邊界元法發(fā)展綜述

1、邊界元法發(fā)展綜述劉婭君學(xué)號(hào)：11080922005從工程實(shí)際中提出的力學(xué)問(wèn)題，一般可歸結(jié)為數(shù)學(xué)的定解問(wèn)題。但其中只有 極少 數(shù)簡(jiǎn)單情況可以求得解析解，而大多情況都必需借助于有效的數(shù)值方法來(lái)求解。有 限元法是目前工程中應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法，已有很多通用程序和專(zhuān)用程 序在各個(gè) 工程領(lǐng)域投人了實(shí)際應(yīng)用。然而，有限元法本身還存在一些缺點(diǎn)。例如，在應(yīng)力分 析中對(duì)于應(yīng)力集中區(qū)域必須劃分很多的單元，從而增加了求解方程的階數(shù)，計(jì)算費(fèi) 用也就隨之增加；用位移型有限元法求解出的應(yīng)力的精度低于位移的 精度，對(duì)于一 個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題必須劃分很多單元，相應(yīng)的數(shù)據(jù)輸人量就很大，同時(shí)，在輸出的大 量信息中，又有許多并不是人

2、們所需要的。邊界積分方程一邊界元法在有限元法之后發(fā)展起來(lái)成為工程中廣泛應(yīng)用的一種有 效的數(shù)值分析方法。它的最大特點(diǎn)就是降低了問(wèn)題的維數(shù)，只以邊界未知量作為基 本未知量，域內(nèi)未知量可以只在需要時(shí)根據(jù)邊界未知量求出。在彈性問(wèn)題中，由于 邊界元法的解精確滿(mǎn)足域內(nèi)的偏微分方程，因此它相對(duì)有限元法的解具有較高的精 度。同時(shí)在一些領(lǐng)域里，例如線彈性體的應(yīng)力集中問(wèn)題，應(yīng)力有奇異性的彈性裂 紋問(wèn)題，考慮脆性材料中裂紋擴(kuò)展的結(jié)構(gòu)軟化分析，局部進(jìn)人塑性 的彈塑性局部應(yīng) 力問(wèn)題以及彈性接觸問(wèn)題等，邊界元法已被公認(rèn)為比有限元法更為有效。正是因 為這些特點(diǎn)，使邊界元法受到了力學(xué)界、應(yīng)用數(shù)學(xué)界及許多工程領(lǐng)域的研究人員的

3、廣泛重視。邊界元與有限元相比有很多優(yōu)點(diǎn)：首先，它能使問(wèn)題的維數(shù)降低一維，如原為三 維空間的可降為二維空間，原為二維空間的問(wèn)題可降為一維。其次，它只需將邊 界離散而不象有限元需將區(qū)域離散化，所劃分的單元數(shù)目遠(yuǎn)小于有限元，這樣它減 少了方程組的方程個(gè)數(shù)和求解問(wèn)題所需的數(shù)據(jù)，不但減少了準(zhǔn)備工作，而且節(jié)約了 計(jì)算時(shí)間。第三，由于它是直接建立在問(wèn)題控制微分方程和邊界條件上的，不需要 事先尋找任何泛函，不像以變分問(wèn)題為基礎(chǔ)的有限元法，如果泛函不存在就難于使 用。所以邊界元法可以求解經(jīng)典區(qū)域法無(wú)法求解的無(wú)限域類(lèi)問(wèn)題。最后，由于邊界元 法引入基本解，具有解析與離散相結(jié)合的特點(diǎn)，因而具有較高的精度。當(dāng)然，邊界元

4、法也有其弱點(diǎn)，它需要知道問(wèn)題的基本解或Green 函數(shù)，而變系數(shù)問(wèn)題和非線性問(wèn)題的基本解往往不知道，故難以使用邊界元法。雖然有這些缺 點(diǎn)，邊界元法還是憑借其優(yōu)點(diǎn)廣泛使用在波的傳播，斷裂力學(xué)，接觸問(wèn)題，粘彈塑 性，振動(dòng)問(wèn)題，電磁場(chǎng)，流體力學(xué)，滲流力學(xué)，生物力學(xué)，等離子運(yùn)動(dòng)等廣闊領(lǐng)域, 取得了豐富的成果。邊界元法的發(fā)展可分如下幾個(gè)時(shí)期：一、萌芽與奠基期(1950-(1950- 1978)1978)50 年代初期，MuskhelishVili(1953)將積分方程方法用于結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，Kellogg(1953)用積分方程方法求解 Laplace 問(wèn)題，這便是邊界元法的前身。現(xiàn)代邊界 積分方程法與 F

