決,【解析】將CE與BF放在 CED與 BFD中，證明這兩個三角形全等,而全等條件經(jīng)過已知的轉化是可以得到的。【答案】證明:/ CE 丄 AD , BF 丄 AD/ CED= / BFD=90 ° （垂直定義）/ D為BC中點 BD=DC （線

6、段中點定義）/dec =NBFD （已證）在 DEC與 DFB中EDC =NFDB（對頂角相等）ICD = BD （已證） DEC DFB （ AAS ） CE=BF （全等三角形對應邊相等）類型之四：綜合已知：如圖，AB=DE , BC=EF , CD=FA，/ A= / D。求證：/ B= / E。【解析】要證/ B= / E,通常的思路是要證 ABC DEF，但如果連結 AC、DE就ABFDEC，于是可會破壞/ A= / D的條件。因此應當另想他法。觀察后不難發(fā)現(xiàn)：/ DEF證/ ABF= / DEC，進一步即可證明/ ABC=【答案】證明：連結 BF、CF、CE在 ABF和 DEC中A

7、B =DEFA =CD ABF DEC ( SAS)/ 1= / 2, BF=EC在 BFC和 ECF中'BF =EC* BC = EFCF =FC BFC ECF ( SSS)/ 1 + / 3= / 2+/4,即：/ ABC= / DEF說明：如果直接證明線段或角相等比較困難時，可以將線段、角擴大（或縮?。┗?qū)⒕€ 段、角分解為幾部分，再分別證明擴大（或縮?。┑牧肯嗟龋换蜃C明被分成的幾部分對應相等，這是證明線段、角相等的一個常用手段。1. 如圖兩根長度相同的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？說明你的理由.【解析】審好題目相當于做對這道

8、題的一半！所以，實際應用的題目一定要仔細審清題目，找出各個量之間的關系.“由長度相同的繩本題關鍵是要將實際生活的語言說明轉化為數(shù)學上的各個量的關系.子”可知 AB= AC而要求的是木樁 B、C與O之間的距離關系， 即求證BO= CO有了明確的已知、求證，剩下的就是純粹的全等證明了.【答案】相等.證明：由題意 AO! BC / AOB=/ AOG 90°NE 在廳和骯g中込皿 Rt AOi§ Rt AOC( HL)- BO= CO2.已知：如圖， AD為 ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F,且有BF=AC ,FD=CD，求證:BE 丄 AC?！窘馕觥勘绢}考察“ HL”

9、公理的應用。要證 BE丄AC,可證/ C+/ 1=90°，而/ 2+ / 1=90° ,只需證/ 2= / C。從而轉化為證明它們所在的 BDF與 ADC全等，而這由“ HL”公理不難得證?！敬鸢浮孔C明：AD 丄 BCBDA= / ADC=90 1 + / 2=90在 Rt BDF 和 Rt ADC 中BF =ACIFD =CD Rt BDF 也 Rt ADC ( HL )/ BEC=90 BE 丄 AC當1.已知：如圖AC=BD ,/ CAB= / DBA。求證：/ CAD= / DBC?！窘馕觥坑梢阎?，再加上一組公共邊等，可以得到ABC與 BAD全等，由性質(zhì)得對應角相等

10、，再由等量公理可得證。【答案】證明：在 ABC和 BAD中,AB =AB（公共邊） «NCAB =NDBA（已知）AC = BD （已知） ABC BAD （ SAS） / CBA= / DAB （全等三角形對應角相等）又/ CAB= / DBA （已知）/ CAB- / DAB= / DBA- / CBA （等量減等量差相等）/ CAD= / DBC。2.已知，如圖，HI / BC , JI/ AB。BIH IBJ求證:【解析】從已知尋找三角形全等的條件:由平行,可以得角等，又有一組公共邊，因此選擇用角邊角公理可證明。【答案】證明： HI / BC/ HIB= / JBI（兩直線平

