等差數(shù)列知識點總結(jié)和題型分析

1、等差數(shù)列知識點1、等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d表示d 0 an為遞增數(shù)列；d 0an為遞減數(shù)列；d0 加為常數(shù)列。例1 :判斷下列是否為等差數(shù)列(1) 2,4,6,8,ggg,2 n 1 ,2n(2) 1,1,2,3,gggn,ggg (3) a,a,a,ggga,ggg知識點2、等差中項：如果a, A, b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項 即：a 專或2A a b在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮等差數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等 差中項.例2:

2、若m和2n的等差中項是4 , 2m和n的等差中項是5,求m和n的等差中項。知識點3、等差數(shù)列的判定方法定義法：對于數(shù)列a。，若am an d (常數(shù))，則數(shù)列an是等差數(shù)列.等差中項：對于數(shù)列an ,若2an1 an an 2,則數(shù)列an是等差數(shù)列知識點4、等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列an的首項是a1 ,公差是d ,則等差數(shù)列的通項為an4(n 1)d該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。第一通項公式：an a1 n 1 d , a1為首項，d為公差回第二通項公式：an am n m d回第三通項公式： an pn q,其中d p,a1 p qrsirai：| 1、有數(shù)列的首項，與公差，可寫出通項

3、公式；j 2、有數(shù)列的任意兩項，可確定通項公式；i 3、有數(shù)列的通項公式可以求得數(shù)列中的任意一項，也可以判定某數(shù)是否為數(shù)列的項;例3:已知等差數(shù)列 an : 3,7,11,15,ggg求：(1) 135,4m 19 m N 是an中的項嗎并說明理由。及時演練：1、已知數(shù)列 5, 3, 1,1gg是等差數(shù)列，判斷 52是否為該數(shù)列的項若是，是第幾項2、(1)寫出數(shù)列8,5,2,gg的第30項；已知數(shù)列 an ,且a11,an 1 an 3 n N ，求數(shù)列的第20項3、已知an為等差數(shù)列，分別根據(jù)下列條件寫出它的通項公式(1) % 5© 13；前三項為 a,2a 1,3 a4、若an為

4、等差數(shù)列，a15 8,a60 20 ,則a75 。15 15、若等差數(shù)列的前三項依次為,1,那么這個數(shù)列的第101項等于x 1 6x xn(a an)知識點5、等差數(shù)列的前n項和:n(n 1).Sn na1- dn 12對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)，知識點6、等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項，am是等差數(shù)列的第公差為d ,則有an am (n m)d對于笠差數(shù)列an ,若namapaq也就是：a1 an a2an 1a3an特別地，若an2ap若數(shù)列是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,S2kSk, S3kS2k成等差數(shù)列如下圖所示:a1a2a3

5、Ska2ka2k 1SkS3ka3kS2k10、等差數(shù)列的前 n項和的性質(zhì)：若項數(shù)為2nn * *1且& Sw nd,S奇an2n(其中S奇na n ,T-.若項數(shù)為2n 1 nS 偶an 1及時演練：11、等差數(shù)列an中，右 a3a9一,則 a6;右 a2a3aioai48,則 a6a72o2、已知等差數(shù)列 an中，a7 a9 16, a4 1,則a12 。3、設(shè)an為等差數(shù)列，若a3 a4 a5 a6 a7 450,則a? a 。4、設(shè)an,如 都為等差數(shù)列，且a126,b175b2100 ,則a37b37 。5、已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1a5a9a13a17117 ,則a3a

6、15 。二、題型選析：題型一、計算求值（等差數(shù)列基本概念的應(yīng)用）1 、.等差數(shù)列a n的前三項依次為a-6 , 2a -5 , -3a +2 ,則a 等于（）A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在數(shù)列an中，a=2, 2an+1=2an+1,貝的值為 （）A. 49B . 50 C . 51 D . 523 .等差數(shù)列1, 1, 3,，89的項數(shù)是（）A. 92 B . 47 C . 46 D . 454、已知等差數(shù)列an中，a7 a9 16a 1,則a12的值是（）（）A 15 B 30C 31 D 645.首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

