【精品】高二數(shù)學上 第八章 圓錐曲線方程： 8.4雙曲線的簡單幾何性質教案

1、84雙曲線的簡單幾何性質教學目的：1使學生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質2掌握標準方程中的幾何意義3并使學生能利用上述知識進行相關的論證、計算、作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題教學重點：雙曲線的漸近線及其得出過程教學難點：漸近線幾何意義的證明授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：本節(jié)知識是講完了雙曲線及其標準方程之后，反過來利用雙曲線的方程研究雙曲線的幾何性質 它是教學大綱要求學生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個考點 用坐標法研究幾何問題，是數(shù)學中一個很大的課題，它包含了圓錐曲線知識的眾多方面，這里對雙曲線的幾何性質的討論以及利用性質來解

2、題即是其中的一個重要部分 坐標法的教學貫穿了整個“圓錐曲線方程”一章，是學生應重點掌握的基本數(shù)學方法 運動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點在第8章知識中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進行教學 利用圖形啟發(fā)引導學生理解漸近線的幾何意義、弄通證明的關鍵；漸近線的位置、漸近線與雙曲線張口之間的關系是學生學習離心率的概念、搞懂離心率與雙曲線形狀之間的關系的關鍵；要突破第二定義得出過程這個難點本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質”，教學中也可以與其類比講解，主要應指出它們的聯(lián)系與區(qū)別 對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，我們常利用它作出雙曲線的草圖，為說明這一點，教學時可以適當補充一些例題和

3、習題 講解完雙曲線的漸近線后，要注意說明：反過來以為漸近線的雙曲線方程則是 對雙曲線離心率進行教學時要指明它的大小反映的是雙曲線的張口大小，而橢圓離心率的大小反映的是橢圓的扁平程度 同橢圓一樣，雙曲線有兩種定義，教材上以例3的教學來引出它，我們講課時要充分注意到此例題與后面的定義在教學上的邏輯關系，突出考慮學生認知心理的變化規(guī)律 本節(jié)分三個課時：第一課時主要講解雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質，并補充一道變式例題；第二課時主要內(nèi)容為離心率、教材中的例1、例2及一道變式例題；第三課時主要講解教材中的例3、雙曲線另一個定義、準線概念 教學過程：一、復習引入： 名 稱雙 曲 線定 義平面

4、內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即當22時，軌跡是雙曲線當2=2時，軌跡是兩條射線當22時，軌跡不存在標準方程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時：注：是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置常數(shù)的關 系 （符合勾股定理的結構）最大，可以 二、講解新課：1范圍、對稱性 由標準方程可得，當時，y才有實數(shù)值；對于y的任何值，x都有實數(shù)值 這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 2頂點頂點： 特殊點：實軸：長為2a

5、, a叫做半實軸長 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長講述：結合圖形，講解頂點和軸的概念，在雙曲線方程中，令y=0得，故它與x軸有兩個交點，且x軸為雙曲線的對稱軸，所以與其對稱軸的交點，稱為雙曲線的頂點(一般而言，曲線的頂點均指與其對稱軸的交點)，而對稱軸上位于兩頂點間的線段叫做雙曲線的實軸長，它的長是2a.在方程中令x=0得，這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線和Y軸沒有交點。但Y軸上的兩個特殊點，這兩個點在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b 要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸混淆 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異3漸近線過雙曲線的兩頂點，作Y軸的

6、平行線，經(jīng)過作X軸的平行線，四條直線圍成一個矩形 矩形的兩條對角線所在直線方程是（），這兩條直線就是雙曲線的漸近線 分析：要證明直線（）是雙曲線的漸近線，即要證明隨著X的增大，直線和曲線越來越靠攏 也即要證曲線上的點到直線的距離MQ越來越短，因此把問題轉化為計算MQ 但因MQ不好直接求得，因此又把問題轉化為求MN 最后強調，對圓錐曲線而言，漸近線是雙曲線具有的性質 （）4等軸雙曲線a=b即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 結合圖形說明：a=b時，雙曲線方程變成(或，它的實軸和都等于2a(2b)，這時直線圍成正方形，漸近線方程為 它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角 5共漸近線

7、的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成 6雙曲線的草圖利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線焦點在y軸的情況同學們自己研究7離心率概念：雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍：雙曲線形狀與e的關系：，因此e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊 (1)雙曲

8、線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；(2)漸近線的位置(傾斜)情況又受到其斜率制約利用計算機動畫先演示出“e的大小”與“開口的闊窄”的關系，能讓學生對此變化規(guī)律先形成直觀理解；然后再用代數(shù)方法邊板書邊推導，這樣就可化難為易，使學生對此規(guī)律有更深刻清晰的理解 這樣做將有助于實在本節(jié)的這個難點 8離心率相同的雙曲線 (1)計算雙曲線的離心率；(2)離心離為的雙曲線一定是嗎？舉例說明 如果存在很多的話，它們能否用一個特有的形式表示呢？ (3)離心率為的雙曲線有多少條？分析：的關系式，并從中發(fā)現(xiàn)只要實現(xiàn)半軸和虛半軸各與a=2,b=3有相同的比k：1(k0)的雙曲線，其離心率e都是9共軛雙曲線：以已

