七年級(jí)數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)競(jìng)賽專題輔導(dǎo)第八講二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算(含答案)

1、第八講二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算趣題引路】甲、乙兩人同時(shí)解根式方程/7Z?+H7 = 7,抄題時(shí)，甲錯(cuò)抄成d7+H? = 7,結(jié)果解得其 根為12；乙錯(cuò)抄成«7工十斤7 = 7,結(jié)果解得其根為13.已知兩人除錯(cuò)抄外，解題過(guò)程都是正確的.4、 6、d均為整數(shù),試求、b的值.解答如下：將12 代入 Jx-a + yjx + b = 7 得 J12-“ =7-，12 + ,兩邊平方得a + b + 49 = 14，12 + b , 可知x/IIT方為非負(fù)整數(shù)，位右也為非負(fù)整數(shù)；將 產(chǎn)13代入= 7類似可得49-a + d = 14k7,得到爐口及"三均為非負(fù)整數(shù).因此12-“和13+均

2、為完全平方數(shù)且 -133sl 2,故“二 12 或 a=-4 或 心-13,因此=37 或 b=-3 或=-8.將錯(cuò)就錯(cuò)，倒求出！要求你對(duì)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算相當(dāng)熟練，下而我們將深入學(xué)習(xí)這一內(nèi)容.知識(shí)拓展】1.二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則(1) (V)2 = a(a > 0)(2)a(a > 0) <jab = y/a b(a > O.b > 0),>0./?>0)-a(u < 0)(3)(/a)" = (a > 0)2 .二次根式的化簡(jiǎn)(1)主要思路是有理化.分母有理化和分子有理化是兩種基本轉(zhuǎn)換技能.(2)復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)通常有三

3、種途徑平方法配方法待定系數(shù)法3 .二次根式的大小比較主要途徑有：平方法：求商法：有理化法：幾何作圖法等.一、二次根式的化簡(jiǎn)求值技巧二次根式的求值問(wèn)題可歸結(jié)為幾種模式:例1 ( 2001年河北省競(jìng)賽題)已知：« + = = 2 ,那么X2 +3x + V A-2 +9x + l的值等11解析：利用兩邊平方法將已知式變成x + 1 = 2,同時(shí)變換待求式，使之出現(xiàn)x 部分，整體代入求 XX值.原式解 將4+ L = 2兩邊平方并整理得X + ! = 2 .則:75 _ VTT T-TF,2.化成ax2 + bx + c = 0模式例 2 (2001 年天津競(jìng)賽題)計(jì)算.(x/3 +1)2

4、*01 -2(x/3 + )2ai0 -2(+1)1999 + 2001 =解析：前三項(xiàng)可提取公因數(shù)("+1尸血，為方便，可換元求值：解 設(shè)十二6 + 1,則尸1二逐，兩邊平方整理得x- = 0原式=/仙2x2000 - 2a-1999 + 2001= x,999(x2 -2x-2) + 2001= 20013 .化成它模式例3 (2002年北京初二競(jìng)賽題)化簡(jiǎn)啦+6+亞-6解析：設(shè)法把2 +追寫(xiě)成某個(gè)數(shù)的平方，采取添項(xiàng)拆項(xiàng)法:2 + 73=1(4 + 2>/3) = 1(>/3)2+273 + 1 = 1(>/3+1)2點(diǎn)評(píng) 本題另解：設(shè)A=yj2+小+。2-#

5、,兩邊平方，得A2=6,故A=«4 .因式分解法例4 （2002希望杯初三）化筒6 +小3 yfb y/10 + yj5解析：直接分母有理化有困難，設(shè)法將分母分解因式.解原式=（小.6+書(shū).邪）-（版.小+也心）>/3 + >/55.分母有理化：這是根式運(yùn)算的常見(jiàn)方法，而尋找有理化因式和巧妙運(yùn)用乘法公式又是分母有理化的 關(guān)鍵.例5計(jì)算：7二z+ , 1廠+ J 廠+ 一一=2VT+V2 3&+2退 4x/3+374100>/99+997100解析 不難知原式中的第&項(xiàng)是：11（k + l）fk + k Jk +1 Jk +1 /l（yJk +1 +

6、>/k）_>/rrr_4_ k + 1 y/k y/k "k + 1故本題可用裂項(xiàng)求和的方法求解.解原式=（4 - -=）+（： - -!=）+（-L - -J=）+（-yL= - 2）>/r V2 >/2 x/3>/3 # 曬 V100_ 1 _ 9飛 Vioo-io6.利用二次根式的非負(fù)性解題例6若6適合關(guān)系式 四于二2 一帆+/13T-m=斤199:7 . J199二x 一歹,試確定?的值.解析由,xT99+.vX），199-x-yX）知產(chǎn)廠199=0 , x+y=199.從而 43x + 5y - 2 - + + y）2x + 3y - m =0

