大學(xué)物理靜電場(chǎng)習(xí)題答案

1、第12章靜電場(chǎng)60° 一半均勻帶正電，另一半均勻帶負(fù)電， 其電線密度分別為 +入和-人求圓心處的場(chǎng)11強(qiáng).P35.12. 3如圖所示，在直角三角形 ABCD的A點(diǎn)處，有點(diǎn)電荷 qi =91.8 X0' C, B點(diǎn)處有點(diǎn) 電荷 q2 = -4.8 10?C,AC =3cm，BC = 4cm，試求 C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解答在帶正電 的圓弧上取一弧元ds = Rd 0, 電荷元為dq = ds, 在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大 小為解答根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)大小的公式dE卑4兀名0 R1 ds4二；0 R2其中 1/(4 n & 0)= k = 9.0 109Nm2C-2.點(diǎn)電荷q1在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

2、大小為154二；0 AC2場(chǎng)強(qiáng)的分量為 dEx = dEcos 0, dEy = dEsin 0. 對(duì)于帶負(fù)電的圓 弧，同樣可得在O點(diǎn)的 場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)分量.由于 弧形是對(duì)稱的，x方向 的合場(chǎng)強(qiáng)為零，總場(chǎng)強(qiáng) 沿著y軸正方向，大小為1兀/6,sinvd(-cos"2 0R 02二；°R二/60E=2Ey = dEsin，=9 1091.8 巴 2 =1.8 104(N C-1),(310 )方向向下.點(diǎn)電荷q2在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為11E214|24二；0 BC19=9 1094.8 10_2 2(4 10 )4-1-2.7 10 (N C ),=L+d 1 = 0.18(m).

3、方向向右.C處的總場(chǎng)強(qiáng)大小為E= E12 E20.9.13 104 =3.245 104(N C-1),總場(chǎng)強(qiáng)與分場(chǎng)強(qiáng)E2的夾角為)-arctan旦=33.69 .E212. 4半徑為R的一段圓弧，圓心角為12. 5均勻帶電細(xì)棒，棒長(zhǎng) a = 20cm，電荷線密度為 入=3 XI0-8C m-1，求：(1) 棒的延長(zhǎng)線上與棒的近端 d1 = 8cm 處的場(chǎng)強(qiáng)；(2) 棒的垂直平分線上與棒的中點(diǎn)相距d2 = 8cm處的場(chǎng)強(qiáng).解答(1)建立坐標(biāo)系，其中L = a/2 =0.1(m)，x 在細(xì)棒上 取一線 元dl，所 帶的電量為 dq = ?dl，根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，電荷元在P1點(diǎn)產(chǎn)11生的場(chǎng)強(qiáng)的

4、大小為L(zhǎng)dE1 =k卑 rdlEysin rdn4?？? d2 l _ l1生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)cos V4二；0d2場(chǎng)強(qiáng)的方向沿 x軸正向.因此 P1點(diǎn)的總場(chǎng) 強(qiáng)大小通過積分得#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)L dl巳=4二；° 丄(xl)4二；0d2d2 l#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)2L4二；0 d2 d| L2將數(shù)值代入公式得 P2點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)1 2L 2 ?24 二 ° x - LL c “92漢0.1域3漢10Ey =9 1022T1I2y0.08(0.082 0.12)31=5.27 W (N C-).方

5、向沿著y軸正向.討論(1)由于 L = a/2, x = L+d 1,代 入式，化簡(jiǎn)得92E1 =9X10 貳=2.41 W3(NX0.1X3X10"80.182c-1),-0.12方向沿著x軸正向.(2)建立坐標(biāo)系，y = d2.dE2k，dEy在細(xì)棒上心P2dEx*n取一線元dl，所r帶的電量為-Ld2B入L .dq =對(duì)1,o | x在棒的垂直平l dl分線上的P2點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為將數(shù)值代入公式得 P1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E4二訥 d1 a 4二；°d1 d/a 1保持d1不變，當(dāng)時(shí)，可得這就是半無限長(zhǎng)帶電直線在相距為d1的延長(zhǎng)線上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小.(2)由式得Ey4二仏.d

