圓錐曲線培優(yōu)講義

1、一原點(diǎn)三角形面積公式1.2 _2已知橢圓：iQd)的離心率為寺，且過點(diǎn) 3即.若點(diǎn)M（xo,5y。)在橢圓C上，則點(diǎn)H(. 稱為點(diǎn)M的一個(gè)橢點(diǎn)”a b(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線I: y=kx+m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)，且A, B兩點(diǎn)的 橢點(diǎn)”分別為P, Q,以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，試求 AOB的面積.2.己知橢圓？+2?=1，過原點(diǎn)的兩條直線？和？分別與橢圓交于點(diǎn)?和？ ?記 ?的面積為 ？(1)設(shè)？?,？?) , ?, ?).用？ ?的坐標(biāo)表示點(diǎn)？到直線？的距1離，并證明？?= 2 ?- ?|(2) 設(shè)？?= ?： ¥，¥)(3) 設(shè)？與？的斜率

2、之積為變動(dòng)，面積？?保持不變.?,3，求?的值.求？的值，使得無論？與?如何2 23.已知橢圓C ： y爲(wèi) 10,b 02 b2的左、右兩焦點(diǎn)分別為F11,0 ,F2 1,0 ,橢圓上有一點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的AF1F2中,滿足時(shí)2 © AF2F1 召(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)B,C,D是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn),B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，設(shè)直線BC,CD,OB,OC 的斜率分別為 k1,k2,k3,k4，且 k, k?k3 k4，求 OB2 OC2 的值.4.在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)M(x, y)與兩定點(diǎn)(2,0),(2,0)，連線的斜率之積為(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的

3、方程；設(shè)點(diǎn)A(x1, y1), B(x2, y2)是軌跡C上相異的兩點(diǎn).2(I)過點(diǎn)A , B分別作拋物線y4 J3x的切線l1、I2，I1與l2兩條切線相交于點(diǎn)LUU ULUrN（亦,t），證明：NAgNB(n )若直線OA與直線OB的斜率之積為 -，證明：S AOB為定值，并求出這個(gè)定值 45.已知?、?分別是?軸和？?軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足I ?2,點(diǎn)?在線段？?h，且? ?是不為0的常數(shù))，設(shè)點(diǎn)?的軌跡方程為6.?(1) 求點(diǎn)?的軌跡方程？(2) 若曲線?為焦點(diǎn)在？?軸上的橢圓，試求實(shí)數(shù) ？?的取值范圍；(3) 若？?= 2，點(diǎn)？?, ？是曲線？?上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)?的3 坐標(biāo)

4、為(八3)，求?勺面積?的最大值.已知橢圓？的焦點(diǎn)在?軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；拋物線 ？的焦點(diǎn)在?軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).在？，？上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表格中：? 39?- 2(1) 求？?，?的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 已知定點(diǎn)？?(0, 8)，?為拋物線的切線交橢圓？于？ ？?jī)牲c(diǎn)，-24 v2-辺2?上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)？?作拋物線？?求 ?面積的最大值.?( ?為坐標(biāo)原點(diǎn))，如圖.若拋物線?:?且經(jīng)過？ ?點(diǎn).7.已知拋物線? = 4?的焦點(diǎn)為？過點(diǎn)?的直線交拋物線于? ?兩點(diǎn).(1)若？?？ 2?,?求直線？?的斜率;(2)設(shè)點(diǎn)？在線段？?2h運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)?關(guān)于點(diǎn)？的對(duì)稱點(diǎn)為？求 四邊形？?積的最小

5、值.? ?8.設(shè)橢圓？?：茹+1 (?> ?> 0)的左、右焦點(diǎn)分別是？、？?，下頂點(diǎn)為?線段？?？勺中點(diǎn)為(2)設(shè)？?(0, - 5),?為拋物線？上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)?作拋物線？的切線交橢圓？于?、?兩點(diǎn)，求 ?面積的最大值.定點(diǎn)定值問題9.動(dòng)點(diǎn)P在圓E : (X 1)2 y2 16上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)F(1,0)，線段PF的垂直平分線與直線PE的交點(diǎn)為Q.(I)求Q的軌跡T的方程;D兩點(diǎn)，且l1 l2 證明:(n)過點(diǎn)F的直線li，I2分別交軌跡E于A，B兩點(diǎn)和C，過AB和CD中點(diǎn)的直線過定點(diǎn).10.在直角坐標(biāo)系2xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是雙曲線 D ：十-的中心，拋物線C的3焦點(diǎn)與雙曲

