【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形成性考核冊答案(附題目)

1、精品文檔2【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形成性考核冊答案【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)1答案:第 1 章函數(shù)第 2 章極限與連續(xù)(一) 單項(xiàng)選擇題1下列各函數(shù)對中，(C )中的兩個函數(shù)相等.分析：判斷函數(shù)相等的兩個條件(1)對應(yīng)法則相同(2)定義域相同A、f (x) = ( ,x)2二x，定義域x|x_0?；g(x)二x，定義域?yàn)?R定義域不同，所以函數(shù)不相等；B、f (xVx2* = x,g(x)=x對應(yīng)法則不同，所以函數(shù)不相等；C、f(x)=ln x3=3In x，定義域?yàn)閒x|x0?,g(x)=3lnx，定義域?yàn)椋簒|x 0?所以兩個函數(shù)相等f (x) = x 1,定義域?yàn)?R;定義域不同，所以兩函數(shù)不等。

2、故選 C2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?：)，則函數(shù)f(x) f(-x)的圖形關(guān)于(C)對稱.A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸C.y軸D.y = x分析：奇函數(shù)，f (-X)= - f(X)，關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)，f ( -x)二f (x)，關(guān)于 y 軸對稱y = f x與它的反函數(shù)y = f x關(guān)于科二x對稱，奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱設(shè)g x i；=f x f -x，則g -x二f -x f xi；= g x所以g x = f x f -x為偶函數(shù)，即圖形關(guān)于y 軸對稱故選 C3下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B)2A.y =ln(1 x )x-xa a y二“ .2.2分析：A、y：；：x = In(

3、1亠x )=1 n 1 x = y x，為偶函數(shù)B、y-x = -xcos-x = -xcosx二-y x，為奇函數(shù) 或者 x 為奇函數(shù)，cosx 為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)f 丄XA.f (x)=(、x)2,g(x)二x3C.f (x) = ln x,g(x) = 31 n xB.D.f (x) = - 0時，變量(sin xC)是無窮小量.A.B.D、y -x= In(1 -x)，非奇非偶函數(shù)故選 B4下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).A.y = x +1B.y =-x1,x c0C.y=xD.y=0的間斷點(diǎn)是sinx, x二0分析：間斷點(diǎn)即定義域不存在的點(diǎn)或不連續(xù)的點(diǎn)初等函數(shù)在其定

4、義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的分段函數(shù)主要考慮分段點(diǎn)的連續(xù)性(利用連續(xù)的充分必要條件)lim f x = lim x 1 =0 1=1xx 0不等，所以x =0為其間斷點(diǎn)lim f x = lim sinx二0X_0 - X 0一6.若lim f(x) =A，則當(dāng)x；x0時，f(x) -A稱為x；x0時的無窮小量X0分析：lim( f (x) - A) = lim f (x) - lim A = A - A = 0XfX %X毎所以f(x)-A為x X0時的無窮小量(三) 計(jì)算題1.設(shè)函數(shù)exX,求:f(-2), f(0), f(1).解：f：；*2 = -2,f 0 =0,2x T2求函數(shù)y Rg的定

5、義域.x1解得x或x：0I2x = 0分析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)limX 0 -f x lim0 f 1 = e1= e2x 1解：y =lg有意義，要求x精品文檔3在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形， 梯形的一個底邊與半圓的直徑重合， 另一底邊的兩個端點(diǎn)在半圓上， 試將 梯形的面積表示成其高的函數(shù).解：設(shè)梯形 ABCD 即為題中要求的梯形，設(shè)高為h,即 OE=h，下底 CD = 2R直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得AE = , OA2OE2二.R2-h2則上底=2AE = 2、R2h2故S =hL2R 2 . R2-h2二h R、R2- h22sin 3xlimx 10sin 2x解:lim沁=