6、|(a/2)2dE2 =kdq_dl_2生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)4二；°d2 '(d2/a)2(1/2)2 '由于棒是對(duì)稱的，x方向的合場(chǎng)強(qiáng)為零，y 分量為dEy = dE2Sin 0.由圖可知：r = d 2/sin 0 l = d 2cot 0所以dl = -d 2d 0/sin? 0,#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)#生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為L(zhǎng)因此 dEysi ndv硼咖2，總場(chǎng)強(qiáng)大小為這就是無限長(zhǎng)帶電直線在線外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 公式.如果d1=d2，則有大小關(guān)系 Ey = 2E1.#12. 6 一均勻帶電 無限長(zhǎng)細(xì)棒被彎成如 圖所示的對(duì)稱形狀，試 問B為何值時(shí)，圓心0 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零.解答設(shè)

7、電荷線密可得 因此 所以方向沿著x軸負(fù)向.當(dāng)O點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為零時(shí)，必有Ex = Ex ,tan 02 = 1 ,“2 = n4,0= n2.度為入先計(jì)算圓弧的電荷在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).在圓弧上取一弧元ds =R d 0,所帶的電量為dq = ?ds.rl A在圓心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為dEds4二；0R12. 7 一寬為b的無限長(zhǎng)均勻帶電平面 薄板，其電荷密度為 6 如圖所示.試求：(1) 平板所在平 面內(nèi)，距薄板邊緣為 a 處的場(chǎng)強(qiáng).(2) 通過薄板幾何中心的垂直線上與由于弧是對(duì)稱的，場(chǎng)強(qiáng)只剩 x分量，取x軸 方向?yàn)檎?，?chǎng)強(qiáng)為dEx = -dEcosg總場(chǎng)強(qiáng)為2 兀©2Excos d4乂名0

8、 R甘2一九sin4 二；0R2兀鳥2<P甘2薄板距離為 d處的場(chǎng)圖13占強(qiáng).解答(1 )建 立坐標(biāo)系.在平面薄 板上取一寬度為 dx 的帶電直線，電荷的 線密度為d 入=6 x, 根據(jù)直線帶電線的 場(chǎng)強(qiáng)公式y(tǒng) “Ik"b0dxP x九6sin ,2 二；oR2方向沿著x軸正向.再計(jì)算兩根半無限長(zhǎng)帶電直線在圓心 產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng).根據(jù)上一題的 公式可得半無限 長(zhǎng)帶電直線在延長(zhǎng) 上O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 大小為4二；0R由于兩根半無限長(zhǎng)帶電直線對(duì)稱放置，它們?cè)贠點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為''71VEx = 2E cos=cos,22%R22二；°r得帶電直線在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為d

9、Ed2二；°r dx2二；0(b/2 a -x)其方向沿x軸正向.由于每條無限長(zhǎng)直線在 P點(diǎn)的產(chǎn)生的 場(chǎng)強(qiáng)方向相同，所以總場(chǎng)強(qiáng)為b/2-b/21b/2 a - xdx-crIn(b/ 2 a - x)b/2ln(1 -).2 二；0a-±/24dEz = dE cos v2 2、1/22二；o(b x )Ez2m°d場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正向.(2)為了便于觀察，將薄板旋轉(zhuǎn)建 立坐標(biāo) 系.仍然在 平面薄板上 取一寬度為 dx的帶電直 線，電荷的 線密度仍然 為d 入=od x, 帶電直線在Q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為d -dxdE2 科2 二；0r 2 二；0(b x )沿z軸方向的

10、分量為設(shè) x = dtan 0,貝U dx = dd “cos2 o,因止匕dEz 二 dE cosd2兀®積分得arctan(b/2d )_Ez 二.2 dr-arctan(b/2d) 20ub=arctan(). : ；02d場(chǎng)強(qiáng)方向沿z軸正向.討論(1)薄板單位長(zhǎng)度上電荷為入=ob式的場(chǎng)強(qiáng)可化為匚 九 In (1 +b/a) 2兀名 0ab/a '當(dāng)0時(shí)，薄板就變成一根直線，應(yīng)用羅必塔法則或泰勒展開式，場(chǎng)強(qiáng)公式變?yōu)镋,2 乂名o a這正是帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)公式.(2)也可以化為k arcta n(b/2d)Ez=2“db/2d ， 當(dāng)0時(shí)，薄板就變成一根直線，應(yīng)用羅 必塔法