6、線D的焦點(diǎn)相同.(I)求拋物線C的方程;C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且PA(n)若點(diǎn)P (t,1)(t 0)為拋物線C上的定點(diǎn)，A, B為拋物線丄PB，問直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由.? ?11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 ？?中，橢圓？?2+瑋=1(?> ?> 0)的離心率為 呂，直線？?與?軸交于點(diǎn)?與橢圓?交于?兩點(diǎn).當(dāng)直線？?垂3?的右焦點(diǎn)時(shí)，弦？?？勺長(zhǎng)為 竽3(2) 若點(diǎn)?的坐標(biāo)為(F，0)，點(diǎn)?在第一象限且橫坐標(biāo)為，連接 點(diǎn)?與原點(diǎn)?的直線交橢圓?于另一點(diǎn)？求 ?的面積；(3) 是否存在點(diǎn)？使得爲(wèi)+爲(wèi)為定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)?的坐 標(biāo)，并求出該定值；若不存在

7、，請(qǐng)說明理由.12. 已知橢圓事，二1的左焦點(diǎn)為F,不垂直于x軸且不過F點(diǎn)的直線I與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).(1)如果直線FA FB的斜率之和為0,則動(dòng)直線I是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.(2)如果FAXFB,原點(diǎn)到直線I的距離為d,求d的取值范圍.13.如圖，已知直線I : y kx 1(k0)關(guān)于直線y x 1對(duì)稱的直線為h，直線l,li與橢2圓E :42y1分別交于點(diǎn)A、M和A、N，記直線l1的斜率為k1.(I)求 kk1的值;(n)當(dāng)k變化時(shí)，試問直線恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由MN是否恒過定點(diǎn)?氏出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不? ?14.如圖，橢圓？?2+

8、?2 = 直線？?與橢圓相交于?1 (?>?> 0)的離心率是 Y，過點(diǎn)？?0,1)的動(dòng)?兩點(diǎn).當(dāng)直線？?平行于?軸時(shí)，直線？?被橢圓?截得的線段長(zhǎng)為2邁.(1)求橢圓?的方程;(2)在平面直角坐標(biāo)系？?中，是否存在與點(diǎn)？不同的定點(diǎn)？使得1?= I?恒成立？若存在，求出點(diǎn)?的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.? ?15.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)(2,0)，且與直線？?=-相切，其中？?> 0 .(1) 求動(dòng)圓圓心?的軌跡的方程；(2) 設(shè)?、?是軌跡?上異于原點(diǎn)？的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線？?和?的傾斜角分別為 ?和？當(dāng)？ ?變化且？?+ ?為定值？?0< ?<16.已知拋物線 ？?？=

9、 2?> 0)的準(zhǔn)線與n時(shí)，證明直線？?！過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).?, ? |?|= 3昉.?軸交于點(diǎn)？?，過點(diǎn)？做圓?(? 5)2 + ? = 9的兩條切線，切點(diǎn)為(1)求拋物線？的方程;(2)設(shè)？ ?是拋物線?上分別位于?軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且?=?9 (其中?為坐標(biāo)原點(diǎn)). 求證：直線？?必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn) ?的坐標(biāo)；? 過點(diǎn)？作？?？勺垂線與拋物線交于 ？ ?兩點(diǎn)，求四邊形 面積的最小值.Ua >A>為的右歳點(diǎn)*怔半軸與短半軸之出邯于2.巳知瀟U G召+召一求Wffl C的掾準(zhǔn)方程I過點(diǎn)的a皎d與圓匚栢玄于不同的兩點(diǎn)M.N *若點(diǎn)B在以線段MN為直fiWffl上

