高三數(shù)學(xué)集合復(fù)習(xí)資料_0

1、高三數(shù)學(xué)集合復(fù)習(xí)資料第 1講 集 合一【課標(biāo)要求】1集合的含義與表示1通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于 關(guān)系； 2能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言列舉法或描述法描述不同的 具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用；2集合間的根本關(guān)系1理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；2在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的根本運(yùn)算 12理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集； 3能使用 Venn 二【命題走向】的直觀性，注意運(yùn)用 Venn 預(yù)測(cè) 2021 題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立。具體題型估 計(jì)為：1題型是 1 個(gè)選擇題或 12三【要點(diǎn)精講】11a的元素，記

2、作aA ;假設(shè)b不是集合A的元素，記作bA ;2確定性：設(shè) x 是某一個(gè)具體對(duì)象，那么或者是 A 的元素，或者不是 A 指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體對(duì)象 ，因此， 無(wú)序性：集合中不同的元素之間沒(méi)有地位差異，集合不同于元素的排列順序無(wú)關(guān);3表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)； 描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào) 內(nèi)。 具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值或變化 范圍，再畫(huà)一條豎線，在豎線后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題確定采用哪種表示法， 要注意，一

3、般集合中元素較多或有無(wú)限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。4常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集或自然數(shù)集 ，記作 N ；正整數(shù)集，記作N*或N+ ;整數(shù)集，記作Z;有理數(shù)集，記作 Q；實(shí)數(shù)集，記作 R。2集合的包含關(guān)系： 1集合 A 的任何一個(gè)元素都是集合 B 的元素，那么稱 A 是 B 的子集或 B 包含A,記作AB 或AB ;集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。假設(shè) AB且BA，那么稱A等于B，記 作A=B ;假設(shè)AB且AT,那么稱A是B的真子集，記作A B ;2簡(jiǎn)單性質(zhì)：1AA ; 2 A ; 3假設(shè)AB , BC,那么AC ; 4假設(shè)集合A是n個(gè)元素的集合，那么集合 A 有 2n 個(gè)子集其中 2n

4、 1 個(gè)真子集；3全集與補(bǔ)集： 1包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；2假設(shè)S是一個(gè)集合，AS，貝V, CS=x|xS且xA稱SA的補(bǔ)集； 3簡(jiǎn)單性質(zhì)： 1 CSCS=A ；2 CSS=， CS=S4交集與并集：( 1)一般地，由屬于集合 A 且屬于集合 BA 與 B 的交集。交集 ABx|xA 且 xB 。(2) 一般地，由所有屬于集合 AA 與 B 的并集。并集 ABx|xA 或 xB 的關(guān)鍵是 “且 與“或挖掘題設(shè)條件，結(jié)合 Venn5集合的簡(jiǎn)單性質(zhì)：( 1) AAA,BBA;( 2) ABBA;(3) (AAB);( 4) ABABA;ABABB ；(5) C

5、S (APB ) = (CSA) U( CSB), CS (A U B) = (CSA) n (CSB)。 四【典例解析】題型 1：集合的概念(2021 湖南卷理 )某班共 30 人，其中 15 人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)， 10 人喜愛(ài)兵乓球運(yùn) 動(dòng)， 8 人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，那么喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 _12_答案：12解析 設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，那么只喜愛(ài)籃球的有(15x)人，只 喜愛(ài)乒乓球的有由此可得(15x)(10x)x830，解得x3，所以15x12，即 所(10x)人，求人數(shù)為12人。 例1.(2021廣東卷理)全集 UR，集合Mx2x12和Nxx2k1,k1,2,的關(guān)

6、系的韋恩(Venn)圖如圖1所示，那么陰影局部所示的集合 的元素共有( )A. 3 個(gè) C. 1 個(gè)答案解析 由例 2.的值 為 答案 D解析V D.題型 2：集合的性質(zhì)2例3. 2021山東卷理集合A0,2,a,B1,a,假設(shè)AB0,1,2,4,16,那么a的值為A.0 B.1 C.2 D.4答案 D2 a216 解析/ A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16 二二 a4應(yīng)選 D.a4【命題立意】:此題考查了集合的并集運(yùn)算 ,并用觀察法得到相對(duì)應(yīng)的元素 ,從而 求得答案 ,此題屬于容易題 .隨堂練習(xí)1. 廣東地區(qū)2021年01月份期末試題匯編設(shè)全集U=R ,A=x N | K x&