11、則或泰勒展開式，場(chǎng)強(qiáng)公式變?yōu)檫@也是帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)公式. 當(dāng)bis時(shí)，可得Ez >這是無限大帶電平面所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)公式.12. 8 (1)點(diǎn)電荷q位于一個(gè)邊長(zhǎng)為a 的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過 立方體一面的電通量是多少？(2)如果將該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移到立方體 的的一個(gè)角上，這時(shí)通過立方體各面的電通 量是多少？解答點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電通量為e = q/ 05*(1) 當(dāng)點(diǎn)電荷放在中心時(shí)，電通量要 穿過6個(gè)面，通過每一面的電通量為 1 =e/6 = q/6 0(2) 當(dāng)點(diǎn)電荷放在一個(gè)頂角時(shí)，電通量要穿過8個(gè)卦限，立方體的3個(gè)面在一個(gè) 卦限中，通過每個(gè)面的電通量為 1 =e/24 = q/24 &

12、#163;0；立方體的另外3個(gè)面的法向與電力線垂直， 通過每個(gè)面的電通量為零.12. 9面電荷密度為 o的均勻無限大帶 電平板，以平板上的一點(diǎn) O為中心，R為半 徑作一半球面， 如圖所示求通 過此半球面的 電通量.解答設(shè)想在平板下面補(bǔ)一個(gè)半球面，與上面的半球面 合成一個(gè)球面.球面內(nèi)包含的電荷為q = nR o通過球面的電通量為5e = q/ D,通過半球面的電通量為 e = e/2 = nR </2 D 甘 dS § E dS ©E dSSo12. 10兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分 別為Ri和R2(Ri > R2)，帶有等量異號(hào)電荷， 單位長(zhǎng)度的電量為 入和-人求

13、(1 )r < R仁(2) Ri < r < R2； (3) r > R2處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解答由于電荷分布具有 軸對(duì)稱性，所以電場(chǎng)分布也具 有軸對(duì)稱性.(1)在內(nèi)圓柱面內(nèi)做一 同軸圓柱形高斯面，由于高斯 內(nèi)沒有電荷，所以E = 0 , (r < R1)= ES+E'S + 0 = 2ES, 高斯面內(nèi)的體積為包含的電量為根據(jù)高斯定理 可得場(chǎng)強(qiáng)為E =V = 2rS, q = pV = 2 p rS% = q/ d p r/0, (0W r w d/2).(2)在兩個(gè)圓柱之間做一長(zhǎng)度為I ,半徑為r的同軸圓柱形高斯面,高斯面內(nèi)包含的電荷為q =入,1穿過高斯面的

14、電通量為：e 二?S E dS 二 SEdS 二 E2二 rl ,根據(jù)高斯定理 e = q/ D,所以E, (R1 < r < R2).2m0r(3)在外圓柱面之外做一同軸圓柱形高 斯面，由于高斯內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，所以E = 0 , (r > R2).(2)穿過平板作一底面積為S,高為2r的圓柱形高斯面，通過高斯面的電通量仍 為 高斯面在板內(nèi)的體積為 包含的電量為 根據(jù)高斯定理 可得場(chǎng)強(qiáng)為方法二： (1 ) 由于平板的 可視很多薄 板疊而成 的，以r為 界，下面平 板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向上，上面平板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向下.在下面板中取一薄層 dy,面電 荷密度為 e = 2ES,

15、V = Sd, q = pV = p Sde = q/ DE = pd D, (r仝 d/2). 場(chǎng)強(qiáng)疊加法.E2dyd(x= pdy,產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dE1 = d/2 do,積分得12. 11 一厚度為d的均勻帶電無限大平板, 電荷體密度為p,求板內(nèi)外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解答方法一：高斯定理法.(1)由于平板具有面對(duì)稱性，因此產(chǎn) 生的場(chǎng)強(qiáng)的方向與平板垂直且對(duì)稱于中心 面：E = E' .丿2證噲呼同理，上面板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為在板 內(nèi)取一底 面積為S, 高為2r的 圓柱面作 為高斯面， 場(chǎng)強(qiáng)與上d /2 -E2J2；odS1F兩表面的法線方向平等而與側(cè)面垂直，通過高斯面的電通量為r處的總場(chǎng)強(qiáng)為 E

