八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段的垂直平分線知識(shí)點(diǎn)與同步訓(xùn)練(含解析)(新版)蘇科版

1、線段的垂直平分線姦知識(shí)精講2.1 垂直平分線的概念和性質(zhì)垂直平分線的概念： 定義 1:經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這 條線段的垂直平分線(中垂線)定義 2：中垂線可以看成到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合，中垂線是線段的一條 對(duì)稱(chēng)軸。垂直平分線的性質(zhì)1. 垂直平分線垂直且平分其所在線段2. 垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等22垂直平分線的判定在同一平面內(nèi)，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.2.3 與垂直平分線有關(guān)的作圖問(wèn)題作法：如圖1(1)分別以點(diǎn)A B為圓心，以大于-AB 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于 C D 兩點(diǎn);2(2)作直線 CD CD

2、為所求直線/C八A - * B八D重難點(diǎn)：垂直平分線的性質(zhì)和判定，垂直平分線的畫(huà)法 考點(diǎn)：垂直平分線的性質(zhì)和判定，垂直平分線的畫(huà)法 易錯(cuò)點(diǎn)：垂直平分線的畫(huà)法和角平分線的畫(huà)法進(jìn)行區(qū)分垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)射線和直線可以無(wú)限延長(zhǎng)有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線。2題模精講題模一：垂直平分線的概念和性質(zhì)例 2.1.1 如圖， ABC 中，AC=8, BC=5, AB 的垂直平分線 DE 交 AB 于點(diǎn) D,交邊 AC 于點(diǎn)丘，則厶BCE 的周長(zhǎng)為 _ .【答案】13【解析】/ DE 是 AB 的垂直平分線， EA=EB貝 U BCE 的周長(zhǎng)=BC+EC+EB=

3、BC+EC+EA=BC+AC=13例 2.1.2 如圖，在 ABC 中，BC 邊上的垂直平分線 DE 交邊 BC 于點(diǎn) D,交邊 AB 于點(diǎn) E.若 EDC 的周長(zhǎng)為 24 , ABC 與四邊形 AEDC 勺周長(zhǎng)之差為 12,則線段 DE 的長(zhǎng)為B DC【答案】6【解析】/ DE 是 BC 邊上的垂直平分線， BE=CE/ EDC 的周長(zhǎng)為 24, ED+DC+EC=24 ABC 與四邊形 AEDC 勺周長(zhǎng)之差為 12, ( AB+AC+BC -( AE+ED+DC+AC= (AB+AC+BC -( AE+DC+A) - DE=12, BE+BD- DE=12 / BE=CE BD=DC-得，

4、DE=6例 2.1.3 如圖，等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC / A=30, AB 的垂直平分線交 AC 于 D, 則/ CBD的度數(shù)為.3【解析】 此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；利用三角形外角的性質(zhì)求得求得/ BDC=60 是解答本題的關(guān)鍵. 本題的解法很多，用底角 75 -30更簡(jiǎn)單些. 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出/C,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，推得/ A=ZABD=30 , 由外角的性質(zhì)求出/ BDC的度數(shù)，從而得出/ CBD=45 ./ AB=AC/ A=30,/ABCMACB=75,/ AB 的垂直平分線交 AC 于 D, AD=BD/A=MAB

5、D=30,/BDC=60 ,/ CBD=180 -75 -60 =45.故填 45.例 2.1.4 已知 ABC / BAC=110 , DE FG 分別是 AB, AC 的垂直平分線且 DE 交 BC 于 M 點(diǎn)，F(xiàn)G 交BC 于 N 點(diǎn)，求/ MAN 勺度數(shù)?！敬鸢浮恳?jiàn)解析【解析】設(shè)/ B=x,MC=y./BAC+MB+MC=180, 110+MB+MC=180, x+y=70 . AB、AC 的垂直平分線分別交 BA 于 E 交 AC 于 G DA=BD FA=FCMEAD 玄 B,MFAC 玄 C.MDAF=/ BAC-(x+y)=110-70=40.4(2)TAB AC 的垂直平分線

6、分別交 BA 于 E、交 AC 于 G DA=BD FA=FC DAF 的周長(zhǎng)為：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10m)5題模二：垂直平分線的判定例 221如圖，已知 AC=AD BC=BD 貝 9()AiD1ABA.CD 平分/ ACBB.CD 垂直平分 ABC.AB 垂直平分CDD.CD 與 AB 互相垂直平分【答案】C【解析】M D 觀也A C,B 所以可推出AD A A C A,O 可推出 0 C= O D/ AOC 二/ AOD =90 .題模三：與垂直平分線有關(guān)的作圖問(wèn)題所以直線 PQ 就是所求的垂線. 請(qǐng)回答：該作圖的依據(jù)是R1AB /IL【答案】 到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距