7、）>8<3C. 8<d<3 D. 8 <d<33336、.在數(shù)列an中，冉3 ,且對任意大于1的正整數(shù)n ,點（an ,70二）在直線x y 33 0上，則an =.7、在等差數(shù)列an中，a5 = 3, a6= 2,則 a4+ as +a0=.題型二、等差數(shù)列性質(zhì)1、已知 a為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5等于（）（A）42、設(shè)Sn是等差數(shù)列(B)5(C) 6(D)7an的前n項和，若S735 ,則a4A. 8 B . 7 C . 63、 右等差數(shù)列an中，a3 a?a)oD. 58,aiia4 4,則 a?4、記等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若S24

8、 , S420 ,則該數(shù)列的公差 d=A . 7 B. 6C. 3 D. 215、等差數(shù)列an中，已知a1- , a2a54 , an 33 ,則n為()3(A) 48(B) 49(C) 50(D) 516.、等差數(shù)列an中，a1=1, a3+a5=14,其前 n 項和 S=100，則 n=()(A)9(B) 10(C)11(D)127、設(shè)$是等差數(shù)列an的前n項和，若恐5,則包 () a39S5八1A . 1 B. 1 C . 2 D.28、已知等差數(shù)列a n滿足0C1+0C2+a3+101 = 0則有()A.a 1 + a 101 >0 B . a2+a100V 0C . a3+a9

9、9=0 D . a 51 = 519、如果a1，a2,，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差 d 0,則()(A)a1 %a4a5(B)a8a1a4a5(C)a1 + a8a4 + a5(D)a1a8= a4a5等差數(shù)列練習(xí)（2015春？武漢校級期中）V2+1與小：-1的等差中項是（A. 1B. - 1 C.二 D. ± 12. （2015春？雙流縣校級期中）已知an+1 - an - 3=0,則數(shù)列an是（A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列C.擺動數(shù)列 D,既等差數(shù)列又等比數(shù)列3. （2014春？蒼南縣校級期末）如果三個數(shù) 2a, 3, a-6成等差，則a的值為（A. - 1 B. 1C.

10、3D. 44. （2014春？沙坪壩區(qū)校級期中）若實數(shù) x為10和90的等差中項，則x的值為（A. 30 B. 40C. 50D. 605. （2014秋？蒼山縣期中）已知x+1是5和7的等差中項，則x的值為（A. 5B. 6 C. 8D. 96. （2014秋？閩清縣校級月考）x+1與y-1的等差中項為10,則x+y等于（A. 0B. 10C. 20 D.不確定7. （2013春?金牛區(qū)校級期中）數(shù)列an中,a產(chǎn)T, &+產(chǎn)a、-3,則a8等于（A. - 7 B. - 8 C. - 22 D. 278. （2013秋？寧遠(yuǎn)縣校級月考）已知數(shù)列a、的通項公式是a、=2n+5,則此數(shù)列是

11、（A,以7為首項，公差為2的等差數(shù)列B.以7為首項，公差為5的等差數(shù)列C,以5為首項，公差為2的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列9. （2013春？成都校級月考）已知a、=3- 2n,則數(shù)列a、為（）A.首項為3的等差數(shù)列B.公差為3的等差數(shù)列C.公差為-2的等差數(shù)列 D.公差為-2n的等差數(shù)列10. （2011?重慶二模）在等差數(shù)列a、中，a2=4, a6=12,則公差d二（A. 1B. 2 C. ± 2 D. 811. (2015?漳浦縣校級模擬)在等差數(shù)列a、中，&=5, a6=17,則a14=(A. 45B. 41C. 39D. 37A. 8B. 12C. 16 D. 241

12、2. (2015?岳陽模擬）已知等差數(shù)列a、的公差dw0,且a3=2a,則的值為（A.-B.4 n 3二C.二13. （2015?廣東模擬）等差數(shù)列a、中，a2=4, aa+a7=20,則 a8=（14. （2015?河池一模）等差數(shù)列an中，若a2+%=15- as,則a5的值為（）A 3B 4 C 5D 615. （2015?惠州模擬）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且ai=2, a2+&=13,貝U a4+as+M （A 45B 43C 40D 4216. （2015?重慶校級二模）在等差數(shù)列an中，a=1,a3+&=-14,則白。=（）A. - 16 B, - 17 C. -

