高考廣東理科數(shù)學(xué)試題及答案word解析版

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2014年廣東，理1，5分】已知集合，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故選B（2）【2014年廣東，理2，5分】已知復(fù)數(shù)滿足，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，故選A（3）【2014年廣東，理3，5分】若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為和，則（）（A）8（B）7（C）6（D）5【答案】C【解析】畫出可行域，易知在點與處目標(biāo)函數(shù)分別取得最大值，與最小值，故選C（4）【2014年廣東，理4，

2、5分】若實數(shù)滿足，則曲線與曲線的（）（A）離心率相等（B）虛半軸長相等（C）實半軸長相等（D）焦距相等【答案】D【解析】，從而兩曲線均為雙曲線，又，兩雙曲線的焦距相等，故選D（5）【2014年廣東，理5，5分】已知向量，則下列向量中與成夾角的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，即這兩向量的夾角余弦值為，從而夾角為，故選A（6）【2014年廣東，理6，5分】已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）（A）200,20（B）100,20（C）200,10（

3、D）100,10【答案】A【解析】樣本容量為，抽取的高中生近視人數(shù)為：，故選A（7）【2014年廣東，理7，5分】若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）（A）（B）（C）既不垂直也不平行（D）的位置關(guān)系不確定【答案】D【解析】平面中的四條直線，空間中的四條直線，位置關(guān)系不確定，故選D（8）【2014年廣東，理8，5分】設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）（A）60（B）90（C）120（D）130【答案】D【解析】可取，和為1的元素個數(shù)為：；和為2的元素個數(shù)為：；和為3的元素個數(shù)為：，故滿足條件的元素總的個數(shù)為，故選D二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，

4、每小題5分，滿分30分（一）必做題（913）（9）【2014年廣東，理9，5分】不等式的解集為【答案】【解析】數(shù)軸上到1與距離之和為5的數(shù)為和2，故該不等式的解集為：（10）【2014年廣東，理10，5分】曲線在點處的切線方程為【答案】【解析】，所求切線方程為，即（11）【2014年廣東，理11】，5分從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為【答案】【解析】要使6為取出的7個數(shù)中的中位數(shù)，則取出的數(shù)中必有3個不大于6，另外3個不小于6，故所求概率為（12）【2014年廣東，理12，5分】在中，角所對應(yīng)的邊分別為，已知，則【答案】2【解析】解法一

5、：由射影定理知，從而，解法二：由上弦定理得：，即，即，解法三：由余弦定理得：，即，即（13）【2014年廣東，理13，5分】若等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則【答案】50【解析】，設(shè)，則，（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）（14）【2014年廣東，理14，5分】（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線和的方程分別為和，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線和的交點的直角坐標(biāo)為【答案】【解析】即，故其直角坐標(biāo)方程為：，的直角坐標(biāo)系方程為：，與的交點的直角坐標(biāo)為（15）【2014年廣東，理15，5分】（幾何證明選講選做題）如圖3，在平行四邊形中

6、，點在上且，與交于點，則【答案】9【解析】顯然，三、解答題：本大題共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（16）【2014年廣東，理16，12分】已知函數(shù)，且（1）求的值；（2）若，求解：（1），（2）由（1）得：，（17）【2014年廣東，理17，12分】隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)（單位：件），獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率30.1250.2080.32（1）確定樣本頻率

7、分布表中和的值；（2）根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間的概率解：（1），（2）頻率分布直方圖如下所示：（3）根據(jù)頻率分布直方圖，可得工人們?nèi)占庸ち慵?shù)落在區(qū)間的概率為，設(shè)日加工零件數(shù)落在區(qū)間的人數(shù)為隨機變量，則，故4人中，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間的概率為：（18）【2014年廣東，理18，14分】如圖4，四邊形為正方形，平面，于點，交于點（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值解：（1）平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，又，平面，平面（2）解法一：過作交于，平面，平面，過作于，連則為二

8、面角的平面角，設(shè)，從而，即，還易求得，從而，易得，故，解法二：分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)，則，可得，從而，易得，取面的一個法向量為，設(shè)面的一個法向量為，利用，且，得可以是，從而二面角的余弦值為（19）【2014年廣東，理19，14分】設(shè)數(shù)列的前和為,滿足，且（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式解：（1），聯(lián)立解得，綜上，（2）當(dāng)時，并整理得：，由（1）猜想，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）由（1）知，當(dāng)時，猜想成立；（）假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，則當(dāng)時，這就是說時，猜想也成立，從而對一切，（20）【2014年廣東，理20，14分】已知橢圓的一個焦點為，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程解：（1），橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）若一切線垂直軸，則另一切線垂直于軸，則這樣的點共4個，它們的坐標(biāo)分別為，若兩切線不垂直與坐標(biāo)軸，設(shè)切線方程為，即，將之代入橢圓方程中并整理得：，依題意，即，即，兩切線相互垂直，即，顯然，這四點也滿足以上方程，點的軌跡方程為（21）【2014年廣東，理21，14分】設(shè)函數(shù)，其中（1）求函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）；（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若，求上滿足條件的的集合（用區(qū)間表示）解：（1），則或由得：，方程的解為，由得或，由得，方程的判別式，該方程的解為，由得，（2）設(shè)，則，