11、行，內(nèi)錯角相等）/ JI / BA/ HBI= / JIB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）2HIB =NJBI(已證)在 BIH 與 BIJ 中Bl = BI (公共邊)NHBI =NJIB(已證)備目1.已知：如圖， AB=DC , AE=DF , CE=FB，求證:【解析】要證 AF=DE，可證 AFB與 DEC全等,先證 AEB與 DFC全等?！敬鸢浮孔C明： CE=FB CE+EF=FB+EF，即：CF=BE在 AEB和 DFC中:AB = CDAE = DFBE = CF AEB N DFC ( SSS)在 AFB 和 DEC 中:j AB = CDbF =CE AFB N DEC ( SA

12、S) AF=DEAF=DE。但還缺少相關角相等的條件，所以B說明：本例是一個通過兩次全等才能得到結論的題目，第一次全等的證明為第二次全等的證明創(chuàng)造必要的條件。2.已知：如圖， ABC中，D是BC的中點，/ 1 = / 2,求證：AB=AC 。1= /2; BD=CD ,全等，于是要利用角平分線來構造兩個全等的三角形。【答案】證明：作DE1AB于E, DF丄AC于F/ 1= / 2, DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F DE=DF （角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）/ D是BC的中點【解析】此題看起來簡單，其實不然。題中雖然有三個條件（/AD=AD ），但無法證明 ABD也AC

13、D。因此一定要找到別的角相等才能證明這兩個三角形 BD=CD DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F / BED=90 , / CFD=90在 Rt BDE 和 Rt CDF 中BD =CDDE =DF Rt BDE 也 RtA CDF ( HL ) BE=CF同理可證AE=AF AE+BE=AF+CF 即 AB=AC課時作業(yè):A等級1、指出下圖中的全等三角形各有幾對，分別是哪些三角形。 ABC 中，AB=AC , D 為 BC 中點，DE 丄 AB , DF 丄 AC2、指出下圖中的全等三角形各有幾對，分別是哪些三角形。OA=OB , OC=OD3、指出下圖中的全等三角形各有幾對，

14、分別是哪些三角形。 ABC 中，AB=AC，AE=AF，AD 丄 BC 于 D4、判斷)1.三個角對應相等的兩個三角形全等 )2.頂角及腰上的高相等的兩個等腰三角形全等 )3.全等三角形對應的中線相等)4.有一邊相等的兩個等腰直角三角形全等5、 ABC和 A B C '中，已知/ A= / B ，AB=B C '，增加條件可使 ABC BA B 'C A (ASA).6、A ABC中/ C=90,BC > AC , E 在 BC 上，且 BE=EA. / CAE :/ B=4 : 7,則/CEA=7、A ABC 中，/ C=90,BE為角平分線，ED丄AB于D，若

15、AE+ED=5cm,貝U AC=8、四邊形ABCD 中,邊 AB=DC , AD=BC , / B=40 °，則/ C=9、厶 ABC中，AB=AC，兩中線BE, CF交于O,則按條件所作圖形中共有.對全等三角形.10、如圖,AC丄BE,AC=CE,CB=CF，把 EFC繞點 C逆時針旋轉 90° ,E落在點上，F(xiàn)落在點上.B等級11、判斷）1.全等三角形的對應角相等，反之也成立 ）2.周長為16,一邊長為5的兩個等腰三角形全等 ）3.有兩個角及一條邊相等的兩個三角形全等 ）4.有銳角及斜邊對應相等的兩個直角三角形全等12、BP為/ ABC平分線，D在BP上，PA丄BA于A

16、 , PC丄BC于C,若/ ADP=35貝BDC=13、若 ABCA B C ,且 AB=10cm , BC=6cm,則 A C '的取值范圍為14、在 ABC和 DEF中，/ C= / D, / B= / E,要使兩三角形全等， 需增加條件（）A. AB=EDB. AB=FDC,AC=FDD. / A= / F15、下列條件能判斷 ABC DEF的是（）A. / A= / D, / C= / F, / B= / E B. / A= / D,AB+AC=DE+DFB. / A= / D, / B= / E,AC=DFD. / A= / D,AC=DF,BC=EF16、A ABC 中，/