5、redholm 的工作有著直接的尖系，他討論了建立在離散技術(shù)上的求解 方法。尖于間接邊界元法的概念是Jaswon, Hess 和 Symm 等形成的。尖于直接邊界元法，曾出現(xiàn)在 KuPradze 的著作中，但更多的早期工作 是 Rizzo和 Cruse 用邊界積分方程方法求解經(jīng)典的彈性力問(wèn)題和彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。在這一時(shí)期，Richard Shaw 對(duì)波的傳播問(wèn)題的邊界積分方程方法進(jìn)行了廣泛的 研究。I960 年，他完成了博士學(xué)位論文，并在其后發(fā)表了兩篇重要論文，提出了有 任意形狀障礙的聲波脈沖的瞬態(tài)散射問(wèn)題的邊界積分方程法。另外，他還對(duì)彈性動(dòng) 力學(xué)間接邊界積分公式、三維散射問(wèn)題、流固藕合問(wèn)題、特

6、征值問(wèn)題、擴(kuò)散問(wèn)題和漸 近膨脹解等進(jìn)行了研究。1963 年，Jaswon 和 Ponter 討論了扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的積分方程方法，第一次利用了邊 界值和法向?qū)?shù)的積分尖系。同年，Jaswon 對(duì) Laplace 方程由勢(shì)理論建立了邊 界積 分方程的數(shù)值方法，為間接邊界元法的提出作出了重要貢獻(xiàn)。其后，Jaswon 等人建 立了平面彈性靜力學(xué)的邊界積分方程，提出了數(shù)值求解的有效途徑，并首次用邊界 積分方程方法求解了板彎曲問(wèn)題。1966 年，Symm 建立了保角映射下的邊界積分方程。1969 年他發(fā)展了邊界 積 分方程在勢(shì)問(wèn)題包括熱傳導(dǎo)分析方面的應(yīng)用。1967 年，Rizzo 運(yùn)用 Betti-Somigh

7、ana 公式建立了彈性靜力學(xué)問(wèn)題的邊界積分 公 式，指出了邊界位移和面力的函數(shù)尖系，這是文獻(xiàn)中最早的一篇尖于直接邊界元方 法的論文。雖然這些公式的數(shù)學(xué)理論源于KaPradze 的著作，但是 Rizzo 以一種簡(jiǎn)明的形式提出了與當(dāng)今邊界元法有著密切聯(lián)系的公式。1967 年，Cruse 完成了直接邊界元方法若干重要問(wèn)題的推導(dǎo)，隨后，Cruse 與 Rizzo和 Shippy 配合，對(duì)這些邊界積分公式進(jìn)行了數(shù)值求解，相繼提出了直 接邊界 元法的若干重要論文。邊界元法實(shí)施的困難之一是積分奇異性的處理。Symm 在 70 年代對(duì)二維勢(shì)問(wèn) 題的邊界積分方程中的積分奇異性問(wèn)題進(jìn)行了研究，并發(fā)展了計(jì)算軟件。1

8、973 年， Brebbia、 Watson 等將邊界積分方程應(yīng)用于應(yīng)力分析問(wèn)題。 1975 年，Lachat完成了他的博士論文，第一次使用高次單元求解三維彈性靜力學(xué)問(wèn)題，徹底 解決了邊界積分方程中的奇異積分問(wèn)題，大大提高了計(jì)算精度，為邊界元法的發(fā)展 作出了非常重要的貢獻(xiàn)。1974 年，Cruse 首先使用了曲面元建立了三維彈性應(yīng)力分析的邊界積分方程的 新模式，為幾何區(qū)域的更準(zhǔn)確描述，提高邊界元法的精度做了重要工作。Cruse 還 討論了由邊界面力獲得表面應(yīng)力、體積力向邊界力轉(zhuǎn)換技術(shù)、斷裂力學(xué)問(wèn)題以及對(duì) 特殊形狀的裂紋采用特殊的應(yīng)力函數(shù)等。這些成果對(duì)現(xiàn)代邊界元法的發(fā)展起了重要 作用。1976