10、.證明gifiJ過ffi點(diǎn).井求出謹(jǐn)危點(diǎn)的坐標(biāo)，17.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)是橢圓 C:2X2y 1上一點(diǎn)，從2原點(diǎn)O向圓M: (X x0)2(y y。)2k1，k2OP、OQ的斜率分別記為(1)求證：k1k2為定值;求四邊形OPMQ面積的最大值.2作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，直線221219.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,x 已知R Xo , yo是橢圓C:241上的一點(diǎn)，從2原點(diǎn)O向圓R: x x02yo8作兩條切線，分別交橢圓于P，Q.(1 )若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP，OQ互相垂直，求圓 R的方程;(2)若直線OP，OQ的斜率存在，并記

11、為ki，k2，求ki，k2的值;(3)試問OP2中點(diǎn)弦問題20.2|OQ|是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由2 2橢圓cf殳"b 0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2近,P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A2為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn) M為線段PA2的中點(diǎn)，且直線 PA2與1直線OM的斜率之積為 -2(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)R且不與坐標(biāo)軸垂直的直線 I交橢圓C于兩點(diǎn)A,B，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N , N點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是11,0 ，求線段AB的長(zhǎng)的取4 '2 221.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過橢圓C:務(wù) 務(wù)a b1(a b 0)右焦點(diǎn)的直線0交

12、橢圓C于M,N兩點(diǎn)，P為M,N的中點(diǎn)，且直線OP的斜率為.3(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)另一直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線l的距離為逅求AOB面積的最大值.27112 222. 如圖，橢圓E:篤爲(wèi) 1(a b 0)左右頂點(diǎn)為A、B，左右焦點(diǎn)為 a bF1,F2,|AB 4j F1FJ 2J3，直線y kx m(k 0)交橢圓e于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，與線段F1F2橢圓短軸分別交于M N兩點(diǎn)(M N不重合)，且CMDN .(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線AD,BC的斜率分別為k1,k2，求一的取值范圍. k2223.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C :篤a2 y b21(a b

13、 0)的離1心率e 2，左頂點(diǎn)為A( 4,0)，過點(diǎn)A作斜率為k(k 點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.0)的直線I交橢圓C于(I)求橢圓C的方程；(n)已知P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q,對(duì)于任意的k(k 0)都有OP EQ，若存在，求出 點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在說明理由；E崔VO丿x(m)若過O點(diǎn)作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求DOJ AE|的最小值.? ?324.已知橢圓？:?2+?= 1(?> ?> 0)過點(diǎn)？?0,-1 )，且離心率？?=-.(1) 求橢圓？的方程；(2) 若橢圓？上存在點(diǎn)？?？關(guān)于直線？?= ?1對(duì)稱，求?的所有 取值構(gòu)成的集合？并證明對(duì)于？?？?勺中點(diǎn)恒在一條定直線

14、上.125. 如圖，在直角坐標(biāo)系 ?中,點(diǎn)？21遷)到拋物線 ？?？= 2?> 0)的?平分.準(zhǔn)線的距離為4.點(diǎn)？2?1)是?上的定點(diǎn)，？ ?是?上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 線段？?被直線(1) 求？ ？?的值；(2) 求?面積的最大值.26. 已知拋物線？?？=4?過其焦點(diǎn)?作兩條相互垂直且不平行于 ?軸的直 線，分別交拋物線 ?于點(diǎn)?, ?和點(diǎn)？，？?，線段?, ?的中點(diǎn) 分別記為？?,，?.(1) 求 ?!?面積的最小值；(2) 求線段？的中點(diǎn)?滿足的方程.221327.平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C :篤占 1 ( a b 0 )的離心率是 ，拋物 ab2線E : X2 2y的焦點(diǎn)F是C的

15、一個(gè)頂點(diǎn).(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)P是E上動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線I與C交于不同的兩點(diǎn) A，B， 線段AB的中點(diǎn)為D，直線0D與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn) M .(i )求證：點(diǎn) M在定直線上；(ii )直線I與y軸交于點(diǎn)G，記大值及取得最大值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).§的最S2四定比分點(diǎn)28.已知點(diǎn)E( 2,0)，點(diǎn)P是橢圓F ：(X 2)2y3 2 36上任意一點(diǎn)，線段EP的垂直平分線FP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的軌跡記為曲線 C .(I)求曲線C的方程;(n)過F的直線交曲線C于不同的A, B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知NAmAF ,NB nBF ,求m n的值.QCM本小題