7、,3x + 5y-2r=0< 2x + 3），-=0（3） X 2-得 x+y=in2A /n=x+）H-2=201.二、二次根式的大小比較1 .作商法：若則（心0, /7>0） b例7 （2002年希望杯初二）已知=噂, =土竺,竺，其中>0,那么小b,。的大小關(guān)>/2>J3 + m yf2 + mA. a>b>cB. c>a>b系是（）C. a>c>bD .b>c>a解析43(/ + 】) - = ' L 尸> l，a>bb 0也+ j).士律照3<i,C (VI+ ”3 + ?)a _

8、 VJ / + 6).拉際+,一/ a>c>b> 選 C.2 .平方法:若心歷>0,則屏>人 反之亦成立(a>Q9 b>0).例8設(shè) =/而+聞7/=W + /5甄.c = 2JiW,則“，b, C間的大小關(guān)系是解析 因?yàn)?1003+997=2000, 1001+999=2000, 2X1000=2000,所以可采用平方法.解 v r/2 =1003 + 271003x997 + 997=2000 + 27(1000 + 3)(1000-3)=2000 + 2710002 -9/72=1001 + 2,1001x999 + 999=2000 + 27(

9、1000 + 1)(1000-1)= 2000+ 211 ODO,-1c2 =4x1000 = 2000 + 2710002又J1000=9 < JlOOOl < JlOOO?，c2,而 a>09 b>Ot c>0, /. a<b<c.3 .分子有理化例9已知a = Jf7 人=而一c = Ji麗一 JI演.貝lj a, ，c的大小關(guān)系是.解析 若采用平方法很難分清它們的大小關(guān)系，此題的特征在于(VH而)2-(jf頻)2= (V1998)2 -(Viw)2 =(Vi999)2 -(>/1998)2 = 1,這就啟發(fā)我們采用分子有理化的方法，然后比

10、較分 母的大小.解：4 = >/199771= ,1 ,VFW + V1996a./Tqqr-./Tqq7- 1,一/= ,.71998 + V199771999 + 71998而而麗 + 加宛+ x/I兩 > 71兩 + 加的 a>b>c.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如a邪-和- p”的大小比較滿足(a而/ -(c>/d )2 =(/而了-(”尸，就可采用分子有理化的方法來(lái)比較.好題妙解】佳題新題品味例1設(shè)“、b、C為有理數(shù)，且等式a+b厄+ (,小=45 + 2冊(cè) 成立,則2a+999b+1001c的值是()A. 1999 B. 2000 C. 2001 D.不能確定解析先將

11、復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)，再利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)求解.W 加+ 2通="無(wú)+ /尸="+逐：.a + by/2 + cy/3 = >/2 + y/3,，4二0, = 1, c=LA 2a+999b+1001 c=0+999+1001 =2000.故選 B.例2正數(shù)】、滿? + 4x/z - 2yi -4而+ 4 = 3 ,求+乎-的值.亞+ 2« + 2002解析 將而+26視為一個(gè)整體求解，先分解因式.解原方程變形為：m + 4mn +4-2石?-4d7 = 3（/m +2疝尸-2（y/m +2而）-3 = 0（/m +-3）（/w +2布 +1） = 0A yfm +

12、2yfn =3syjm +2/n =-1 （舍去）.當(dāng)赤+ 2« = 3時(shí),原式=3-8 _ -53 + 2002 2005401例 3 計(jì)算731x30x29x28+1 .解析31, 30, 29, 28是四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，而四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積與1之和是一個(gè)完全平方數(shù).解 設(shè)尸30,原式二，（什l»（f -1）（, - 2） +1 =心"- 1）”（什1）" - 2） +1=/八 一f）（八 一f - 2） +1 = J（產(chǎn) 一/）2 2（r - +1= "-7）2= =/一 =302-30-1=869.圖8-1例4細(xì)心觀察圖8-1,認(rèn)真分析各

13、式，然后解答問(wèn)題（4）2+1 = 2 s' （舟+1 = 3S?¥（73）2+1 = 4 S與（1）請(qǐng)用含有（是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OAio的長(zhǎng);（3）求出 S/+S22+S32+S/的值.解析 本題考察歸納、類比能力.注意第個(gè)式子與式子中數(shù)字的關(guān)系，不變的數(shù)有1和分母里的2, 變的是根號(hào)下的數(shù).解（1）通過(guò)類比，可推知（而尸+1 = /? + 1 這時(shí)S/l=正"22,04=4。&=夜。43.、.。&）=回(3)+ V= i(l + 2 + 3 + . + 10) = 44中考真題欣賞例1 （2002年廣西壯族自治區(qū)桂林）觀

