高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講練測(cè)——專題三 三角函數(shù) 專題復(fù)習(xí)講練 2 三角恒等變換

1、§2三角恒等變換一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)三角函數(shù)式的恒等變換是解答三角函數(shù)問(wèn)題的方法基礎(chǔ)所謂三角式的恒等變換，就是運(yùn)用有關(guān)概念和公式把給定的三角式化為另一等價(jià)形式同一式子的不同形狀，可以暴露式子的不同整體性質(zhì)，我們對(duì)式子作恒等變換的目的，就是要把我們所需的整體性質(zhì)顯現(xiàn)出來(lái) 對(duì)式子的一次變形常常不能得到所需形狀，須經(jīng)過(guò)數(shù)次變形轉(zhuǎn)化，才能達(dá)到目的如何選擇變形起步點(diǎn)?如何一步一步把給定式子轉(zhuǎn)化為所需形狀?通過(guò)對(duì)例題及訓(xùn)練題的分析，總結(jié)歸納出思維規(guī)律來(lái)，這是本節(jié)復(fù)習(xí)的重難點(diǎn)；本節(jié)復(fù)習(xí)的另一重點(diǎn)是，如何把一個(gè)三角函數(shù)問(wèn)題化歸為三角式的恒等變形問(wèn)題 三角式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，是訓(xùn)練三角恒等變換的基本

2、題型 求三角函數(shù)的最小正周期、求三角函數(shù)最值、證明三角恒等式、解證三角方程或三角不等式問(wèn)題，一般都要借助三角恒等變換而完成 聯(lián)想三角公式與基本題型，并把二者與方程、不等式觀點(diǎn)綜合運(yùn)用，這是運(yùn)用三角恒等變換解答三角函數(shù)問(wèn)題的思維關(guān)鍵 例1（1）函數(shù)22的最小正周期是（）；（2）24（2）函數(shù)y=2sinxsin2x的最大值是（）；A（6427）B（89）C2D（2）（3）若（1cos）-（1sin）=1，則sin2的值等于_. 講解：（1）本題是判定一個(gè)較復(fù)雜三角函數(shù)的最小正周期問(wèn)題聯(lián)想與此問(wèn)題有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法，想起我們會(huì)求角為的基本三角函數(shù)的最小正周期，自然產(chǎn)生這樣一個(gè)解題念頭：

3、希望運(yùn)用三角公式和概念把原函數(shù)式變形為（）（或·（）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期在這一思路指導(dǎo)下，著重觀察已知三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，朝著既定目標(biāo)方向，發(fā)現(xiàn)用倍角公式與和角公式能完成變形工作，得解法如下： 2+22212（2（6）1， （22），故選B （2）本題是一道無(wú)附加條件的最值問(wèn)題.回憶求三角函數(shù)最值的基本模型方法，想到用三角恒等變換向基本模型轉(zhuǎn)化，但轉(zhuǎn)化方向一下看不透，應(yīng)在變形過(guò)程中逐步明朗化首先想到應(yīng)用倍角公式，把原式化為y=4sinxcosx，接著思考第二步變形想法一：希望把原式化為y=Asin（x+）的形式；想法二：希望把原式化為二次函數(shù)模型這兩種轉(zhuǎn)化思維均受阻

4、以后，應(yīng)重新深入分析y=4sinxcosx的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從中找出轉(zhuǎn)化的新出路注意到y(tǒng)的最大值應(yīng)在cosx0時(shí)取得，因此：y=4sinxcosx可視為正變量的乘積，所以y與y16sinxcosx同時(shí)取得最大值；由y的表達(dá)形式與sinx+cosx=1，聯(lián)想到均值不等式，產(chǎn)生出想用均值不等式實(shí)施轉(zhuǎn)化的思維方向設(shè)法把式子變形為能用均值不等式求最值的形式構(gòu)思后，可得如下解法：當(dāng)cosx0時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)sinx=2cosx，即cosx=（13）時(shí)，等號(hào)成立故選B（3）這是一道填空題.條件為：sin與cos滿足的一個(gè)方程式；目標(biāo)為：求sin2的值由目標(biāo)首先聯(lián)想到正弦倍角公式，得sin22·cos，看

5、到了目標(biāo)與條件的內(nèi)在聯(lián)系，萌發(fā)出解題的方程觀點(diǎn)，想到由方程組（1）（1）1，求出sin2.1，細(xì)思考感覺(jué)，先求出sin與cos的方法比較繁，暫不采取轉(zhuǎn)而思考：能否對(duì)條件中的方程式實(shí)施三角恒等變換，產(chǎn)生出關(guān)于sin2的方程而求得其值朝著這一既定方向，運(yùn)用三角恒等變換和解方程的方法，便可獲得如下兩種解法：解法1（1）（1）1（1）（1）11）（2）（1）1（1cos）（2）1，即（1）2（1）10解得（1）1±又由|1（1）1，（1）1，1故22（1）解法2（1）（1）1sin12（）12（），即（sin）2（）10 解得sin1±又因1，1故222（）2（1）例2（1）計(jì)算c

6、tg10°410°的值;（2）化簡(jiǎn)2·（） 講解：（1）本題是具體角的兩個(gè)基本三角函數(shù)求差，形狀雖簡(jiǎn)單，但兩項(xiàng)角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆為含特殊角的和或差，所以既無(wú)法分別求得其值，又不能用拆分角的方法，通過(guò)展開(kāi)、抵消、合并得出結(jié)果這種情況下，一個(gè)有效的策略思想是，先設(shè)法將兩項(xiàng)分散的信息聚籠貫通，希望從中能看到“某種整體特殊性”或“內(nèi)在聯(lián)系”，在這一思想下，想到從“切化弦”并通分入手，得 10°410°（10°10°）410°（10°410°10°10°）