17、 C=90 ° , AD為角平分線，BC=32 , BD : DC=9 : 7,則點D到AB的距離為（）A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm17、/ MON的邊OM上有兩點A、C, ON 上有兩點 B、D，且 OA=OB , OC=OD , AD ,BC 交于 E,則 OAD OBC,ACE BA BDE，連 OE.則OE平分/ AOB，以上結論（）A.只有一個正確B.只有一個不正確C.都正確D.都不正確18、A ABC 中，/ C=90° ,AC=BC , AD 為角平分線，DE丄AB 于 E,且 AB=6cm，則 DEB的周長為（）A.4cmB.6cmC.8

18、cmD.IOcm19、B為AC上一點，在 AC同側作等邊 EAB及等邊 DBC,那么下列式子錯誤的是A. ABD EBCB. / BDA= / BCEC. AABE N BCDD.若BE交AD于M , CE交BD于N，那么NBC MBD20、線段 OD=DC ,A在OC上，B在OD上,且 OA=OB , OC=OD , / COD=60 °，/C= 25 , AC , BC 交于E,則/ BED的度數(shù)是（A. 60°B.70C.80D.50C等級21、已知： ABC中,D、E、F分別是 AB、AC、BC 上的點，連結 DE、EF,/ ADE=/ EFC，/ AED= / A

19、CB ,DE=FC。求證： ADE BA EFC22、已知： ABC 是等邊三角形，/ GAB= / HBC= / DCA , / GBA= / HCB= / DAC。求證： ABG BA BCH CAD。23、已知：如圖/ 1 = / 2,/ 3=/ 4，求證： ABC ABD。D24、已知：AB=CD , AB / DC。求證： ABC CDA。A/ABE= / ACD。25、已知：DA 丄 AB，CA 丄 AE，AB=AE，AC=AD。求證：DE=BC。26、已知： ABC中，AB=AC , D、E分別為AB、AC的中點。求證:27、已知：如圖 AC=BD , / CAB= / DBA。

20、求證：/ CAD= / DBC。28、如圖，AB=CD , AE 丄 BC, DF 丄 BC,垂足分別為 E, F, CE=BF.求證：AB / CD .29、如圖，AE 丄 BC, DF 丄 BC , E, F 是垂足，且 AE=DF , AB=DC ,求證：/ ABC= / DCB.c30、我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等?閱讀與證明:對于這兩個三角形均為直角三角形,顯然它們?nèi)取τ谶@兩個三角形均為鈍角三角形,可證明它們?nèi)龋ㄗC明略）對于這兩個三角形均為銳角三角形,它們也全等，可證明如下:已知： ABC、 A1B1C1 均為銳

21、角三角形，AB=AiB, BC= B1C1 , / C= / Ci .證明：ABCAi BiCi.（請你將下列證明過程補充完整 ）證明：分別過點 B、Bi，作BD丄CA于D, BiDi丄& A,于D ,則/ BDC= / BiDiCi =90o.- BC= BiCi ,/ C= / Ci .BiCi D1 , BD= Bi Di .歸納與敘述:由可得到一個正確結論，請你寫出這個結論A等級答案1.3 對， ADE ADF , DBE DCF , BDA CDA2.3 對， OEC OED , ECA EDB , OEA OEB3.3 對， ABD ACD , AED AFD , ABE

22、ACF4.1.)X 2.)V 3.)V4.)X5.6.707.5cm1409.10. A、BB等級答案11.1.)x2.)x3.)x4.)V12.7.14513.4< A C'v 1614.15.16.17.18.19.20.C等級答案21.在 ADE 與 EFC 中ZADE =NEFCDE =FCNAED =nacb22.TA ABC是等邊三角形 AB=BC=CANGAB =NHBC 在 ABG 與 BCH 中AB = BCjGBA =NHCB ABG BCH (ASA )同理可證： BCH CAD ABG BCH CAD23.: L ABC 與/ 3 互補，/ ABD 與/ 4 互補，又/ 3= / 4,/ ABC= / ABD在 ABC 與 ABD21 =N2 中 4AB = ABNABC =NABD(ASA)24. V AB / CD在 ABC 與 CDA:AB = CD中 Y1 =Z2lAC =CA(SAS)25. V DA 丄AB , CA 丄 AE L DAB= / EAC