13、18 D）, - 1917. （2015?懷化一模）已知an是等差數(shù)列，若2a7- a5 - 3=0,則a9的值是（）A 9B 6 C 3D 118. （2015春？金華校級期中）若數(shù)列an的通項公式是an=2 （n+1） +3,則此數(shù)列（A,是公差為2的等差數(shù)列 B.是公差為3的等差數(shù)列C,是公差為5的等差數(shù)列 D.不是等差數(shù)列19. （2015?重慶）在等差數(shù)列an中，若a2=4, a4=2,則a6=（）A. - 1 B. 0C. 1D. 620. （2015?河池一模）等差數(shù)列an中，若a2+a8=15- a5,則a5等于（）A 3B 4 C 5D 621. （2016?紅橋區(qū)模擬）在等

14、差數(shù)列an中，若a=5, a10=21,則a6等于（）A 13B 15C 17D 4822. （2015?威海模擬）已知等差數(shù)列an滿足a6+a10=20,則下列選項錯誤的是（A S15=150B a8=10 C a16=20 D a4+a12=20=題型三、等差數(shù)列前n 項和1、等差數(shù)列a中，已知a1 a2 a3 Laiop , an 9an 8 L an q ,貝U其前n項和Sn .1 八 ,一A. n 3n 4 B.22、等差數(shù)列2,1,4,的前n項和為1 -_1八r1八_n 3n7 C. n 3n4 D. n 3n72 223、已知等差數(shù)列any兩足aa2 a3 a990 ,則A. a

15、 a990 B.a1a990 C.aa990 D.a5o504、在等差數(shù)列an中，a1 a2 a315, an an 1 an 278, Sn 155,5、等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若S22,S4 10,則0等于(A. 12 B . 18 C . 24 D . 426、若等差數(shù)列共有2n 1項n N* ,且奇數(shù)項的和為44,偶數(shù)項的和為33,則項數(shù)為A. 5B. 7 C. 9 D. 117、設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若 S39, &貝U a7 a8a98、若兩個等差數(shù)列an和b.的前n項和分別是Sn,S已知STn上工，則a5等于n 3b5-21D . 一4A.B. 238

16、、等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若a21,a33,則 S4=(C) 8(D) 6an 2 (n N),貝U a1 a2a17(A) 12(B) 109、設(shè)數(shù)列 an的首項a17,且滿足an 110、已知a n為等差數(shù)列，a3 + a 8 = 22 , a6 = 7，貝U a5 =11、已知數(shù)列的通項 an= -5 n+2,則其前n項和為Sn=.12、設(shè)Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，S4 = 14, S10 S730,則S9=題型四、等差數(shù)列綜合題精選1、等差數(shù)列an的前n項和記為9.已知a10 30,a20 50.(I)求通項 an ；( n )若 9=242,求 n.2、已知數(shù)列an是一

17、個等差數(shù)列，且 a2 1, a5(1)求an的通項an; (2)求an前n項和Sn的最大值。3、設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S7 7,ScS15 75, Tn為數(shù)列的刖n項和，求Tn。n4、已知an是等差數(shù)列，a12,a318；bn也是等差數(shù)列，a2b24,b1b2b3b4a1a2a3。(1)求數(shù)列bn的通項公式及前n項和Sn的公式；(2)數(shù)列an與bn是否有相同的項 若有，在100以內(nèi)有幾個相同項若沒有，請說明理由。5、設(shè)等差數(shù)列an的首項a及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn.(I )若an=0, $4=98,求數(shù)列 an的通項公式；(11)若21>6, an>

18、0, S14< 77,求所有可能的數(shù)列an的通項公式6、已知二次函數(shù)y f (x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x) 6x 2 ,數(shù)列an的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n N )均在函數(shù)y f(x)的圖像上。(I )求數(shù)列%的通項公式；(n )設(shè)bn 一,Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn 6對所有n N都成立的最小正整數(shù) m；anan 120五、等差數(shù)列習(xí)題精選1、等差數(shù)列an的前三項依次為x, 2x 1, 4x 2,則它的第5項為（A、5x 5 B 、2x 1 C 、52、設(shè)等差數(shù)列4中，a4 5,a9 17,則ad的值等于A、11 B 、22 C、29、123、