16、= E 1-E2 = p r/o. d(2)在公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E 1 =pdD,E就是平板表面的場(chǎng)強(qiáng).平板外的場(chǎng)強(qiáng)是無數(shù)個(gè)無限薄的帶電 平板產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加的結(jié)果，是均強(qiáng)電場(chǎng)， 方向與平板垂直，大小等于平板表面的場(chǎng) 強(qiáng)，也能得出式.7半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)圖 13.10R'a 00E0=a,方向也由0指向0'.證明在小球內(nèi)任一點(diǎn) P,大球和小球12.1212. 13的電荷體密度為P,若在球內(nèi)挖去 一塊半徑為 R'<R 的小球體，如圖所 示，試求兩球心0 與0'處的電場(chǎng)強(qiáng) 度，并證明小球空 腔內(nèi)的電場(chǎng)為均 強(qiáng)電場(chǎng).解答挖去

17、一塊小球體，相當(dāng)于在該處 填充一塊電荷體密度為-p的小球體，因此， 空間任何一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是兩個(gè)球體產(chǎn)生的場(chǎng) 強(qiáng)的疊加.對(duì)于一個(gè)半徑為R,電荷體密度為p的 球體來說，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P在球內(nèi)時(shí)，過P點(diǎn)作一 半徑為r的同心球形高斯面， 根據(jù)高斯定理 可得方程E4：r2P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為PE r .3®g當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P在球外時(shí)，過 P點(diǎn)作一半徑 為r的同心球形高斯面， 根據(jù)高斯定理可得 方程E4二r2 二丄4 二 R3, 名o 3體在0'點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，大球在 0點(diǎn)產(chǎn) 生的場(chǎng)強(qiáng)大小為方向如圖所示.設(shè)兩場(chǎng)強(qiáng)之間的夾角為 0,合場(chǎng)強(qiáng)的平 方為E2 =Er2 Er、2 2ErEr、cos寸i ' 2

18、22=()(r r' 2rr 'cost),3 ；o根據(jù)余弦定理得a2 二 r2 r - 2 r 'c o：s( ,)P所以E a ,3 ；o可見：空腔內(nèi)任意點(diǎn)的電場(chǎng)是一個(gè)常量還 可以證明：場(chǎng)強(qiáng)的方向沿著0到0'的方向.因此空腔內(nèi)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng).8#P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為#R312. 14如圖所示，在 A、B兩點(diǎn)處放 有電量分別為+q和-q的點(diǎn)電荷，AB間距離0點(diǎn)在大球體中心、小球體之外.大球 體在0點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，小球在 0點(diǎn)產(chǎn) 生的場(chǎng)強(qiáng)大小為E。?R'33；°a2，為2R,現(xiàn)將另一 正試驗(yàn)電荷q 0 從0點(diǎn)經(jīng)過半圓 弧路徑移到C點(diǎn)，求移動(dòng)過程中

19、電場(chǎng)力所做的功.方向由0指向0'.0'點(diǎn)在小球體中心、 大球體之內(nèi). 小球解答正負(fù)電荷在零:0點(diǎn)的電勢(shì)的和為Uo = 0;9在C點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為10q qq十=, 4 二；o3R 4 二；oR 6 二；o R12. 17電荷Q均勻地分布在半徑為 R 的球體內(nèi)，試證明離球心r (r<R)處的電勢(shì) 為#Q(3R-r2)8二；0R3電場(chǎng)力將正電荷q o從O移到C所做的功為W = qoUoD = qo(Uo-Ud) = q oq/6 n oR.#電荷的體密度為4二;or2,(r仝 R).12. 15真空中有兩塊相互平行的無限 大均勻帶電平面 A和B. A平面的電荷面密 度為2(r,

20、 B平面的電荷面密度為 兩面間 的距離為d.當(dāng)點(diǎn)電荷q從A面移到B面時(shí)， 電場(chǎng)力做的功為多少？解答兩平面產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分別 為Ea = 2(/2 so=(/ 33, EB = c/2 so,兩平面在它們之間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相反，因此，總場(chǎng)強(qiáng)大小為E = E a - Eb = /2 s, 方向由A平面指向B平面.兩平面間的電勢(shì)差為U = Ed = /d o當(dāng)點(diǎn)電荷q從A面移到B面時(shí)，電場(chǎng)力做的 功為W = qU = q /2 o .43證明球的體積為VR ,.Q3Q二3 .V4 二 R利用13. 10題的方法可求球內(nèi)外的電 場(chǎng)強(qiáng)度大小為Q 3 r , (r w R);4二；0 R取無窮遠(yuǎn)處的電

