《材料力學(xué)》7-2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析主應(yīng)力

1、 平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析 主應(yīng)力主應(yīng)力一、公式推導(dǎo)：ax y cx b ay c n x yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx二、符號(hào)規(guī)定： 由由x x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n n正正向者為正；反之為負(fù)。向者為正；反之為負(fù)。nx正正 應(yīng)應(yīng) 力力yx拉應(yīng)力為正拉應(yīng)力為正x壓應(yīng)力為負(fù)壓應(yīng)力為負(fù)切切 應(yīng)應(yīng) 力力 yx 使單元體或

2、其局部順使單元體或其局部順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。為負(fù)。 某單元體應(yīng)力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應(yīng)力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法線分別與x軸成300和600角，試求此二斜面ab和bc上的應(yīng)力。MPa20MPa103MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n230100600120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20

3、MPa33. 1006030yxMPa40在二向應(yīng)力狀態(tài)下，任意兩個(gè)垂直面上，其的和為一常數(shù)。 分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時(shí)發(fā)生屈服的主要原因。低碳鋼拉伸時(shí)，其上任意一點(diǎn)都是單向應(yīng)力狀態(tài)。x xy 22cos2yx2sinx2cos22yx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax 低碳鋼試樣拉伸至屈服時(shí)表面沿450出現(xiàn)滑移線，是由最大切應(yīng)力引起的。 分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)最大切應(yīng)力的作用面，說明鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。 xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045max450max4500045minma

4、x 鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時(shí)，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面（即450螺旋面）斷開的。因此，可以認(rèn)為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。 應(yīng)力圓一、應(yīng)力圓的方程式222)(Ryax xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx222222xyxyx 在坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元垂直的A、D面上 應(yīng)力對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a和d 連ad交 軸于c點(diǎn)，c即為圓心，cd為應(yīng)力圓半徑。a( x , x)d( y , y)c xy 2 yyxADx o、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系 點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力； 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向與斜截面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；二倍角對(duì)應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過的角度是斜截面旋轉(zhuǎn)

5、角度的兩倍。 yyxADxa( x , x)d( y , y)c o yyxx caA c2 2anb 試用應(yīng)力圓法計(jì)算圖示單元體e-f截面上的應(yīng)力。圖中應(yīng)力的單位為MPa。4 . 42 . 2n030ef oadcMPa2 . 5030MPa8 . 0030060 對(duì)于圖中所示之平面應(yīng)力狀態(tài)，若要求面內(nèi)最大切應(yīng)力max85MPa，試求x的取值范圍。圖中應(yīng)力的單位為MPa。50100 x ox,100y,50adcx2yx222222xyxyx2max222xyxx22285250100100 xMPax40 主應(yīng)力和主平面切應(yīng)力等于零的截面為主平面主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力a( x , x)

6、d( y , y)c xy 2 o222222xyxyx22122xyxyx1202yxxtg2200002)90(2tgtg22222xyxyx 已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及彎矩M=10kNm.繪出表示1、2、3、4點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的單元體，并求出各點(diǎn)的主應(yīng)力。b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、畫各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)圖1323412、計(jì)算各點(diǎn)主應(yīng)力123bhIz4500cm zIMy14310500501010MPa1001點(diǎn)021MPa10032點(diǎn) (處于純剪狀態(tài))AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyxMPa3010

7、2MPa3033點(diǎn)(一般平面狀態(tài)) zIMy34310500251010MPa50bISFzzs*60105005 .3725601012043MPa5 .22MPa6 .58102MPa6 . 834點(diǎn)MPa10010203 自受力構(gòu)件內(nèi)取一單元體,其上承受應(yīng)力如圖示, .試求此點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面.3abd060060abcxad面,db面是該點(diǎn)的主平面.xy0 xF030cos30sin00abxabAA3x3102333 構(gòu)件中某點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)，兩斜截面上的應(yīng)力如圖所示。試用應(yīng)力圓求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力A50100100200 o100,20050,100c在應(yīng)力圓上量取MPa235102MPa1103MPa5 .172max平面應(yīng)力狀態(tài)的幾種特殊情況軸向拉伸壓縮2sin2 x)2cos1 (2 xx 10 322minmaxx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosx平面應(yīng)力狀態(tài)的幾種特殊情況扭 轉(zhuǎn)2cos x 2sin xx 1x3- xminmax xy 22cos2yx2sinx 2