9、知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線 如與注意的區(qū)別：三量a,b,c中a,b不同（互換）c相同通過分析曲線發(fā)現(xiàn)二者其具有相同的漸近線 此即為共軛之意1） 性質：共用一對漸近線 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上2） 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1 3） 共用同一對漸近線的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設為，當時交點在x軸，當時焦點在y軸上 三、講解范例：例1. 求雙曲線 的實半軸長和虛半軸長,焦點坐標,離心率.解: 把方程化為標準方程得,可得:實半軸長: a=4虛半軸長: b=3半焦距: 焦點坐標: (0,-5),(0,5)離心率:例二求

10、下列雙曲線的范圍、焦點、頂點、離心率（1）（2）（3）例2.已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸,它的一個焦點F（5，0）,且離心率e 可以使方程 有相等的實根，求滿足條件的雙曲線方程例3.已知雙曲線虛軸的一個端點為M, 兩焦點分別 F1 , F2 , 且 , 則雙曲線的離心率 為(B ) ABCD（參考例題）例1 求雙曲線的頂點坐標、焦點坐標，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并作出草圖分析：只要緊扣有關概念和方法，就易解答解：把方程化為標準方程由此可知，實半軸長a1，虛半軸長b2頂點坐標是（1，0），（1，0） 焦點的坐標是(，0)，(，0)漸近線方程為，即 例2 求與雙曲線共漸近線且過的

11、雙曲線的方程分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設出雙曲線系，再把已知點代入，求得K的值即可解：設與共漸近線且過的雙曲線的方程為則 ，從而有所求雙曲線的方程為 例3求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程解：把方程化為標準方程由此可知，實半軸長a4，虛半軸長b3焦點的坐標是(0，5)，(0，5)離心率漸近線方程為，即 例4 雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高55m選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程(精確到1m) 分析：本題建立合適的坐標系是關鍵。注意到通風塔有三個特

12、殊的截口圓：上口、下口、最小的一個截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實軸，所以以最小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點建立坐標系，則雙曲線的方程具有最簡單的形式。解：如圖所示，建立直角坐標系xOy，使小圓的直徑AA在x軸上，圓心與原點重合這時，上、下口的直徑CC、BB平行于x軸，且|CC|=132(m)，|BB|=252(m)設雙曲線的方程為令點C的坐標為(13，y)，則點B的坐標為(25，y55)因為點B、C在雙曲線上，所以 且 解方程組，得 （負值舍去）代入方程，得化簡得19b2275b181500 解方程(使用計算器計算)，得b25(m)所以所求雙曲線方程為 點評

13、： 這是一個有實際意義的題目解這類題目時，首先要解決以下兩個問題：(1)選擇適當?shù)淖鴺讼担?2)將實際問題中的條件借助坐標系用數(shù)學語言表達出來四、課堂練習：1下列方程中，以x2y=0為漸近線的雙曲線方程是 答案：A 2.過點(3,0)的直線與雙曲線4x2-9y2=36只有一個公共點,則直線共有 (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條答案：C 翰3.若方程=1表示雙曲線，其中a為負常數(shù)，則k的取值范圍是( )(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-,)(-,+)翰林匯答案：B 4.中心在原點，一個焦點為(3，0)，一條漸近線方程2x-3y=0的雙曲線方程是(A) (B)

14、(C) (D)答案：A 5.與雙曲線有共同的漸近線，且一頂點為(0，9)的雙曲線的方程是（ ） (A) (B)(C) (D)答案：D 翰林匯6.一雙曲線焦點的坐標、離心率分別為(5，0)、，則它的共軛雙曲線的焦點坐標、離心率分別是 （ ） (A)(0，5)， (B)(0， (C)(0， (D)(0，答案：A 7.雙曲線2kx2-ky2=1的一焦點是F(0，4)，則k等于 ( ) (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16答案：A 1.方程mx2ny2mn=0(mn0)所表示的曲線的焦點坐標是 B (A)(0,) (B)(0,) (C)(,0) (D)(,0)翰林匯2.下

15、列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是 D (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1翰林匯3.與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點A的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是 (C )（A）8 （B）4 （C）2 （D）1翰林匯4.以為漸近線，一個焦點是F（0，2）的雙曲線方程為 ( A )（A）（B） （C）（D）翰林匯5.雙曲線kx2+4y2=4k的離心率小于2，則k的取值范圍是 ( C )（A）（-,0） （B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1)翰林匯6.已知平面內(nèi)有一固定線段AB,其長度為4，動點P滿足|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為 D (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5翰林匯7.已知雙曲線b2x2a2y2 = a2b2的兩漸近線的夾角為2，則離心率e為(C )(A)arcsin (B) (C) (D)tg28.一條直線與雙曲線兩支交點個數(shù)最多為 ( B )(