21、勢(shì)為零， 則r處的電勢(shì)QO=E dlr#12. 16 一半徑為R的均勻帶電球面, 帶電量為Q.若規(guī)定該球面上電勢(shì)值為零， 則無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為多少？丄3r 4二rdr由于解答帶電球面在外部產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為Ur -U ：E dl 二 EdrRRdr4叫RQ 28二；0R3 r-Q4二；or(r28二；0R32 2Q(3R -r )8- ；0R34二；0RQ4二 0R當(dāng)U R = 0時(shí),Q4二 oR平面間均勻充滿電何，電何體密度為P其他地方無電何.(1)求此帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)分布,畫E-y圖；(2)以y = 0作為零電勢(shì)面，求電勢(shì)分布，畫E-y圖.12.18在y = -b和y = b兩個(gè)"無限大”

22、11解答平板電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的方向與平板垂直且對(duì)稱于中心面: 反.E = E'，但方向相(1 )在 板內(nèi)取一底面 積為S,高為 2y的圓柱面 作為高斯面， 場(chǎng)強(qiáng)與上下兩 表面的法線方 向平等而與側(cè) 面垂直，通過 高斯面的電通 量為Si在y = b處U =-pb2/2 0,所以 C = p§/2因此電勢(shì)為2Uy -, (bW y).；o2 ；oU 二E dI 二nqbd -qb y C，'' Zo芯 o當(dāng)yW -b時(shí)，電勢(shì)為,PbPbU = - iE dIdy y C， 名 0S在 y = -b 處 U = - fb/2°,所以 C = pd/2 o,因

23、此電勢(shì)為£b；0e22 io12譏S E dS兩個(gè)公式綜合得#二 E dSE dSE dS 二 2ES 、S、S2高斯面內(nèi)的體積為 包含的電量為 根據(jù)高斯定理 可得場(chǎng)強(qiáng)為SoV = 2yS,q = pV= 2 p Sye = q/ o,E = p y/o, (-bW yW b).2bbu | y|-o2 ；o(|y|± d).穿過平板作一底面積為S,高為2y的圓柱形高斯面，通過高斯面的電通量仍為地這是兩條直線.U-y圖如右圖所示.U-y圖的斜率就形 成E-y圖，在y = ±)點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度是連續(xù)的， 因此，在U-y圖中兩條直線與拋物線在y =±點(diǎn)相切.#

24、e = 2ES,高斯面在板內(nèi)的體積為V = S2b,包含的電量為 q = pY= p 2b,根據(jù)高斯定理e = q/ os,可得場(chǎng)強(qiáng)為E = p b/o,(b W y)；E = - p bo,(yW - b).E-y圖如左圖所示.(2)對(duì)于平面之間的點(diǎn)，電勢(shì)為注意根據(jù)電場(chǎng)求電勢(shì)時(shí)，如果無法確 定零勢(shì)點(diǎn)，可不加積分的上下限，但是要在積分之后加一個(gè)積分常量.根據(jù)其他關(guān)系確 定常量，就能求出電勢(shì)，不過，線積分前面 要加一個(gè)負(fù)號(hào)，即13#這是因?yàn)榉e分的起點(diǎn)位置是積分下限.#(-b W yW b).在y = o處U = o,所以C = o，因此電勢(shì)為這是一條開口向下的拋物線.當(dāng)y仝b時(shí)，電勢(shì)為12. 1

25、9兩塊“無限大”平行帶電板如 圖所示，A板帶正電，B板帶負(fù)電并接地(地 的電勢(shì)為零)，設(shè)A和B兩 板相隔5.0c m,板上各帶電AB荷(=3.3 X10-6C m-2，求：p(1)在兩板之間離 A圖 13.16#板1.0cm處P點(diǎn)的電勢(shì)；(2) A板的電勢(shì).解答兩板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為總電勢(shì)為E= (/ o,方向從A指向B.rB以B板為原點(diǎn)建立 坐標(biāo)系，則花=0, rp = -0.04m , rA = -0.05m .(1) P點(diǎn)和B板間的 電勢(shì)差為ln(r -丨)4- ；0q8二；0LInUp -Ub 二 E dl = EdrrprpCT=(rB；0由于Ub = 0,所以P點(diǎn)的電勢(shì)為3.10_6