16、滴分12分)r.如團(tuán)*任平面直角墜標(biāo)系中.過鞏1，0)的線 與W軸交于點(diǎn) M直線勻直線FA7垂直且與工軸交于點(diǎn)N* 丁是點(diǎn)N關(guān) 于直線的對(duì)稱點(diǎn).f )點(diǎn)T的軌跡為曲線6求iBl線C的方程£cn MffiHI E的中心在塑標(biāo)原點(diǎn)腫為S右拡點(diǎn)且離心率為話過點(diǎn)F的直線/與曲線C交于A.H1A4點(diǎn)，與橢圓交|卩&胸點(diǎn),請(qǐng)問：足育存在直 線/使是線段PE的四等分點(diǎn)？若存在.求出自線？的方程；若不存往. 請(qǐng)說明理由再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)Ni (0 , m),29.在直角坐標(biāo)系 xOy上取兩個(gè)定點(diǎn) A( V6，0) , A2 G/6，0),N2(0 , n)，且 mn 2 .(I)求直線aNi與AN

17、2交點(diǎn)M的軌跡C的方程;(n)過R(3,0)的直線與軌跡N , F為軌跡C的右焦點(diǎn),C交于P,Q,過UUU 若RPuur RQ(x軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)UUIT1)，求證：NFP作PNuuu FQ .30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓2 x C: T a2y1 a> b>0b2的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2 , P為橢圓上一點(diǎn)(在 x軸上方)，連結(jié)PFi并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn) Q，設(shè)UULTPFiUULTFQ .(1)若點(diǎn)(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e丄，匝，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.2 2五結(jié)論y2與1 a b 0經(jīng)過點(diǎn)2 , 72且離心率等于 b22點(diǎn)A , B分別

18、為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓C 上.231.已知橢圓20.已知橢圓C : x2a(1)求橢圓C的方程;是橢圓C上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，滿足0M / AP , ON II BP ,求證：三角形MON的面積是定值.32.過點(diǎn)(1,0，離心率為 .過橢圓右頂點(diǎn)？的兩條斜率乘積為-4的直 線分別交橢圓？于？?，？?jī)牲c(diǎn).(1) 求橢圓?的標(biāo)準(zhǔn)方程；?若過定點(diǎn)？求出點(diǎn)?的坐標(biāo)，若不過(2) 直線?是否過定點(diǎn) 點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.33.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi75,0UULU UULUr,F2 V5,0 ,M 是橢圓上一點(diǎn)，若 MFi MF2 0 ,(2)點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),Ai、A分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線

19、PA, PA2與直UULUUUUurMF1MF28 .(1)求橢圓的方程;(1)1534.已知拋物線X2 2py P 0的焦點(diǎn)為F，直線x 4與x軸的交點(diǎn)為P,與拋物線211相交于B,C與35.兩點(diǎn)(A，B兩點(diǎn)相鄰)，過A,D兩點(diǎn)分別作我校的切線， 兩條切線相交于點(diǎn) CDM的面積之積的最小值.? ?已知橢圓?2+ ?2= 1(?> ?> 0)，其右準(zhǔn)線 ？?與 ?軸交于點(diǎn)？橢圓的上頂點(diǎn)為 且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于點(diǎn) 過線段？?？勺中點(diǎn)?過它的右焦點(diǎn) ?直線?恰經(jīng)36.37.M,求 ABMa0(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是？、?，且?= -3，求橢圓的方程；(3)在(2)的條件下，設(shè)?是橢圓右準(zhǔn)線？?上異于?的任意一點(diǎn)， 直線？?？?？與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 ？、？求證：直線? 與？?軸交于定點(diǎn).已知點(diǎn)A( 1,0) , B(1,0)，直線AM與直線BM相交于點(diǎn) M，直線AM與直線BM的斜率分別記為kAM與kBM，且kAM kBM 2 -(I)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(n)過定點(diǎn)F(0,1)作直線PQ與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),大值？若存在，求出 OPQ面積的最大值；若不存在, 2已知一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)定圓(X