14、察下列分母有理化的計(jì)算:= 74-73= 75-74 ,從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算:(-p+=-= + = + +/應(yīng)+4 V3 + x/2 74 + 73/2002+V200T解析分母有理化，正負(fù)項(xiàng)相消可得.)(72002+ 1)=解原式=(點(diǎn)-VT+75 - 夜+4-/ + .+，2002-72001)“2002 + 1)= (72002-1)(72002 + 1)= 2002-1 = 2001點(diǎn)評(píng)：觀察、分析，歸納方法：拆項(xiàng)相消.例2 （武漢市2003年中考題）若從0,則口F的結(jié)果是（）A. -hyfab B. bj-ub C. -bj-ub D. bab解析 由被開(kāi)方數(shù)非

15、負(fù)及<0得"大.因此5/-加=荷二（一而=網(wǎng) ypab = -bj-ab .選 C.例3 （杭州市2003年中考題）解方程組卜E +x+y = 12解析 思考方向：將無(wú)理方程化為有理方程，兩邊平方太復(fù)雜，考慮換元.解設(shè)«75=，尸T=-，則解原方程組等價(jià)于解方程組0 + 了 = 5 p+v2=13解得3或,u2 = 3v2 =2由解得，經(jīng)檢驗(yàn)它們都是原方程組的解.例1 （2003年全國(guó)初中聯(lián)賽題）2b 2夜+等于（）A. 5-472B. 4"-1C. 5 D. 1解析 復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)，將被開(kāi)方數(shù)寫(xiě)成“2的形式解 原式=2,（點(diǎn)一 1）2 +«3

16、-回=2（衣1） + （3 - 2&） = 1 選。.例2 （2003年山東競(jìng)賽題）已知-k<0,化簡(jiǎn):+1)2 4 + (U-)2 +4 得a V a3 （2003年希望杯初二）已知對(duì)于正整數(shù)有,若某個(gè)正整數(shù)k1 _ 1 _ 1( + 1)石? + J + 1 G yJn + 滿足!十!+!+!.一=,則2V1 + 1 V? 372+24 46+34(k + T)尿+ kg 3解得k=8.11111212解析阪加化簡(jiǎn)：(1=) + (-7=-=)+ + (=.) = 即 1f =近 近石 4k 477 3 VFTT 3點(diǎn)評(píng)：從一般到特殊，吃透給定的等式是關(guān)鍵.例4 (2001年

17、希望杯初二)設(shè)4、人C均為不小于3的實(shí)數(shù)，則J+JTTT+ll-GTl的最小 值是.解析先弄清每一項(xiàng)的最小值.解：Z>3,/ a - 221, a - 2 = 1.又 23,，+124,病TT>2.,7>3,Ac-12,:.1 Jc-l | = y/c-l 1 ' y/2 1.阿+l-g121 +2+ y/2 -1 =2+ y/2，疝T+i i-HT i的最小值是2+ JT.例5 （2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）滿足等式入#+屈帚-聞而7+回而匠=2003的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析 將題中等式移項(xiàng)分解因式得，（5/+>/7+>

18、;003）（5-72003）=0 .又X、y是正整數(shù)，>fx+yJy+>j2003>0 .，歷-同6 =。，故歲=2003,因式分解是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的重要Ax=b y=2003：或x=2003, y=L故選B.點(diǎn)評(píng)因式分解是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的重要手段.過(guò)關(guān)檢測(cè)】A級(jí)1.如果 廣。24 -3+，3-2工+2,則 2x+y=.2.V2-10+1.'一而,廣百3 .方程&>4=®3T的整數(shù)解（）A.不存在B.僅有1組C.恰有2組D.至少有4組4 .化簡(jiǎn)：14+2召+“-2召.5 .求方程：J(x+y)(z+D+J(y+z)&+2) + J，z+x)(y+3

19、)(x+)，+z+2)的正實(shí)數(shù)解.1 .化簡(jiǎn)：l2L>/3+>/2-752 .(第十一屆“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)當(dāng)lWx<2時(shí)，化簡(jiǎn) gG-gE.3.已知>J+x2- J1-x2么 Vl+A-2 也-X2 =4 .計(jì)算(E產(chǎn)提5 .化簡(jiǎn)、區(qū)*十勾;Vn-6a+9 7276,設(shè)x=變工，求代數(shù)式(x+l) (x+2) (x+3) (x+4)的值. 27 .己知a、b是實(shí)數(shù)，且(加薪+。)(屈齊+力=1，問(wèn)a、b之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo).8 .設(shè)a、b、c、d為正實(shí)數(shù)，a(b , cd , bc>ad ,有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 +d-«b-af +("t)2 ,求此三角形的而積.第八講 二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算A級(jí)1. 5 提示：由 2n-3n0,3-2%N0 得穿=1. 5,y =2.2. 33 提示：耳2 -%y+y? = (% +y)2 -39，3C提示：200L=3 x23 x29,方程的解只能是%=0.3 = 2001或4二2001，y = 0兩組.4. 26 提示:平方法或配方.5. #=2,尸為z =4提示:(#八-2/Q+y)(z + l) +Q + 1) +。+*- -2/(y：z)(H+2y + (X 4-2) +(j + x