26、4UP臣 0.04 =1.493 >10 (V).8.84 10(2)同理可得A板的電勢(shì)為Ua(rB -心)=1.866 104(V).12. 20電量q均勻分布在長(zhǎng)為 2L的細(xì) 直線上，試求：(1) 帶電直線延長(zhǎng)線上離中點(diǎn)為r處 的電勢(shì)；(2) 帶電直線中垂線上離中點(diǎn)為r處 的電勢(shì)；(3) 由電勢(shì)梯度算出上述兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解答電荷的線密度為 入=q/2L .(1 )建 立坐標(biāo)系，在 細(xì)線上取一 線元dl,所帶 的電量為yI-r -J-LoI dI LP1 xdq = ?dl,根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式，它在電勢(shì)為P1點(diǎn)產(chǎn)生的dU11 dl4 二；° r T(2)建立 坐標(biāo)系，在細(xì)線

27、上取一線元dl, 所帶的電量為分線上的P2點(diǎn) 產(chǎn)生的電勢(shì)為積分得U2dq =對(duì)I,在線的垂直平4二；0dl(r2 I 2J 22 1/2 dl4- ；0 丄(r I )- LI n(>/r2 + I2 +1)I 二q t、r2L2LIn 8二；°LL2 - Lq . r2L2LIn4二；°L(3) P1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1.:U1；:r8二;0L(r - L_ q 14： ；0 r2 - L2方向沿著X軸正向.15P2點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)為E2 =rdU O dqrdr ,4聴°r坯q r r4二；°L r , r2 - L2( . r2 L

28、2L)球心處的總電勢(shì)為q 1?4二；°r 汀2L2Uor R2=一 rdrR1方向沿著y軸正向.討論習(xí)題13. 3的解答已經(jīng)計(jì)算了帶 電線的延長(zhǎng)線上的場(chǎng)強(qiáng)為1 2L2 24二；0 x - L這就是A點(diǎn)的電勢(shì) 過B點(diǎn)作一球 面，B的點(diǎn)電勢(shì)是球 面外的電荷和球面 內(nèi)的電荷共同產(chǎn)生 的.球面外的電荷Ua.由于2L入=q，取x = r,就得公式.(2)習(xí)題13. 3的解答還計(jì)算了中 垂線上的場(chǎng)強(qiáng)為在B點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)就等于這些電荷在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)，根據(jù)上面的推導(dǎo)可得Ey1 2L -4二；o d2、d； L2U1(U.2 -0取d2 = r，可得公式.由此可見，電場(chǎng)強(qiáng)度可用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理 計(jì)算，也

29、可以用電勢(shì)的關(guān)系計(jì)算.12. 21如圖所 示，一個(gè)均勻帶電， 內(nèi)、外半徑分別為 R1和R2的均勻帶電 球殼，所帶電荷體密 度為p試計(jì)算：(1) A, B兩點(diǎn) 的電勢(shì)；球面內(nèi)的電荷在 B點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)等于 這些電荷集中在球心處在 B點(diǎn)產(chǎn)生的電 勢(shì).球殼在球面內(nèi)的體積為V 斗(咱-R；),3包含的電量為Q = pV,這些電荷集中在球心時(shí)在 為U24：匚0中3 Mb強(qiáng).B點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)/ 33、(rB R ).(2)利用電勢(shì)梯度求A, B兩點(diǎn)的場(chǎng)解答(1) A點(diǎn)在球殼的空腔內(nèi)，空腔 內(nèi)的電勢(shì)處處相等，因此A點(diǎn)的電勢(shì)就等于B點(diǎn)的電勢(shì)為Ub = U 1 + U2P 22R3(3R；-r； -2邑).6-0rB(2) A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為球心0點(diǎn)的電勢(shì).在半徑為r的球 殼處取一厚度為dr的 薄殼，其體積為dV = 4 n ,包含的電量為2dq = pdV = 4 npdr,：Ua汁A=0.B點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為Ebr321