高考考點(diǎn)之不等式

1、教師姓名學(xué)生姓名填寫時(shí)間年級學(xué)科數(shù)學(xué)上課時(shí)間階段基礎(chǔ)（） 提高（）強(qiáng)化（ ）課時(shí)計(jì)劃第（）次課共（ ）次課教學(xué)目標(biāo)（1） 基本不等式；（2） 二元一次不等式表示的平面區(qū)域；（3） 不等式的運(yùn)算。重難點(diǎn)(1)基本不等式的運(yùn)用；(2)不等式表示的平面區(qū)域；課后作業(yè)：教師評語及建議：科組長簽字：考點(diǎn) 不等式不等式的基本概念1. 基本不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“

2、=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用2二元一次不等式表示的平面區(qū)域：二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）.對于在直線同一側(cè)的所有點(diǎn)，實(shí)數(shù)的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0，y0)，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)

3、域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）2線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解。3線性規(guī)劃問題應(yīng)用題的求解步驟：（1）先設(shè)出決策變量，找出約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（2）作出相應(yīng)的圖象（注意特殊點(diǎn)與邊界）（3）利用圖象，在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大（?。┲?；在在求線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）時(shí)，直線往右（左）平移則值隨之增大（?。@樣就可以在可行域中確定最優(yōu)解。2009-2013年廣東省文科數(shù)學(xué)函數(shù)概念與性

4、質(zhì)高考題研究與分析 不等式2009-20.（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和滿足=+（n2）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)n是多少?2010-8“>0”是“>0”成立的 ( ) A充分非必要條件 B必要非充分條件 C非充分非必要條件 D充要條件2010-21.（本小題滿分14分）已知曲線，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)（n=1,2,）.（1）試寫出曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若原點(diǎn)到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)與為兩個(gè)給定的不同的

5、正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，證明：2011-5不等式的解集是A B C D2011-20（本小題滿分14分）設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)，2012-5已知變量滿足約束條件則的最小值為A B C D2013-13已知變量滿足約束條件，則的最大值是2013-19（本小題滿分14分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列(1) 證明：；(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 證明：對一切正整數(shù)，有考題研究與分析第一，縱觀廣東省近幾年文科數(shù)學(xué)對不等式的考查，可以清楚地了解到：（1）分值約為712分；（2）題型以一道小題和一道大題為主。第二，考查的知

6、識內(nèi)容：（1）小題考查知識點(diǎn)：解不等式，或者是在不等式表示的區(qū)域的最值問題。（2）大題考查知識點(diǎn)：結(jié)合數(shù)列，證明與數(shù)列的前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式問題。解題技巧：解題技巧：（1）小題：根據(jù)不等式的運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算。若是不等式的平面區(qū)域，就畫圖像結(jié)合題目解題。（2）大題：例1 已知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，（舍去），即，本題的第一問比較容易入手，我們還可以從幾何圖形入手，通過相似比直接求出的通項(xiàng)公式，這里不多贅述。該題的第2問中的不等式可以化簡為：證明該不等式可以用到以下幾種方法一、 放縮法對于左邊第一個(gè)不等式的證明有2

7、個(gè)思路：1、 從右邊入手（化簡為繁）2、 從左邊入手（化繁為簡） 顯然成立故 即二、 數(shù)學(xué)歸納法：對上述不等式的證明，多數(shù)考生采用了數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由、可得不等式恒成立。從以上不等式的證明來看，對不等式的一邊進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s是證明不等式的重要手段，其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法里面也用了放縮的技巧。但是，不是隨便放縮就能證明不等式，有些不等式的放縮要恰到好處，否則就不能達(dá)到目的。專題練習(xí)：1、已知，且、不為，那么下列不等式成立的是（ ）A B C D2、下列命題中正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D

8、若，則3、下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）若，則；，則；若，則；若，則AB CD4、如果，則下列不等式中正確的是（ ）A B C D5、下列各式中，對任何實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)式子是（ ）A B C D6、若、是任意實(shí)數(shù)，且，則（ ）AB C D7、如果，且，那么，的大小關(guān)系是（ ）ABCD8、若，則（ ）A B C D9、給出下列命題：；其中正確的命題是（ ）AB CD10不等式表示的平面區(qū)域是A BCD11滿足不等式的點(diǎn)的集合（用陰影表示）是AB CD12若函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則點(diǎn)在平面上的區(qū)域（不含邊界）為AB CD13不等式組表示的平面區(qū)域是A一個(gè)正三角形及其幾個(gè)內(nèi)部 B一個(gè)等腰三角

9、形及其內(nèi)部C在第一象限內(nèi)的一個(gè)無界區(qū)域 D不包含第一象限的一個(gè)有界區(qū)域14如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為A B C D15.已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則zxy的取值范圍是A2，1B2，1 C1，2 D1，216雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是AB C D17在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是 A4 B4C2D218在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是A. B. C. D.19. 已知平面區(qū)域由以、為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū)域 上有無窮多個(gè)點(diǎn)可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則 A. B. C. D. 420

10、點(diǎn)到直線的距離為，且在表示的區(qū)域內(nèi)，則_ 21不等式組表示的區(qū)域中,坐標(biāo)是整數(shù)的點(diǎn)共有_個(gè)。22某實(shí)驗(yàn)室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價(jià)格為140元；另一種是每袋24千克，價(jià)格為120元. 在滿足需要的條件下，最少要花費(fèi)_元.23設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_24已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最小值等于_,最大值等于_.解答題：1. 已知數(shù)列滿足.(1)若數(shù)列是以常數(shù)首項(xiàng),公差也為的等差數(shù)列,求a1的值;(2)若,求證：對任意都成立；(3)若,求證：對任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，兩邊同除以，得（3），將

11、代入，得； 而， 由知，命題成立.2. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別求出、的表達(dá)式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：；（3）是否存在自然數(shù)n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,請說明理由。又易知單調(diào)遞增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005.3. 已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足， 求的表達(dá)式及的值； 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，。解：（1）所以是等差數(shù)列。則。（2）當(dāng)時(shí)，綜上，。（3）令，當(dāng)時(shí)，有等價(jià)于求證。當(dāng)時(shí)，令，則在遞增。又，所以即4. 數(shù)列：滿足() 設(shè)，求證是等比數(shù)列；() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （）設(shè),數(shù)

12、列的前項(xiàng)和為,求證: 解：()由得，即，是以為公比的等比數(shù)列 () 又即，故（）又5. 已知數(shù)列an滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若數(shù)列是等比數(shù)列. （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （）求證：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，； （）求證：得=2或=3 當(dāng)=2時(shí)，可得為首項(xiàng)是 ，公比為3的等比數(shù)列，則當(dāng)=3時(shí)，為首項(xiàng)是，公比為2的等比數(shù)列，得， （注：也可由利用待定系數(shù)或同除2n+1得通項(xiàng)公式）（）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，（）由（）知k為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=6.已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，它滿足條件.數(shù)列中，·.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若對一切都有，求的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，.當(dāng)2時(shí)，=， 此時(shí)··=·，=+設(shè)+，·6分（2）由可得當(dāng)時(shí)，由，可得 對一切都成立，此時(shí)的解為.當(dāng)時(shí)，由 可得對一切都成立，此時(shí)的解為.由，可知對一切，都有的的取值范圍是或.7. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列 的