6、limx)0sin2xx0sin3x小3x3xsin 2x小2x2xsin3x3=2=lim3x-x0sin2x2x5.求X2-1解:limx；】si n(x1)x21limlimx；1sin (x 1)6.求解:(x -1)(x1)sin(x 1)tan3x limx 10 xtan 3x sin3x limlimx )0 xX )0廠求J1 +x2-17.求limx)0sin xx/1 + x2-1解：limXTsin xX -1limx -1sin(x 1)1 1211lim沁亠x cos3x x_03x cos3x(J1 + x2_1)&1 + x2+1) =lim 0(x21

7、)sin xlim_x_ 0巴后7+1)虻丙x3=113=31=lim-x 10(i12x2x1)sin x=04.求xim(3)ximx-1e-43二ee精品文檔A.99B.-99討論f(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間. 解：分別對分段點(diǎn)X = _1,x =1處討論連續(xù)性(1)lim f x = limx -1X口 X . .1：lim f x lim x 1 - -1 1 = 0X . X _1 .所以Jim fxJim f x，即f x在x -1處不連續(xù)(2)2 2lim f x = lim x -21-21lim f x = lim x =1X 1 _X 1 -f 1 =1所以lim

8、f x=lim f x=f 1即f x在x=1處連續(xù)(1)( 2 )得f x在除點(diǎn) x =-1外均連續(xù)故f x的連續(xù)區(qū)間為一-1 U -1, v第 3 章導(dǎo)數(shù)與微分(一)單項(xiàng)選擇題1設(shè)f(0) =0且極限lirmf(X)存在，則limf(X)二(C )0XXTXA.f (0)B.f (0)C.f (x)D.0cvxf(x02h) f(x0)/、2.設(shè)f (x)在x0可導(dǎo)，則lim-(D )A.-2 f (X0)B.f (X0)C.2f (X0)D.- f (X0)3設(shè)f(x)二ex，貝lm二(A).A.eB.2e11C.eD.e249.求2x6x 8-7x -5x 4解:2lim -4x-6x

9、 8-5x 4= lim X-4x2 jimHJ4x 4 x 1J4x -14-：Td=3io.設(shè)函數(shù)f (x) = x ,x+1 ,x .11乞X乞1X：: -1【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)2答案:精品文檔x4設(shè)f(x) =x(x -1)(x一2) (x -99)，貝y f (0) =(D )精品文檔xD.-99!5下列結(jié)論中正確的是(C ).A. 若f(x)在點(diǎn)x0有極限，則在點(diǎn)x0可導(dǎo).B. 若f (x)在點(diǎn)x0連續(xù)，則在點(diǎn)x0可導(dǎo).C. 若f (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則在點(diǎn)x0有極限.D. 若f (x)在點(diǎn)Xo有極限，則在點(diǎn)Xo連續(xù).(二)填空題(三)計(jì)算題1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=(x一x 3)e

10、x3y =(x23)ex=cot x x21n x2xln x cosx 2x3xln x -x2sin x二x4sin xlnsin x x23xy2xln x x13 2 xx2e22-csc x x 2xln xIn2x x(si nx+2x| n 2)3( c os+2x) y =12sinx(2x)(Inxx)cosxyx2sin xsin x,cosxl n x3x(cosx 2x) -(sin x x2)3xln 33C.99!設(shè)函數(shù)f(x)二0,2設(shè)f(ex) =e2x 5exx = 0 x = 0d f (ln x)則dx3曲線f(x)=?x 1在(1,2)處的切線斜率是4曲

11、線f(x)5.設(shè)y12、2、2 “二、x (1)224n= sin x在(一，1)處的切線方程是42x2x(1 ln x)1=x2x，則y6.設(shè)y = xln x，則精品文檔x精品文檔2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=e1去y = In cosx3.3-SIn X2-3xcosxy = x.xx7y =；x +1 1y爲(wèi)(x x2)3(1-x2)322 xy = cos ey二-exsin(2ex)2x y y= = cosecose2 2xxy - 2xe sineny二sin xcos nxn Tny二nsinxcosxcosnxnsin xsin( nx)2sin xy y = =5y = exta

