專題12~函數(shù)單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)數(shù)問題

1、本文格式為word版，下載可任意編輯專題12函數(shù)單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)數(shù)問題 方法技巧專題 12 函數(shù)單調(diào)性、極值、最值與導(dǎo)數(shù)問題 解析篇 一、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值學(xué)問框架 二、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題題型 【一】推斷函數(shù)單調(diào)性 1. 例題 【例 1 】已知函數(shù) ( )xf x ax e = - 推斷函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)性。 【解析】由題意可求， ( ) xf x a e = - 1.當(dāng)0 a 時(shí)， ( ) ( ) 0, f x f x 時(shí)，令 ( ) 0 f x ，解得 x lna , 令 ( ) 0 f x 于是 ( ) f x 在 ( ,ln a - 為增函數(shù)，在 ln ,

2、) a + 為減函數(shù)； 【例 2 】已知函數(shù)2( ) ln1af x xx+= +，其中 ar，爭論并求出 f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間 【解析】 ( )22 21 2 1( ) 1( 1) ( 1)af x x axx x x x+ = - = - + +，設(shè) g(x)x 2 ax1， x0，當(dāng) a0 時(shí)，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立， 此時(shí)函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增； 當(dāng) a0 時(shí)，222( ) 1 12 4a ag x x ax x = - + = - + - . 當(dāng) 124a0，即 0a2 時(shí)，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此時(shí)函數(shù) f

3、(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增； 當(dāng) a2 時(shí)，方程 g(x)0 的兩根分別為2 21 24 4,2 2a a a ax x- - + -= =，且 0x 1 x 2 ， 當(dāng) x(0，x 1 )時(shí)，g(x)0，f(x)0，故函數(shù) f(x)在(0，x 1 )上單調(diào)遞增； 當(dāng) x(x 1 ，x 2 )時(shí)，g(x)0，f(x)0，故函數(shù) f(x)在(x 1 ，x 2 )上單調(diào)遞減； 當(dāng) x(x 2 ，)時(shí)，g(x)0，f(x)0，故函數(shù) f(x)在(x 2 ，)上單調(diào)遞增 綜上所述， 當(dāng) a2 時(shí)，函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (0 ) ， ，沒有減區(qū)間； 當(dāng) a2 時(shí)，函數(shù) f(x)的減區(qū)間為1

4、2( ) x x ， ；增區(qū)間為(0，x 1 )，(x 2 ，) 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】 】已知函數(shù) ( )xf x e = ， ( ) ( )21 0 g x ax x a = + + .設(shè) ( )( )( )g xf xf x=，爭論函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)性； 【解析】由于2( ) 1( )( )xg x ax xf xf x e+ += = ， 所以22 1(2 1)( )x xaax xax a x af xe e- - - - + - = =， 若12a = ，2( ) 0xaxf xe-= .( ) f x 在 r 上單調(diào)遞減. 若12a ，則2 10aa- ，

5、 當(dāng) 0 x 時(shí)， ( ) 0 f x ，當(dāng)2 10axa- ， ( ) f x 在 ( ,0) - ，2 1 , aa- + 上單調(diào)遞減，在2 10,aa- 上單調(diào)遞增. 若102a ，則2 10aa- ， 當(dāng)2 1 axa- 時(shí)， ( ) 0 f x ，當(dāng)2 10axa- . ( ) f x 在2 1,aa- - ， (0, ) + 上單調(diào)遞減，在2 1 ,0 aa- 上單調(diào)遞增. 【練習(xí) 2 】已知 x ax x x ax x f + - - =2 221ln ) ( ) ( ，求 ) (x f 單調(diào)區(qū)間. 【解析】該函數(shù)定義域?yàn)?） ， （ + 0 （第一步：對(duì)數(shù)真數(shù)大于 0 求定義域

6、） 令 x ax x f ln 1 2 ) (） （ - = ，解得1 21, 12x xa= = （其次步，令導(dǎo)數(shù)等于 0，解出兩根2 1 ,xx ） （1）當(dāng) 0 a 時(shí)，(0,1), ( ) 0, ( ) x f x f x 單調(diào)增，(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x + 單調(diào)增， （第五步，x 1 在區(qū)間時(shí)，進(jìn)行比較大小，當(dāng)2 1x x = 得到21= a 第四步圖像推斷正負(fù)） 當(dāng) 1210 a 1(0, ), (1, ) ( ) 0, ( )2x x f x f xa + 單調(diào)增，1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xa 單調(diào)減 （當(dāng)2 1x x a

7、 ；第四步圖像推斷正負(fù)） 當(dāng) 121a時(shí)，即210 單調(diào)增，11, , ( ) 0, ( )2x f x f xa 得到210 單調(diào)增，(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x + 單調(diào)增 21 a1(0, ), (1, ) ( ) 0, ( )2x x f x f xa + 單調(diào)增，1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xa 單調(diào)減 210 單調(diào)增，11, , ( ) 0, ( )2x f x f xa 單調(diào)減 【二】依據(jù)單調(diào)性求參數(shù) 1. 例題 例 【例 1】 】（1）若函數(shù)2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 在區(qū)間 ( ,4 - 上是減

8、函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 . （2）函數(shù) ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - -在區(qū)間 ( ) 1, 1 k k - + 上不單調(diào)，實(shí)數(shù) k 的范圍是（ ） （3）若函數(shù)( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在區(qū)間 ( ) 3 2, 2 m m - + 內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 . （4）若函數(shù) ( )2ln f x ax x x = + - 存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 . 【解析】（1）由于函數(shù)2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 的單調(diào)減區(qū)間為 ( ,1 a - -， 又函數(shù)( ) f x

9、在區(qū)間 ( ,4 - 上是減函數(shù)，則 ( ,4 - ( ,1 a - -，則 1 4 a - ，解得： 3 a - ， （2） ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - - q ， ( ) ( )22 8xf x e x = -，令 ( ) 0 f x = ，得 2 x = . 當(dāng) 2 x 時(shí)， ( ) 0 f x ；當(dāng) 2 2 x - 時(shí)， ( ) 0 f x . 所以，函數(shù) ( ) y f x = 的極大值點(diǎn)為 2 - ，微小值點(diǎn)為 2 . 由題意可得 1 2 1 k k - - + 或 1 2 1 k k - + ，解得 3 1 k - - 或 1 3 k ，即24 5 0

10、 x x - - ，解得 1 5 x - . 二次函數(shù)24 5 y x x = - + + 的對(duì)稱軸為 2 x = . 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( ) 2,5 要使函數(shù)( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在區(qū)間 ( ) 3 2, 2 m m - + 內(nèi)單調(diào)遞增， 則 ( ) ( ) 3 2, 2 2,5 m m - + ，即3 2 22 53 2 2mmm m- + - +，解得423m ，解得 3 a - 且0 a 故選 b 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1】 】函數(shù)3 21( )3f x ax x a = - + 在 1,2 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） a 1 a b 1 a c 2 a d 2