9、年， Crouch 建議用位移不連續(xù)法(Displacement Discontinuity Method，i.e.DDM)求解平面彈性問(wèn)題，這是一種間接邊界元法，它以單元均勻位移(不連續(xù)位移分量)為未知數(shù)，可以很便利地求解巖石力學(xué)問(wèn)題，因而， Crouch 被公認(rèn) 為是間接邊界元法的開(kāi)創(chuàng)者。1977 年，Cruse 就固體力學(xué)的邊界積分方程法，包括直接法和間接法的數(shù)學(xué)基 礎(chǔ)發(fā)表論文，是該方面最早、全面的系統(tǒng)性的理論著作。同年，Symm 將直接邊界 元法應(yīng)用于有界面的多介質(zhì)問(wèn)題，是非均質(zhì)問(wèn)題最早的具有開(kāi)拓性的貢獻(xiàn)。1978 年 Brady 與 Bray 提出了一種四級(jí)(Quadrupoles

10、虛載荷用于模擬礦 薄 層 采場(chǎng)的變形5這種方法后來(lái)被確認(rèn)為應(yīng)力不連續(xù)法(Fietitious Stress Method，i.e.FSM)。 DDM和 FSM 均可用于模擬裂縫或夾層，兩種方法實(shí)質(zhì)上是一會(huì)事，但 DDM 法更適合于裂隙、斷層的模擬。邊界元法侶 oundary Element Method, i.e.BEM)這一名稱(chēng)是 Cruse - 1973 年首 先提出，但之后的有尖文章包括 Cruse 自己也沒(méi)有再使用這一提法，而用的是邊界 積分方程法(Boundary Integral Equation Method，i.e.BIEM)。1977 年、Brebbia 和 Banerjee

11、 重新使用了邊界元法這個(gè)名稱(chēng)，邊界元法從此有了明確的定義。1978 年，由 Brebbia 編著的第一本邊界元法專(zhuān)著出版，對(duì)邊界元法的發(fā)展有著極為重要 的意義，其重要性在于它指出了邊界元法與其他數(shù)值方法特別是有限元法的尖系，提 出了如何用加權(quán)余量法來(lái)建立邊界積分方程，初步形成了邊界元法的理論體系，確 立了邊界元法作為一種數(shù)值方法的地位，標(biāo)志著邊界元法從此進(jìn)入了系統(tǒng)性的研究 時(shí)期。二、方法完善與初步應(yīng)用期(1978-(1978- 1990)1990)1978 年，第一屆邊界元法國(guó)際會(huì)議在英國(guó)南安普敦(Southampto n 大學(xué)舉行。此后，邊界元法國(guó)際會(huì)議幾乎每年一次在世界各地舉行，迄今己舉行

12、了 28 次。大量 論文和專(zhuān)著先后面世，發(fā)展之快、水平之高是前所未有的。1984 年，邊界元法國(guó)際性刊物Engineering Analysis Jouma丨創(chuàng)刊，它主要 致力于邊界元法研究新進(jìn)展的宣傳，為邊界元法的發(fā)展起了重要的推動(dòng)作用。從這 些會(huì)議文集和各種刊物，如Engineering Analysis Journal、Compute rand Struetures、Int.Joumal of Numerieal Methods in Engineering、Computational Mechanies)和Computer Methods in Applied Mechanics an