12、n x In xt anx2c o sxx-3x2tan x3精品文檔222y=2xl n 5cosx25sinx.2sin xy y 二 e e.2sin xsin 2xe2 2y = xx(x 2xln x) 2xex（ii）3.在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求ycosx = e2yy cosx - y sin x = 2e y”y si nxy石cosx 2ey = cos y In x” ” 1 y = sin y.y In xcosy. xcosyx(1 sin y In x)2xsin y二2xy -2y sin yexIn2xcosy.y 2siny2 -2yx _ x y2

13、yy (2xcosy-2sin y精品文檔222xy2cos y x2精品文檔y = x In yy丄1 yy2In x e yeyy =2yy x1x(2y-ey)2 yy二excos y y sin y.exxe sin y2y -excosyeyeyy = ex-3y2 3y2 -x二arcsi n-1 +x精品文檔2y=5x- 2yy =5x|n5 y 2yIn2”5xIn 5y廠1 -2yI n24.求下列函數(shù)的微分dy:y = cot x cscx1 cosxdy =(22)dxcos x sin xIn xsin xsin x -In xcosx dy =x2dxsin xey3

14、y2精品文檔y = sin2exdy =2sin exexeXdx =sin(2ex)eXdxy =tan ex2 x322 x3= sec e 3x dx =3x e5求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):y = x I n xy =1 = I n x 1y :Xy = xsin xy二xcosx sin xy - -xsin x 2cosxy =arctanx1_1 x22x(1 x2)2dy -1x)_(1_x)dx(1 X)21 X2X(廠X)2dx1 -X1 Xy =兩邊對數(shù)得：InIln(1 _x) -ln(1X)1313 1 -x 1x)y 1-1T-x3 1 x-丄)X 1 Xdysec2xd

15、x精品文檔2y=3X精品文檔22222y二2x3xIn3y = 4x23xln23 2ln3 3x(四)證明題設(shè)f (x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f (x)是偶函數(shù).證：因?yàn)?f(x)是奇函數(shù) 所以f(_x)二f(x)兩邊導(dǎo)數(shù)得：f (_x)(1)(x)= f(x) = f(x)所以f (X)是偶函數(shù)。【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)3答案:第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一) 單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)f (x)滿足條件(D)，則存在w (a, b)，使得f()二 一.b aA.在(a, b)內(nèi)連續(xù)B.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)C.在(a, b)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在a, b內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)2.函數(shù)f(x)=x2，4x-1的

16、單調(diào)增加區(qū)間是(D ).A.(：，2)B.(-1,1)C.(2,：)D.(-2, ：)23.函數(shù)y = x，4x5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿足(A ).A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升4函數(shù)f(x)滿足f(X)=0的點(diǎn)，一A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)5設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，xo (a, b)，若f (x)滿足(C ),則f (x)在x取到極小值.A.f(Xo)0, f (Xo)=0B.f (Xo)：0,(Xo) =0C.f(X。)=0, f(X。)0D.f(X。)=0, f(X。)：06設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)有連續(xù)的二階

17、導(dǎo)數(shù)，且(x)：0, f ”(x)：0，則f (x)在此區(qū)間內(nèi)是(A ).A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的(二) 填空題1.設(shè)f (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，x0 (a, b),且當(dāng)x：x0時(x)：0，當(dāng)x x0時f (x) 0，則x0是f (x)的極小值 點(diǎn).2若函數(shù)f (X)在點(diǎn)X0可導(dǎo)，且X0是f (X)的極值點(diǎn)，貝y f(x) = 0_3函數(shù)y = ln(1 x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(-：,0).精品文檔2X24函數(shù)f(x)=ex的單調(diào)增加區(qū)間是(0, ：)5.若函數(shù)f (x)在a , b內(nèi)恒有f (x) ”：0，貝Uf (x)在a, b

18、上的最大值是f (a).精品文檔336.函數(shù)f (x) = 2 5x -3x的拐點(diǎn)是x=0_(三)計(jì)算題1.求函數(shù)y =(x 1) (x -5)2的單調(diào)區(qū)間和極值. 令y” = (x 1)2(x 5)2=2(x -5)(x -2)22.求函數(shù)y = x -2x 3在區(qū)間0, 3內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.令:y=2x2=0=x = 1(駐點(diǎn))f (0) =3f (3) =6f(1) =2=最大值=最小值f (3) =6 f(1) =23試確定函數(shù)y=ax3bx2cx d中的a, b, c, d，使函數(shù)圖形過點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,-10)，且x - -2是駐點(diǎn)，x = 1是拐點(diǎn).44 =

