2012年浙江省高考數(shù)學(xué)(理科)試卷-附詳解

1、2012年浙江省高考數(shù)學(xué)（理科）試卷 本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共5頁，選擇題部分1至3頁，非選擇題部分4至5頁。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 請考生按規(guī)定用筆將所在試題的答案涂、寫在答題紙上。選擇題部分（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)項(xiàng)是符合題目要求的。1 設(shè)集合，集合，則A B C D【答案】B【解析】，則，故選B。2 已知是虛數(shù)單位，則A B C D【答案】D【解析】。3 設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線：

2、與直線：平行”的充要條件是，解得，或，所以是充分不必要條件。4 把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖像是【答案】A【解析】，故選A。5 設(shè)，是兩個(gè)非零向量A若，則B若，則C若，則存在實(shí)數(shù)，使得D若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】C【解析】，則，所以不垂直，A不正確，同理B也不正確；，則，所以共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，C正確；若，則，此時(shí)，所以D不正確。6 若從1，2，3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A60種 B63種 C65種 D66種【答案】D【解析】和為偶數(shù)，則4個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，都是奇

3、數(shù)或者兩個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)，則有種取法。7 設(shè)是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A若，則數(shù)列有最大項(xiàng)B若數(shù)列有最大項(xiàng)，則C若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有D若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，則存在，有，故C錯(cuò)誤。8 如圖，分別是雙曲線：的左、右兩焦點(diǎn)，是虛軸的端點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)若，則的離心率是A B C D【答案】B【解析】，則點(diǎn)坐標(biāo)。直線方程為，可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，中點(diǎn)坐標(biāo)為。依題意可得，則，即，整理可得，從而有。9 設(shè)，A若，則 B若，則C若，則 D若，則【答案】A【解析】記，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。，則有

4、。，此時(shí)無法確定大小關(guān)系，故選A。10已知矩形，將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，A存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直B存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直D對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直【答案】B【解析】故點(diǎn)作，若存在某個(gè)位置，使得，則面，從而有，計(jì)算可得，則A不正確；當(dāng)翻折到時(shí)，因?yàn)?，所以面，從而可得；若，因?yàn)椋悦?，從而可得，而，所以這樣的位置不存在，故C不正確；同理，D也不正確，故選B。非選擇題部分（共100分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11已知某三棱錐的三視圖（單位：）如圖所示，則該三棱錐的體積

5、等于 【答案】1【解析】由三視圖可知，該三棱錐的底面面積為，高為2，則。12若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值是 【答案】【解析】第一次運(yùn)行：；第二次運(yùn)行：；第三次運(yùn)行：；第四次運(yùn)行：；第五次運(yùn)行：，故輸出值為。13設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若，則 【答案】【解析】依題意可得，兩式相減可得，即，解得（舍）或或。因?yàn)椋浴?4若將函數(shù)表示為，其中，為實(shí)數(shù)，則 【答案】10【解析】，則。15在中，是的中點(diǎn)，則 【答案】-16【解析】依題意可得，。由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，則有，而，則，所以。16定義：曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線到直線的距離已知曲線：到直線：的距離等于

6、曲線：到直線：的距離，則實(shí)數(shù) 【答案】【解析】曲線：到直線：的距離為圓心到直線的距離減去半徑，即。依題意可得，且知曲線：到直線：的距離等于曲線上切線斜率為1的切線與的距離。令，可得，所以切線斜率為1的切線方程為，即，所以，解得或（舍）。17設(shè)，若時(shí)均有，則 【答案】【解析】根據(jù)圖象分析，函數(shù)和都過定點(diǎn)，要使得時(shí)均有，則當(dāng)時(shí)，保持同號，所以與的零點(diǎn)相同，即存在，使得，解得，（舍）或。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18（本題滿分14分）在中，內(nèi)角，的對邊分別為，已知，（1）求的值；（2）若，求的面積本題主要考查三角變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)

7、算求解能力。滿分14分解：（1）因?yàn)?，得又所以?）由，得于是，由及正弦定理，得設(shè)的面積為，則.19（本題滿分14分）已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從箱中任?。o放回，且每球取道的機(jī)會(huì)均等）3個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識。滿分14分。解：（1）由題意得取3,4,5,6，且，所以的分布列為3456（2）由（1）知，.20（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，且平面，分別為，的中點(diǎn)（

8、1）證明：平面；（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求二面角的平面角的余弦值本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。（1）證：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面?）解：方法一：連接交于，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。在菱形中，得又因?yàn)槠矫?，所以在直角中，得由此知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)如下，設(shè)為平面的法向量，由知，取，得設(shè)為平面的法向量，由知，取，得于是，所以二面角的平面角的余弦值為方法二：在菱形中，得又因?yàn)槠矫?，所以所以所以而，分別為，的中點(diǎn)，所以，且取線段中點(diǎn)，連接，則所以是二面角的平面

9、角由，故在中，得在直角中，得在中，得在等腰中，得所以二面角的平面角的余弦值為21（本題滿分15分）如圖，橢圓：的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分（1）求橢圓的方程；（2）求面積取最大值時(shí)直線的方程本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分解：（10設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則由題意得，得所以橢圓方程為（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)為當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的方程為，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍去。故可設(shè)直線的方程為由消去，整理得 則，所以線段的中點(diǎn)因?yàn)樵谥本€上，所以，得（舍）或此時(shí)方程為，則所以設(shè)點(diǎn)到直線距離為，則設(shè)的面積為，則其中令，所以當(dāng)且僅當(dāng)，取到最大值故當(dāng)且僅當(dāng)，取到最大值綜上，所求直線方程為：22（本題滿分14分）已知，函數(shù)（1）證明：當(dāng)時(shí)， 函數(shù)的最大值為； ；（2）若對恒成立，求的取值范圍本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。滿分14分。（1）證： 當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上單調(diào)遞