2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A解析

1、1人教版高中數(shù)學(xué)選修 2 1第二章圓錐曲線與方程三.雙曲線§ 2. 3. 1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第1課時(shí) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）教學(xué)過程.嘗試探索、形成概念【探索11 如果把橢圓定義中的“與兩定點(diǎn)距離之和”改為“與兩定點(diǎn)距離之差”，那么點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢?1. 畫圖演示實(shí)驗(yàn):2. 原理分析由于拉鏈的兩邊原來是等長(zhǎng)的，即IMFi HMF2 I+IF2F I ,所以拉開或閉攏拉鏈時(shí)，雖然M點(diǎn)在移動(dòng)，但| MFi |卻總是比| MF2 |長(zhǎng)出IF2FI這段（即2a）.所以這條曲線上的動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件是:| MFi I I MF2 戶 2a .如果使點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離減去到點(diǎn)Fi的距離所

2、得的差等于2a ,就得到另一條曲線，這條曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是IMF2 I -|MFi |=2a .這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支.3. 概括定義定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于IF1F2I） 的點(diǎn)的軌跡叫做 雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做 雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.即,|MFi|-|MF2|=2a （常數(shù)）,其中，2a；HFiF2| .說明：讀完這個(gè)定義后，你覺得定義中有哪些關(guān)鍵之處?雙曲線定義中有三個(gè)要素:前提一一平面內(nèi);條件一一與兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值為常數(shù);常數(shù)小于| FiF2 | .結(jié)論 點(diǎn)的軌跡是雙曲線.【討論】 在上述

3、定義中,當(dāng)2a =1 F1F2 1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么?當(dāng)2a >| FiF2 |時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡又是什么?二.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)【探索2】 用直接法求曲線方程的步驟是什么? 與橢圓比較，要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何建立坐標(biāo)系? 點(diǎn)M的軌跡構(gòu)成的點(diǎn)集是什么?P|MF1 I-IMF2 卜 ±2a.列方程：f（x,y） = O，即設(shè) M（X, y ），且 Fi（P, 0）、F2（c, 0 ），那么J(x+c)2 +y2 一 J(x -c)2 + y2 = ±2a .化方程f（x,y）=O為最簡(jiǎn)形式.J(x+c)2 +y2 = ±a + J(x -c)2 + y

4、2 (x+c$ 中 y2 =4a2 ±4aJ(x-c)2 + y2 (x-cf +y222l222»22l2(c -a )x -a y =(c -a 歸,令 b2 =c2-a2 (b >0 )，得2 2x y_1a b這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.【思考】在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a、b是否需要滿足條件a > b A 0 ?b、c的關(guān)系如何?在橢圓中，有a2 =b2 +c2 .那么在雙曲線中,如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為R(0, -c )、F2(O, c)，這時(shí)雙曲線的方程是什么呢?如何判斷雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)位置?說明：比

5、較這兩個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，所謂“標(biāo)準(zhǔn)”指的是：雙曲線 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.方程的特點(diǎn):左邊是兩式的平方差，右邊是 1; a、b、c 中 c 最大，c2=a2+b2 ; 焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，哪個(gè)系數(shù)為正.三.應(yīng)用1. 定義的應(yīng)用【例 11 化簡(jiǎn)方程 j（x+1）2 +y2-J（x-1）2+y2 =2，得A . X2 y2 =1 ( X <1 )B . X2 y2 =1 ( X 31 )c. 4/2 ；D .隨的大小而變化.D . y = 0 ( x>l)22=1的左、右焦點(diǎn)，P , Q為雙曲線右已知F1、F2分別是雙曲線丄-y2支上的兩點(diǎn)，直線PQ過F2，且傾斜角為a ,則

6、I P F1 I + IQF1 |-| PQ|的值為（）點(diǎn)評(píng)：雙曲線定義的雙向運(yùn)用判斷：符合定義中到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩定點(diǎn)的 距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，這是不可忽視限制條件.巧妙利用雙曲線的定 義求雙曲線的軌跡方程，可以提高解題速度，回避大量的運(yùn)算，具體步驟為:尋找關(guān)系：尋找動(dòng)點(diǎn)M與Fi，F(xiàn)2的關(guān)系;計(jì)算：IIMF2I-|MFi |=2a ；判斷：2a <| F1F2 |是否成立？并檢查是是一支，還是兩支.求值：逆向利用雙曲線的定義，即雙曲線上的任意一點(diǎn)一定滿足條件, 即一一到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于 2a .2. 標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例2 (1)【2008年高考寧夏

7、文科】2雙曲線 士 的焦距為()10D. 473已知方X22 + k k+12=1表示雙曲線,則k的取值范圍點(diǎn)評(píng)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的使用先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)位置，從而確定a2和b2的值.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)注意分類討論.【同步訓(xùn)練】1.“方程ax2+by2=c表示雙曲線”是“ ab<0 ”必要不充分條件;A .充分不必要條件;C.充要條件;既不充分又不必要條件.2 .如圖，在 ABC中，已知AB =42，且三個(gè)內(nèi)角 A、B、C滿足C的軌跡方程.2 si nA+sinC= 2siB，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)【解析】以AB為x軸，AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.x軸交點(diǎn)）.貝J A(-2運(yùn),0 ), B(272, 0 ).由2sin A + si nC =2s in B,根據(jù)正弦定理,2|CB| +1 AB| = 2|CA| ,即 |CA| |C Bf1 |ABhy=2c2 AB l點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與aW , c=2"，二 b=Jc -a2 =76 ,2 2所以，頂點(diǎn)C的軌跡方程3暑）.2 6四.小結(jié)1.知識(shí)方面：雙曲線的定義（注意條件）和標(biāo)準(zhǔn)方程（注