19、 -8 b +4b 2x +d4求曲線y2=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2, 0)的距離最短.解:設(shè) p(x, y)是 y2=2x 上的點(diǎn)，d 為 p 到 A 點(diǎn)的距離，則:d =,(x-2)2y2二.(x-2)22x令d =2(2)22j(x _2)2+2x.y2=2x 上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn) A(2,0)的距離最短5圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大?設(shè)園柱體半徑為 R,高為 h,則體積V=恵R2hFHL2-h2)h=駐點(diǎn) x = 2,x = 5列表：極大值：f(2)=27極小值：f(5)=0X(,2)2(2,5)5(5,母)F y+極大-極小+y

20、上升27下降0上升解：b - -32 2- - -d dx1(x-2)22x=0-10 二 a b c=d0 =12a 4b c精品文檔33令：Vh/h(-2h) L2-h2 hL2-3h2 =0精品文檔6體積為 V 的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最小? 設(shè)園柱體半徑為 R,高為 h,則體積S表面積=2 二 Rh 2:R2= 2V2 二 R2R7欲做一個底為正方形，容積為62.5 立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?解：設(shè)底連長為 x，高為 h。則：262.562.5 = x h = h2x側(cè)面積為：S = x2 4xh = x2250 x250令 S =2x20二 X3=125

21、 二 X =5x答：當(dāng)?shù)走B長為 5 米，高為 2.5 米時用料最省。(四)證明題1當(dāng)x 0時，證明不等式x .In (1 x).證：由中值定理得：ln(1x) =ln(jx)n1=丄 “(.0)x(1 + X)11 + -=fTlJ_x) :：: 1 二.x In(1 x)(當(dāng) x . 0 時)x2當(dāng)x 0時，證明不等式exx 1.設(shè) f (x) =ex-(x 1)f (x) =ex-1 0(當(dāng) x 0 時)=當(dāng) x 0 時 f (x)單調(diào)上升且 f(0)=0f (x)0,即 ex(x 1)證畢【高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】形考作業(yè)4答案：不定積分定積分及其應(yīng)用-Jdf (x) = f (x)C.d f(x

22、)dx=f(x)D. 一f(x)dx = f(x) dx3若f (x)二cosx，則.f (x)dx二(B )(一)單項(xiàng)選擇題若f(x)的一個原函數(shù)是-，則xf (x)二(D).A.In XB.2x2下列等式成立的是(D1C.xD.).令：S 二-2VR4 二 R=0A. f (x)dx = f (x)B.V2二(4Vh =3時表面積最大。VJI精品文檔1.2.3.A.4.A.sinx cB.cosx cx2f (x3)dx =( B)dx323、f (x )B.x f(x )5.若f (x)dx二F (x) c，則C.C.-sin x cD.xA.F (、x) cB.2F (、x) c13f

23、(x)1 f (、.x)dx二D.1f(x3)(B)-cosx c1F(.x) c、xf (x)和y = g(x)以及兩條直線x = a和x =b所圍成的平面區(qū)域的C.F(2、x)D.6.由區(qū)間a,b上的兩條光滑曲線面積是(C ) bA.af(x)-g(x)dxbC.Jf(x) -g(x)dx(二)填空題1函數(shù)f(x)的不定積分是.f(x)dx2若函數(shù)F(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則2 23d exdx =exbB.g(x) - f(x)dxD.bjaf(x)-g(x)dxF(x)與G(x)之間有關(guān)系式F(x)-G(x)=c(常數(shù)).4(ta n x) dx二ta n x c5.若f (x)dx = cos3x c，則f (x) = -9cos(3x)3516.s(sin x )dx = 37若無窮積分.1-dx收斂，則p 0 xp(三)計(jì)算題1cos嚴(yán)dx二-cosld(l) = -sin1cxx xxXxIn