7、離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上(A、B 都在線段 PQ 的垂直平分線上)，理由：如圖， PA=AQ PB=PB點(diǎn) A、點(diǎn) B 在線段 PQ 的垂直平分線上,直線 AB 垂直平分線段 PQ PQ! AB.例 2.3.1已知 求作 作法(1)(2)(3)直線直線如圖F面是“經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過(guò)程:I 和 I 外一點(diǎn) P.(如圖 1)I 的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn) P.2在直線 I 上任取兩點(diǎn) A, B;分別以點(diǎn) A, B 為圓心，AP, BP 長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn) 作直線 PQQ;36* 1*【解析】 到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上（A、B 都在線段 P

8、Q 的垂直平分線上），理由：如圖， PA=AQ PB=PB點(diǎn) A、點(diǎn) B 在線段 PQ 的垂直平分線上，直線 AB 垂直平分線段 PQ PQ! AB.S2例 232 閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明. 已知：線段 AB,要作線段 AB 的垂直平分線.1作法：（1）分別以 A B 為圓心，大于 丄AB的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C D;2（2）作直線 CD 直線 CD 即為所求作的線段 AB 的垂直平分線. 根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明.已知：如圖，連接 AC BC AD BD, AC=AD _ =_【答案】 BC BD;證明見(jiàn)解析【解析】 本題考察的是尺規(guī)作圖.由以

9、上做法知 AC 二 AD 二 BC 二 BD設(shè) CD AB 交于 E,那么 ACDABCD從而.ACE 二.BCE，再由 AC 二 BC、CE 二 CE，那么 ACEABCE7從而AE二BE且 CE _ AB 即 CD _ AB .這就證明了 E 是線段 AB 的中垂線.例 233 有公路 li同側(cè)、l2異側(cè)的兩個(gè)城鎮(zhèn) A, B,如下圖.電信部門(mén)要修建一座信號(hào)發(fā) 射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A, B 的距離必須相等，到兩條公路 l1, 12的距離也必須相等，發(fā)射塔 C 應(yīng)修建在什么位置？請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置.（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出畫(huà)法）【答案】見(jiàn)解析【解

10、析】作圖如下： C,C就是所求的位置豳隨堂練習(xí)隨練 2.1 如圖，在 Rt ABC 中，/ B=90, ED 是 AC 的垂直平分線，交 AC 于點(diǎn) D,交 BC 于點(diǎn) E.已知/ BAE=1O，則/ C 的度數(shù)為（ ）8【答案】 5【解析】 由題意直線 CD 是線段 AB 的垂直平分線,點(diǎn) F 在直線 CD 上, FA=FB/ FA=5, FB=5.A.30B.40C.【答案】B【解析】 此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算.通過(guò)已知條件由/ B=90,ZBAE=10 ? / AEB/AEB2EACyC=2Z C./ ED 是 A

11、C 的垂直平分線， AE=CE/EACyC,又/ B=90，/ BAE=10 ,/AEB=80 ,又/ AEByEACyC=2Z C, yc=4c .故選：B.50D.60直角三角形的兩銳角互余、三角形的一隨練 2.2 如圖，已知線段 AB,分別以點(diǎn) A 和點(diǎn) B 為圓心，大于-AB 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩2弧相交于 C D 兩點(diǎn)， 作直線 CD 交 AB 于點(diǎn) E,在直線 CD 上任取一點(diǎn) F,連接 FA, FB.若 FA=5, 貝 U FB=_ .B9隨練 2.3 如圖，銳角三角形 ABC 中, BOABAC,小靖依下列方法作圖:10依據(jù)題意畫(huà)出右圖可得知/仁/ 2, AE=DE/ 2=Z 3

12、,/ 仁/ 3,即卩 DE/ AB. 故選 B.隨練 2.4 如圖，兩條公路 0A 和 0B 相交于 0 點(diǎn)，在/ AOB 的內(nèi)部有工廠 C 和 D,現(xiàn)要修建 一個(gè)貨站 P,使貨站 P 到兩條公路 OA 0B 的距離相等，且到兩工廠 C D 的距離相等，用尺 規(guī)作出貨站 P 的位置.(要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，寫(xiě)出結(jié)論)如圖所示：作 CD 的垂直平分線，/ AOB 的角平分線的交點(diǎn) P 即為所求, 此時(shí)貨站 P 到兩條公路 OA0B 的距離相等.(1) 作/ A 的角平分線交 BC 于 D 點(diǎn).(2) 作 AD 的中垂線交 AC 于 E 點(diǎn).(3) 連接 DE根據(jù)他畫(huà)的圖形，判斷下列關(guān)系何者正確?A.DEI ACB.DE/ AB【答案】B【解析】C. CD=DED.CD=BD11隨練 2.5 閱讀“作線段的垂直平分線”的作法，完成填空及證明. 已知：線段AB要作線段AB的垂直平分線.1作法：(1)分別以A B為圓心，大于丄 AB 的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C D；2(2)作直線CD直線CD即為所求作的線段AB的垂直平分線. 根據(jù)上述作法和圖形，先填空，再證明.已知：如圖，連接AC BC AD BDAC =AD =_=_ .求證：CD _ AB,CD平分AB.A- BDX【答案】BC BD見(jiàn)解析【解析】 該題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)