13、dEngineering 等登載 的論文以及 Brebbia 和 Banerjee 等人的專(zhuān)著來(lái)看，這一時(shí)期邊界 元法的發(fā)展可歸結(jié)為以下三個(gè)方面：(1) 數(shù)學(xué)方面包括邊界元法的數(shù)學(xué)分析理論和數(shù)值積分方法的研究。 邊界元法的發(fā)展雖然是由 于計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用而帶來(lái)的，但也與近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展密切相尖。 邊界元法數(shù)學(xué)方面的研究，不僅克服了由于積分 奇異性造成的困難，同時(shí)又對(duì)收斂 性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式的統(tǒng)一進(jìn)行了數(shù)學(xué)分析，為邊界元法的 可行性和可靠性提供了理論基礎(chǔ)。Wendiand 是研究邊界元法數(shù)學(xué)理論的主要學(xué)者， 其主要工作有：邊界元法包括數(shù)值積分的漸近誤差分析，有限元

14、和邊界元耦合方法 的誤差分析，邊界元法解的穩(wěn)定性，彈性力學(xué)和流體流動(dòng)問(wèn)題的邊界元法的數(shù)學(xué)理 論， 斷裂力學(xué)邊界元法的誤差分析等。 Hsiao等人在邊界元法特別是有限元和邊界元 耦合方法的數(shù)學(xué)理論方面作了許多工作。近年來(lái)，一些學(xué)者將有限元理論中的區(qū)域 分解方法引入邊界元法，討論了其數(shù)學(xué)理論?？偟恼f(shuō)來(lái)，邊界元法數(shù)學(xué)理論的研 究還落后于方法和應(yīng)用的研 究，與有限元法數(shù)學(xué)理論的研究尚有一定的差距，有待進(jìn)一步研究和發(fā)展。（2）方法與應(yīng)用方面包括邊界元法的完善和應(yīng)用范圍的拓寬。70 年代以前，邊界元法的研究只限于解決以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：勢(shì)問(wèn)題、彈 性靜力學(xué)、波的傳播、斷裂力學(xué)、流體力學(xué)、板彎曲問(wèn)題等，而且

15、對(duì)一些問(wèn)題的研究 也只是初步嘗試?，F(xiàn)在，邊界元法的發(fā)展已涉及工程和科學(xué)的很多領(lǐng)域，幾乎可以解決所有的有限 元法能夠解決的問(wèn)題。對(duì)線性問(wèn)題，邊界元法的應(yīng)用己經(jīng)規(guī)范化；對(duì)非線性問(wèn) 題，其方法亦趨于成熟。邊界元法在線性問(wèn)題方面的研究和應(yīng)用包括：彈性力學(xué)、瞬態(tài)彈性動(dòng)力學(xué)、穩(wěn) 態(tài)彈性動(dòng)力學(xué)、斷裂力學(xué)、斷裂動(dòng)力學(xué)、板彎曲問(wèn)題、動(dòng)態(tài)板彎曲問(wèn)題、殼體分 析、 殼的動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析、溫度場(chǎng)和彈性熱應(yīng)力、勢(shì)問(wèn)題（包括熱傳導(dǎo)、散射、擴(kuò)散、勢(shì) 流、靜電分析等） 、瞬態(tài)勢(shì)問(wèn)題、穩(wěn)態(tài)勢(shì)問(wèn)題、波的傳播、流體力學(xué)、流體動(dòng)力 學(xué)、聲學(xué)、反問(wèn)題等。邊界元法在非線性問(wèn)題方面的研究和應(yīng)用已涉及：非彈性力學(xué)（包括塑性、彈塑性、彈粘塑性、蠕

16、變等）、非彈性動(dòng)力學(xué)、非彈性斷裂力學(xué)、非彈性斷裂動(dòng)力 學(xué)、非彈性殼體分析、材料非線性熱分析、彈性有限變形、非線性斷裂力學(xué)、非線性 板殼分析、非線性瞬態(tài)熱分析、非線性勢(shì)問(wèn)題、含時(shí)間的非線性勢(shì)問(wèn)題、非線性瞬態(tài) 波的傳插、巖土力學(xué)、非彈性有限變形等。相對(duì)來(lái)說(shuō)，邊界元法與其他數(shù)值方法（主要是有限元法）的耦合方法發(fā)展比較 緩慢。目前，邊界元與有限元耦合方法的研究和應(yīng)用主要涉及以下幾個(gè)方面：彈 性 力學(xué)、斷裂力學(xué)；彈塑性力學(xué)、非線性問(wèn)題、勢(shì)問(wèn)題、流固禍合問(wèn)題、巖土力 學(xué)、土 動(dòng)力學(xué)、熱分析、電力工程等。在工程和工業(yè)技術(shù)領(lǐng)域，邊界元法的應(yīng)用已涉及到：水工、土建、橋梁、機(jī) 械、 電力、地震、采礦、地質(zhì)、汽車(chē)、