7、lt; 10 B= x R | x2+ x6=0 ，那么下列圖中陰影表示的集合為 A. 2 B. 3C. 3，2 D. 2，32. 集合 A=y|y-a+a+1y+aa+1>0,B=y|y- 6y+8 < 0假設(shè) 2222 An Bm © 那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解AnB = ©a由a：a即AQB其補(bǔ)集，評(píng)注例4 .全集S1,3,x3x22x , A=1,2x如果CSA0，那么這樣的實(shí)數(shù)x是否存在？假設(shè)存在，求出x,假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：V CSA0;二 0S 且 0A，即 xx2x = 0,解得 x10,x21,x32當(dāng)x0時(shí)，2x1，為A中元素；當(dāng) x1

8、時(shí)，2x3S 當(dāng) x2 時(shí)，2x3S二這樣的實(shí)數(shù)x存在，是x1或x2。另法： CSA0二 0S 且 0A , 3A二 xx2x = 0 且 2x3二 x1 或 x2。點(diǎn)評(píng)：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過(guò)程中 “當(dāng) x0 時(shí)，322x1不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號(hào)CSA0是兩層含義：0S且0AB,求q的值。解：由m (1) m解(1)得解(2)得又因?yàn)楫?dāng)q所以， q 題型 3 例 5A, 函數(shù) g(x)( 1 )求集合 A 、B( 2)假設(shè) AB=B, 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解(1) A = x|x1 或 x2B = x|xa 或 xa1(2)由AB =

9、B得Aa1B，因此a12所以1a1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,1例 6. (2021 寧夏海南卷理)集合 A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,那么 AICNB( ) A.1,5,7 B.3,5,7C.1,3,9 D.1,2,3答案 A解析 易有 ACNB1,5,7 ，選 A題型 4例 7.(1，那么MN)A . C. 答案例 8 設(shè)全集合 Bx| 解：|a1： Acosx1,x2k，二 x2k(kz)二 Bx|x2k,kz當(dāng)al時(shí)，CAa2,a在此區(qū)間上恰有2個(gè)偶數(shù)。a12a0 aa24a222、Aa1, a2, 2, k),由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)，ak(k > 2)其中aiZ

10、(i1的集合：S(a，b)aA，bA，abA，T(a，b)aA，bA，abA .其中(a, b)是有序數(shù)對(duì)，集合 S 和T中的元素個(gè)數(shù)分別為 m和n.假設(shè)對(duì)于任意的aA，總有aA，那么稱集合A具有 性質(zhì) P.(I)對(duì)任何具有性質(zhì) P的集合A，證明：nW k(k1) 2( II )判斷 m 和 n 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：( I因?yàn)?又因時(shí)，(aj，即n W( II (仃.如果(ab故(a可見(jiàn)，(2)對(duì)于(a, b)T, 根據(jù)定義，aA, bA，且abA，從而(ab, b)S .如果(a, b)與(c, d)是T的不同元素， 那么 ac 與 bd 中至少有一個(gè)不成立，從而 abcd 與

11、bd 中也不至少有一個(gè)不成立，故(ab, b)與(cd, d)也是S的不同元素.可見(jiàn)，T中元素的個(gè)數(shù)不多于 S中元素的個(gè)數(shù)，即nWm, 由(1)(2)可知， mn.例 9.向 50 名學(xué)生調(diào)查對(duì) A 、 B 兩事件的態(tài)度, 有如下結(jié)果 贊成 A 的人數(shù)是 全體的五分之三,其余的不贊成,贊成 B 的比贊成 A 的多 3 人,其余的不贊成； 另外, 對(duì) A、 B 都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì) A、 B 都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多 1 人。 問(wèn)對(duì) A、 B 都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？解：贊成A的人數(shù)為50 >3=30，贊成B的人數(shù)為530+3=33，如上圖，記50 名學(xué)生組成的集合為 U

12、 ,贊成件A的學(xué)生全體為集合 A ;贊成事件B的學(xué)生全體 為集 B。設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為X,那么對(duì)A、B不贊成的學(xué)生人數(shù)為事合都x+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30 - x，贊成B而不贊成 A 的人數(shù)為 3x33 x。依題意(30 x)+(33 x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，例10 (200 + (200 題型7例11a解：由由2x1a22,于是0waw。a23因?yàn)锳B，所以點(diǎn)評(píng)：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要 考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的根本方法。 在解題過(guò)程中要注意利用不等