19、設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a3則 aia2a13()A. 12090754、若等差數(shù)列%的公差d 0,(A)a2a6a3a5(B)a2a6 a3a5(Qa2a6a3a5(D)a2a6與a3a5的大小不確定5、已知an滿足，對一切自然數(shù)n均有an 1且 ann2n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（A. 06、等差數(shù)列（A） 3（B）an 中，a12(C)1,公差d0,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則7、在等差數(shù)列an中,ap q,aq2(D) 2p(p q),則 aA、 p q(p q)pq8、設(shè)數(shù)列anA、1 B是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項和為9、已知心）A. -1為等差數(shù)列,a3 a5 10

20、5島 a412,前三項的積為48,則它的首項是、8a6 99,則 a20 等于（）10、已知aB. 1n為等差數(shù)列，且A.-2 B.11、在等差數(shù)列an中,C. 3a72a4 = 1, a3 = 0,則公差 d =C. 12a8 4,則其前9項的和S9等于A. 18B 27C 3612、設(shè)等差數(shù)列 的前n項和為Sn,若& 9 , & 36 ,則a7 a8 a9A. 63B.45 C .36 D . 2713、在等差數(shù)列an中，a1a2a315,anan 1an 2 78, Sn 155,貝 U n 。14、數(shù)列an是等差數(shù)列，它的前n項和可以表示為(.)A. SnAn2 Bn

21、CB.Sn An2 BnC. Sn An2 Bn C a 0 D. Sn An2 Bn a 0小結(jié)1、等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且A 二22、為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a 2d,a d,a,a d,a 2d （公差為d）;偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a 3d, a d,a d,a 3d ,（公差為2d）3、當(dāng)公差d 0時，等差數(shù)列的通項公式an a1 （n 1）d dn為d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為 公差d；若公差d 0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d 0,則為遞減等差數(shù)列，若公差d 0,則為常數(shù) 列。4、當(dāng)m n p q時，則有am

22、 an ap aq ,特別地，當(dāng)m n 2 P時，則有am an 2ap.5、若儲口、bn是等差數(shù)列，則kan、kanpbn（ k、p 是非零常數(shù)）、apnq（p, qN*）、Sn,S2nSn,S3n&n,也成等差數(shù)列，而aan成等比數(shù)歹I；等差數(shù)列參考答案題型一：計算求值題號1234567答案BDCAD3n2-49題號891011121314答案C15315-(5n 2+n)/254題型二、等差數(shù)列的性質(zhì)1、C 2、D34、C 5 、C6、12 (a3+a7-a 10+aii-a 4=8+4=37=12)、B 7 、A 8 、C 9 、B10、A題型三、等差數(shù)列前n項和1、5n(p+

23、q) 2、B 3、C 4、n=10 5、246、S 奇/S =n/n-1=4/3, n=47、458、D (a5/b5=S/T9)題型四：等差數(shù)列綜合題精選1、解：(I)由 ana1 (n 1)d ,a1030, a20 50,得方程組a19da119d30,50.4分解得a112,d2.所以an 2n 10.(n)由Snnain(n 1)d, Sn 242 得萬程22、解:3、解:4、解:12n(I)設(shè)n(n 1) 2242.10分解得n11或n22(舍去).an解出a1的公差為d ,由已知條件,所以7a115a1解得na1S7 21d4d3, d n(n2 .所以工2.n 4n22時，Sn

24、取到最大值4 .an的公差為7,S15105dSn 1n 175,Sna1Tn1n24(n(nna11)d2n7,75,2,a1a13d7d1,5, Snna1Snn數(shù)列Sn是等差數(shù)列,其首項為2,公差為(1)設(shè)an的公差為d1, bn的公差為d2由 a3=a1+2d1 得d1a3所以an 28(n 1)8n6,所以a2=10, a 1+a2+a3=30依題意，得n(b1S n 2b1bn)(2)設(shè) an=bm,則 8n-6=3m,m+2=8k,代入得，所以，數(shù)列d2423d2解得303 n.2N ,所以 m=8k-2 ,b1 3,所以 bn=3+3(n-1)=3nd2 3要是式對非零自然數(shù) m n成立，只需n=3k, k N ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,對一切 k N 都成立。an與bn有無數(shù)個相同的項?！耙?53令 24k-6<100，得 k 一，又 k12N ,所以k=1,2,3