17、航空、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等諸多方面。（3）應(yīng)用軟件方面邊界元法作為一種數(shù)值方法，其應(yīng)用要通過(guò)計(jì)算程序來(lái)實(shí) 現(xiàn)。這種計(jì)算程序作為應(yīng)用軟件，是隨著邊界元法的發(fā)展而發(fā)展的。Brebbia 在邊 界元法的第一本專(zhuān)著中就附有簡(jiǎn)單的計(jì)算程序，這個(gè)程序?yàn)槠浜笤S多計(jì)算程序的研制 建立了模 式，為邊界元法應(yīng)用軟件的發(fā)展和邊界元法的應(yīng)用都起到了良好的推動(dòng)作用。1978 年以后，隨著邊界元法國(guó)際會(huì)議在世界各地逐年舉行，陸續(xù)有邊界元法應(yīng)用軟 件的新成果問(wèn)世。1982 年，在第四屆邊界元法國(guó)際會(huì)議上，英國(guó)南安普敦大學(xué)的Danson 介紹了他們研制的邊界元分析程序包 BEASY，這是國(guó)際上第一個(gè)邊界元法大型軟件。 1985 年以來(lái)

18、邊界元技術(shù)國(guó)際會(huì)議在世界各地舉行，它著重于邊界元計(jì)算技術(shù)的研究 和應(yīng)用、包括工程應(yīng)用、計(jì)算技術(shù)和工業(yè)應(yīng)用等，為邊界元應(yīng)用軟件的發(fā)展起到促 進(jìn)作用。但是，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)軟件已成為商品，稍稍復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)算程序都不會(huì)無(wú)償?shù)卦谖墨I(xiàn)中發(fā)表。現(xiàn)在，以邊界元法為內(nèi)容的部分書(shū)籍和文獻(xiàn)中 附有簡(jiǎn)單的程序，是以教學(xué)為目的，著重說(shuō)明邊界元法的基本理論和方法，供讀者 學(xué)習(xí)邊界元法時(shí)參考，只具有初等實(shí)用價(jià)值，所解的問(wèn)題也只是簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題。1988 年，Maekerle 和 Brebbia 在文獻(xiàn)中從軟件的來(lái)源、類(lèi)型、應(yīng)用范圍、前后 處理、元素庫(kù)、材料性質(zhì)、特殊功能和硬件準(zhǔn)備等多方面對(duì) 1 35 個(gè)邊

19、界元法應(yīng)用軟 件進(jìn)行了歸納?；旧戏从沉诉@一時(shí)期邊界元法應(yīng)用軟件的發(fā)展水平和趨 勢(shì)?？梢钥?出，這一時(shí)期邊界元法應(yīng)用軟件的發(fā)展取得了一定的成績(jī)，但與應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的 邊界元法本身的發(fā)展及計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的發(fā)展尚有一定距離。現(xiàn)在，邊界元法應(yīng)用軟件己由原來(lái)的解決單一問(wèn)題的計(jì)算程序向具有前后處 理功 能、可以解決多種問(wèn)題的邊界元法程序包發(fā)展，已經(jīng)形成的較大程序包有 BEASY（英國(guó)）、CA.ST.OR （法國(guó)）BETSY （德國(guó)）、SURFES （日本）、EZBEABEASY 在當(dāng)今邊界元應(yīng)用軟件市場(chǎng)可謂獨(dú)占鰲頭，在英國(guó)、美國(guó)、法國(guó)和日本等國(guó)的大學(xué)、研究所和公司得到了一定的應(yīng)用。但是，可以說(shuō)，邊界 元法程序包無(wú)論在質(zhì)量上，還是數(shù)量上均與有限元法程序包的發(fā)展有一定差距。要想