13、式的解集在數(shù)軸上的表示方法.表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。例12 .an是等差數(shù)列，d為公差且不為0, a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n 項(xiàng)和記作 Sn,設(shè)集合 A=(an,Sn1)|n N*,B=(x,y)| x2 y2=1,x,y R。 4n 試問(wèn)下 列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明：(1)假設(shè)以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這些點(diǎn)都在同一條直線上；(2) AQB至多有一個(gè)元素；(3) 當(dāng) a1M0時(shí)，一定有 AQ Bm。n(a1an)SS1，那么 n(a1+an),這說(shuō)明點(diǎn)(an,n)的 2n2nS111坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, n)均在直線y=x+

14、a1上。222n11yxa122 (2)正確；設(shè)(x,y) AQ B,那么(x,y)中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組 1x2y21解：(1)正確；在等差數(shù)列an中，5門(mén)=消去y得：當(dāng)al當(dāng)al,故二An (3A據(jù)樣的(xO,yO)的。的取值范圍 .分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 AB 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 AB 意義， 然后才能提出解決問(wèn)題的具體方法。 解：的命題方程 x22x2m40 至少有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根 ,設(shè) Mm| 關(guān)于 x 的方程 x22x2m40 兩根均為非負(fù)實(shí)數(shù) , 4(2m3)03那么 x1x2202m,2x1x22m40第9 / 13頁(yè)33Mm|2m 設(shè)全集 Um|0m

15、|m22m 的取值范圍是UM=m|m( 解法二 )命題方程的小根 x12m302m312m31m2.(解法三)設(shè)f(x)x22x4,這是開(kāi)口向上的拋物線，其對(duì)稱軸x10，那么二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于 f(0)0m2,注意，在解法三中，f(x)的對(duì)稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否那么解答沒(méi)有這么簡(jiǎn) 單。(H)兩個(gè)正整數(shù)集合 A=a1,a2,a3,a4,Ba1,a2,a3,a4,其中 a1a2a3a4假設(shè) ABa1,a4,且 a1a410且 AB,A、B.注意“正整數(shù) 這個(gè)條件的運(yùn)用，22221a1a2a3a4,a1a2a3a4,ABa1,a4只可能有 a1a1a12而 a1a410,a49,a4a,

16、2(1)假設(shè) a2a4那么 a23,ABa3,22222a3a394124a35;(2)假設(shè)a3a4那么a33,a23與條件矛盾，不合；綜上,A1,3,5,9,B,81(山)設(shè)集合A1,B(x,y)|4x2x2y50,222C(x,y)k,b,使(AB)C 分析：正確理解(AB)C,并轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題 .,必須 AC且 BC要使(AB)C(AC)(BC)y2x1 由 k2x2(2kb1)xb210, ykxb當(dāng) k=0 時(shí)，方程有解 xb1, 不合題意；24k21當(dāng) k0 時(shí)由 1(2kb1)4k(b1)0 得 b 4k222第 10 / 13 頁(yè)4x22x2y50 又由 4x22(1k)

17、x52b0,ykxb20(k1)2由 24(1k)16(52b)0 得 b，82由、得bk1201,而 b, 4k8 b為自然數(shù)，二b=2，代入、得k=1點(diǎn)評(píng)：這是一組關(guān)于集合的 “交、并 的常規(guī)問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問(wèn)題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。 題型 6例13B=C=D=那么集合A、例141,2，都有(2x，都有1(2x1) (1)設(shè)(2)設(shè) 0000 (3)設(shè)(x)A,任取 xl(1,2),令 xn 1(2xn),n1,2,證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式|xkl解：對(duì)任意 x1,2,(2x)2x,x1,2,3(2x)5,152, 所以Lk

18、1xk|x2x1|H 。1L(2x)(1,2)第 11 / 13 頁(yè)對(duì)任意的 x1,x21,2 ，|(2x1)(2x2)|x1x2|3212x1212x11x21x2212x1212x11x21x2，3 所以 0212x1212x11x21x222,30|LK1x2x1 。 1L點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的概念是在集合理論上開(kāi)展起來(lái)的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合 在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比擬新穎五【思維總結(jié)】集合知識(shí)可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣泛使用的集合語(yǔ)言，并用集合語(yǔ)言 表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用集合觀點(diǎn)去研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。1學(xué)習(xí)集合的根底能力是準(zhǔn)確描述集合中的元素，熟練運(yùn)用集合的各種符號(hào)，如、=、CSA、U, Q等等；第 12 / 13 頁(yè)2強(qiáng)化對(duì)集合與集合關(guān)系題目的訓(xùn)練，理解集合中代表元素的真正意義，注 意利用幾何直觀性研究問(wèn)題，注意運(yùn)用 Venn 圖解題方法