7、 分子中第二項(xiàng)能用倍角公式將角擴(kuò)大，出現(xiàn)一新角，得（10°220°10°） 思路1經(jīng)觀察可見(jiàn)，分子中兩項(xiàng)的角度之和恰為特殊角30°，且分母的角度與分子中第一項(xiàng)的角度均為10°，由這種關(guān)系想到拆角法：20°30°10°，得 （10°2（30°10°）10°） （10°2（12）10°（2）10°10° （10°）10° 至此求解思路已貫通整理以上分析，得出解答如下： 原式（10°10°）410

8、76;（10°220°）10°（10°2（30°10°）10°（10°2（12）10°（2）10°10°） 思路2注意到分式化簡(jiǎn)的基本思想是對(duì)分子、分母因式分解，再行約分，而10°與220°的系數(shù)不同，不便于化積，加之化為同名（80°與20°）后兩角之差的一半為30°，想到拆項(xiàng)處理： （10°220°）10°（80°20°20°）10° （250°30

9、76;20°）10°（50°70°）10°） （260°10°）10° （2）這是一道二元三角多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題從式子各項(xiàng)中含基本三角函數(shù)的名稱、冪次、角度及其組合關(guān)系看式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：第三項(xiàng)比前兩項(xiàng)角度復(fù)雜，組合關(guān)系復(fù)雜，而前兩項(xiàng)為單角正弦的平方，冪次具有特殊性由此可以產(chǎn)生出如下三個(gè)變形方向：從分解較復(fù)雜的第三項(xiàng)入手，先把和角的三角函數(shù)化為單角的三角函數(shù)，從角度和冪次方面把第三項(xiàng)向前兩項(xiàng)靠攏；從分解較復(fù)雜的第三項(xiàng)入手，先把單角化為和差角，并從角度和冪次方面把第三項(xiàng)向前兩項(xiàng)靠攏；從前兩項(xiàng)冪次的特殊性入手，先降冪，再?gòu)?/p>

10、角度方面向第三項(xiàng)靠攏 若選定第一方向，則先用和角公式展開(kāi)第三因子，得 222 看到第四項(xiàng)與前兩項(xiàng)已經(jīng)相通，拆開(kāi)第四項(xiàng)與前兩項(xiàng)分別合并，得 （1）（1）22 仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：式子整體已呈現(xiàn)出兩數(shù)和的平方展開(kāi)式的形狀，即式子的各部分用兩數(shù)和的平方公式能貫通為一個(gè)整體： （） 再用正弦和角公式，立得化簡(jiǎn)出結(jié)果： （） 整理以上變形過(guò)程，得出解法一如下：原式2（1）（1）222222（）（）若選定第二變形方向，并在變形中運(yùn)用積化和差公式，可得解法二如下：原式（）（）·（）（）（）（）（12）（22）（）（12）（121）（）1（）（） 若選定第三變形方向，并在變形中運(yùn)用和差化積公式，可得解法三

11、如下：原式1（12）（22）2（）1（）（）2（）1（）（）21（）1（）（） 例3（1）求（17°8°7°8°17°8°7°8°）的值； （2）若、是方程223的兩個(gè)實(shí)根，且（54），求的值 講解：（1）從表達(dá)式中含有7°8°和7°8°能想到什么呢?在（7°8°）的展式中將會(huì)出現(xiàn)這樣的式子!于是想到思路：15°（7°8°）（17°8°）故 原式（115°（17°8°）7

12、76;8°115°（17°8°）7°8°）（115°）（17°8°）（115°）（17°8°）（115°）（115°）（45°15°） 本題中運(yùn)用的結(jié)構(gòu)聯(lián)想的思維方法在數(shù)學(xué)解題中是十分重要的 （2）由這樣的條件想到韋達(dá)定理是很自然的：，·（12）（3）1，5，± 對(duì)嗎?注意的范圍！由此應(yīng)有 由于的確定，不難求出（1）2（也要注意由的范圍，01），（）121（21）（15）（52）又，（本題也可由后直接變形得（1）代入

13、上式） 例4設(shè)0，22（，不同時(shí)為0）證明：2（）（）0 講解：本題要證明的是一個(gè)條件等式，其條件可看成關(guān)于的兩個(gè)三角方程組成的方程組可由前式解出再代入后式得出求證不等式但不是特殊角，這樣做計(jì)算量大，不可取 若由前式分別求出和再代入后式也可以，但求、時(shí)涉及到符號(hào)問(wèn)題，這樣處理也很麻煩 運(yùn)用思維模塊對(duì)進(jìn)行變形： （）（）令 （），（），則（）0，由此得（），并求出2和2的值（22（）221）代入后式即可得求證的結(jié)論 如果聯(lián)想到2、2與的關(guān)系，可由前式求得（）（0時(shí)另證），用萬(wàn)能公式求得2、2后代入后式也可得證 三、專題訓(xùn)練 1已知78°約等于020，那么66°約等于（）A092B085C088D0952復(fù)數(shù)z=2i的模為（）A-cos2B-cos2Ccos2Dcos23函數(shù)的最小正周期是（）（4）（2）2 4設(shè)（1）（1）32，則2的值是（）（2）（23）（34）（38）5化簡(jiǎn)（2）（2）（2）（2）（）2（2），得_ 6已知、為銳角，2（3）7，61，則_