高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的基本性質(zhì)-函數(shù)及其性質(zhì)解讀》文字素材 新人教A版必修1

1、函數(shù)及其性質(zhì)解讀1、函數(shù)的定義（1）傳統(tǒng)定義：如果在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么把y叫做x的函數(shù)，x叫做自變量，和x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。y是x 的函數(shù)，可以記作y f（x）（f表示對(duì)應(yīng)法則）。（2）近代定義：設(shè)A、B都是非空的數(shù)的集合，f是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，那么A到B的映射就叫做A到B的函數(shù)，記作y f（x），其中。原象的集合A叫做函數(shù)f（x）的定義域，象的集合C叫做函數(shù)f（x）的值域，顯然。注意：由函數(shù)的近代定義可知，函數(shù)是數(shù)集間的映射。對(duì)應(yīng)法則f是聯(lián)系x、

2、y的紐帶，是函數(shù)的核心，常用一個(gè)解析式表示，但在不少問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)法則f也可能不便用或不能用上個(gè)解析式來(lái)表示，而是采用其他方式（如數(shù)表或圖象等）。定義域（或原象集合）是自變量的取值范圍，它是函數(shù)的一個(gè)不可缺少的組成部分，它和對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的兩個(gè)重要因素。定義域不同而解析式相同的函數(shù)，應(yīng)看作是兩個(gè)不同的函數(shù)。f（a）與f（x）的涵義是不同的，f（a）表示自變量xa時(shí)所得的函數(shù)值，它是一個(gè)常量，而f（x）是x的函數(shù)，是表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的。2、函數(shù)的性質(zhì)（1）函數(shù)的單調(diào)性設(shè)y f（x）是給定區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，是給定區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且，如果都有，則稱f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（也稱f（x）在這個(gè)區(qū)間上

3、單調(diào)遞增）；如果都有，則稱f（x）在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（也稱f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減）。如果函數(shù)y f（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說(shuō)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間。（2）函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)。如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。3、反函數(shù)（1）逆映射：設(shè)是集合A到集合B上的一一映射，如果對(duì)于B中的每一個(gè)元素b，使b在A的原象a和它對(duì)應(yīng)；這樣所得的映射叫

4、做映射的逆映射，記作：。注：映射也是映射的逆映射，而且 也是一一映射（從B到A上的一一映射）。（2）如果確定函數(shù)y f（x）的映射是f（x）的定義域A到值域B上的一一映射，那么這個(gè)映射的逆映射所確定的函數(shù)叫做函數(shù)y f（x）的反函數(shù)。函數(shù)y f（x）的定義域、值域分別是函數(shù)的值域、定義域。函數(shù)y f（x）的反函數(shù)，習(xí)慣上寫成。一般地，求函數(shù)y f（x）的反函數(shù)的方法是先由y f（x）解出，然后把改寫成。函數(shù)y f（x）和其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱。例1、判斷下列各題中的兩個(gè)函數(shù)是否相同。（1）； （2）；（3）；（4）。解析：（1）不同。因?yàn)閒（x）的定義域是x0且x1，而g（x）的定義域

5、是x1，由于定義域不同，故f（x）和g（x）是不同的函數(shù)。（2）不同。因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同。對(duì)應(yīng)法則f ：對(duì)應(yīng)法則g ：。（3）相同。因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，（4）不同，雖然這兩個(gè)函數(shù)的解析式相同，但給出的定義域不同。例2、求下列各函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）。解析：（1）由。 （2）全體實(shí)數(shù)。（3）解不等式組，得0 < x < 1。例3、已知f（x）為一次函數(shù)，且f f（x） = 9x1，求f（x）的解析式。 解析：設(shè)，則，即，故所求函數(shù)為或。例4、求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）。解析：（1）把看成是關(guān)于x的方程，整理得，x，y是實(shí)數(shù)，當(dāng)y1時(shí)，x0。當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是。（2）。故函數(shù)的值域是y 1。評(píng)注：配方法是二次函數(shù)求值域的主要方法。如果y f（x）能化成關(guān)于x的一元二次方程，則常用根的判別式法求函數(shù)的值域。例5、設(shè)f（x）為偶函數(shù)，f（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)減少，求證f（x）在（，0）內(nèi)單調(diào)增加。證明：設(shè)，則，f（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)減少，f（x）為偶函數(shù)，。由于在（，0）內(nèi)的任意性，根據(jù)增函數(shù)的定義，可知f（x）在（，0）內(nèi)單調(diào)增加