浙教版九年級上冊二次函數(shù)專題之四邊形存在性問題(教師版)

1、二次函數(shù)專題之四邊形存在性問題【例1】如圖，拋物線尸W+bx+c與x軸相交于點A （ -3, 0）, B （1, 0）,與y軸相交于3（0, - 一），頂點為P. 2（1）求拋物線解析式: （2）在拋物線是否存在點E,使二ABP的面積等于二ABE的而積？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由:（3）坐標平面內(nèi)是否存在點F,使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標，并求出平行四邊形的而積.3【詳解】（1）設拋物線解析式為尸衾+血,將（-3, 0）,（1, 0）,（0,-）代入拋物線 20 = 9a-3b+c1313解析式得，0 = a+b+

2、c ，解得：a= , b=L c=-二拋物線解析式：y= x?+x- -22- 223c = 一一213 1(2)二y= x?+x- - = (x-1) 2 - 2 22 2二P點坐標為（-1, -2）二二ABP的面積等于二ABE的而枳,二點E到AB的距離等于2,設 E (a. 2),13_-a?-a - -=2 解得 ai= - 1 - 2 ，a2= - 1+2 垃二符合條件的點E的坐標為(-1-2企，2)或(-1+2JJ, 2)(3)二點、A ( -3, 0),點 B (1, 0),二 AB=4二若AB為邊，且以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形二AB二PF, AB=PF=4二點P坐

3、標(-1，-2)二點 F 坐標為(3, -2), ( -5, -2)二平行四邊形的面積=4x2=8二若AB為對角線，以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形二AB與PF互相平分設點 F (x, y)且點 A ( -3, 0),點 B (1, 0),點 P ( - 1, -2)匚x=-l, y=2-3 + 1 -1 + x0 + 0 _ -2 + y 工2二點 F ( - 1, 2)二丫行四邊形的面積=!4x4=8 2綜上所述：點F的坐標為(-1, 2)、(3, -2)、(-5, -2),且平行四邊形的而枳為8.【例2】拋物線F：y = W+飯+。的圖象經(jīng)過坐標原點。，且與x軸另交點為一3-,

4、0 . /（1）求拋物線尸的解析式；（2）如圖1,直線/:），= 4工+ 7（?0）與拋物線尸相交于點4（%,乂）和點3（,必）（點4在第二象限），求-凹的值（用含？的式子表示）；（3）在（2）中，若/ =：,設點H是點4關于原點。的對稱點，如圖2.平面內(nèi)是否存在點、P,使得以點A、B、A、尸為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點。的坐標: 若不存在，請說明理由.【詳解】（1）匚拋物線j=N+6x+c的圖象經(jīng)過點（0, 0）和（-1, 0）, 3二 j3 3c = Oc = ,解得：二拋物線產(chǎn)的解析式為廣必+立X.3(2)將)=2x+機代入jxL得：x/12 r 二2-)1=(J3m +川)

5、-(-J31n +m)=y/3m (加0).=?n, 33解得：X1=- ym , x2=y/m二yi= - - y/3in +)n, 2= y3m +m, 3二點M的坐標為（-空,|）,33(P)5）當為對角線時,x = 一空解得:點8的坐標為（之叵，2）.:點是點且關于原點o的對稱點,二點的坐標為（出，-I）. 33由兩點距離公式可得：=，宓=3=g,二存在符合題意的點P，且以點A. B、4、P為頂點的菱形分三種情況，設點P的坐標為G,242括x=x2x = 2/3（7）當月3為對角線時,有 2m+4)二G (m, - m2 - 2m+4),二四邊形GEOB是平行四邊形，二EG=OB=4,

6、Z - m2 - 2m+4 - 2m - 4=4,Zm= - 2, ZG ( - 2, 4)；(3)匚如圖b由(2)知，直線AB的解析式為y=2x+4,二設 E (a, 2a+4),二直線 AC： y= - - x - 6 匚F(a, - a - 6), 22設 H (0, p),二以點A, E, F, H為頂點的四邊形是矩形，二直線AB的解析式為廣2x+4,直線AC： y=-Lx-6, 2二 AB 二 AC,二EF為對角線，二 L ( - 4+0) = (a+a), ( - 4+p) = (2a+4 - a22222二a=-2, P=- 1,八y-6),二E ( -2, 0). H (0,

7、- 1)；【達標檢測】1 .如圖，在平面直角坐標系xQy中，己知拋物線）=-x2+2x+3與x軸交于,4, 3兩點，點“在這條拋物線上,點尸在V軸上，如果四邊形且取3是平行四邊形，則點河的坐標為【詳解】二y=-x2+2x+3與x軸交于A, B兩點,二A (-1, 0)； B (3, 0) nAB=4t二四邊形ABMP是平行四邊形，二AB/PM, PM=AB=4,二P點在y軸上，二P點橫坐標為4,二P點在拋物線產(chǎn)-x2x+3上，二x=4 時，y=-16+8+3=-5,二M點的坐標為：(4, -5).2 .如圖，拋物線y =3與x軸的負半軸交于點4,與丁軸交于點8,連接A8,點DE分別是直線式=-

8、1與拋物線上的點，若點A,艮DE圉成的四邊形是平行四邊形, 則點的坐標為.【詳解】由拋物線的表達式求得點A8的坐標分別為(-3,0),(0,-3) 由題意知當A8為平行四邊附的邊時，AB/DE,且AB = DE,二線段DE可由線段A3段移得到.匚點。住直線工=一1卜，二當點5的對應點為A時.如圖，需先將A3向左平移1個單位長度，此時點A的一點:用的橫坐標為T，將x = -4代入y = ? V + ?%一 3,得) = 3,二片(7.3).二當點A的對應點為。2時，同理，先將A3向右平移2個單位長度，可得點4的對應點上2的橫坐標為2,將x = 2代入y =+ 3得y = 0,二七(2,0)乙乙(

9、13、1A5為平行四邊形的對角線時,可知A5的中點坐標為一7-3， 二。3在直線工=一1上，:根據(jù)對依件M知&的橫坐標為-2，將x = -2代入y =12 +二- 3 22得），=-2,二與（-2, -2）.綜上所述，點E的坐標為（T,3）或（2,0）或（-2,-2）.3 .如圖，在平而直角坐標系中，拋物線丫 = 一：婷+匕 +。，經(jīng)過A（0, -4）, B （利，0）,C （如，0）三點,且上一九11= 5.（1）求b, c的值；（2）在拋物線上求一點D,使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P,使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在, 求出點P的坐

10、標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由.解析：（1）二拋物線y=-3爐+ +。，經(jīng)過點 A（0，-4）,二 c=-4,（二由題意可知，德八九二是方程一；爐+算一4 = 0的兩個根，二%+ %=P，二/二二6, 由已知得（七一算= 25, zx12+x22-2x1r2=25,二（巧 + 匕-4%2 = 25,二涉-24 = 25,解得：匕=士亭1b若時，拋物線Lj x輪的交出在x軸的正半軸上,不 一 卻 舍去.二金. OO(2)二四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質，點D必在拋物線的對稱 又二y = 一“。一芳% 4=一久+三產(chǎn)+后，口拋物線的頂點(一：,三)即為所求的點D：(3)二四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為(-6, 0),根據(jù)菱形的性質，點P必是有我x= - 3