1.2傅立葉級數(shù)ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 第十一章第十一章 一、三角級數(shù)一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性 一、三角級數(shù)一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性1. 三角級數(shù)三角級數(shù))sincos(210 xnbxnaannn則, )(0 nnxu), 2, 1, 0(sincos)( nxnBxnAxunnn其其中中,200aA 令令), 2 , 1(, nbBaAnnnn 三角級數(shù)三角級數(shù)2. 研究意義研究意義( A: 振幅振幅, 復(fù)雜周期運(yùn)動復(fù)雜周期運(yùn)動 :)sin(10nnntnAAy )sincoscossin(10tnAtnAAnnnnn :角頻率角頻率, : 初

2、相初相 )(諧波迭加諧波迭加)sin(tAy 簡單周期運(yùn)動簡單周期運(yùn)動 :(1) 物理背景物理背景(2) 回憶回憶)1 . 6(),(,)(0RRxxaxfnnn 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：),(,)()(101RRxxaxaaxSxfnnn 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：的的要要求求過過高高對對)(1xf成成立立，若若)1 . 6(.),()(內(nèi)內(nèi)有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在則則RRxf 非非周周期期函函數(shù)數(shù))(21xSn 為為周周期期函函數(shù)數(shù)，若若)(xf)()(1xfxSn 則則用用.)(的周期特性的周期特性將失去將失去xf易于計(jì)算易于計(jì)算)1(展展開開成成三三角角級級數(shù)數(shù)，即即將將)(xf)2 . 6()sincos

3、(2)(10 xnbxnaaxfnnn Ix 3. 函數(shù)展開成三角級數(shù)的基本問題函數(shù)展開成三角級數(shù)的基本問題成成立立，若若)2 . 6(an = ?, bn = ?.則則可可克克服服上上述述兩兩個個缺缺點(diǎn)點(diǎn)展開式是否唯一展開式是否唯一?(2) 在什么條件下才能展開成三角級數(shù)在什么條件下才能展開成三角級數(shù)?(3) 三角級數(shù)的收斂域三角級數(shù)的收斂域? 展開式成立的范圍？展開式成立的范圍？4. 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性定義定義 (正交函數(shù)系正交函數(shù)系),2, 1,()( nbaxxn 設(shè)設(shè)有有函函數(shù)數(shù)系系：0d)()( bamnxxx 若若), 2 , 1,(nmnm 且且上上的的為為則

4、則稱稱,), 2 , 1()(banxn 正交函數(shù)系正交函數(shù)系.定理定理1 1,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx, 0sindcos1 nnxxnx, 0dsin1 xnx三角函數(shù)系三角函數(shù)系.上上正正交交，在在區(qū)區(qū)間間 證證0, 0, mnNmn. 0dcossin xnxmx), 2 , 1,( nm其中其中 0dcoscos2dcoscosxnxmxxnxmx 0d)cos()cos(xxmnxmn nmxnnxnmmnxmnmnxmn,)22sin(,)sin()sin(000 nmnm, 0 , 0sinsin nmnmnxdxmx類似地，得類

5、似地，得上的積分不等于上的積分不等于 0 ., 三角函數(shù)系中任兩相同函數(shù)的乘積在三角函數(shù)系中任兩相同函數(shù)的乘積在 注注 12 正交性正交性:)1(向量正交向量正交:)2(函數(shù)正交函數(shù)正交);(0 內(nèi)積為零內(nèi)積為零 ba).(0d)()(乘積積分為零乘積積分為零 baxxgxf二、以二、以2 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)1. 函數(shù)展開成三角級數(shù)的形式函數(shù)展開成三角級數(shù)的形式定理定理2 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 假假設(shè)設(shè) )3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf式式可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分，則則且且)3 . 6( )

6、,2, 1(dsin)(1 nxnxxfbn), 1,0(dcos)(1 nxnxxfan展開式是展開式是唯一的唯一的, , 且且 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù))3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf由由假假設(shè)設(shè)：證證 對對(6.3)逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 得得:)1(0a求求xkxbkxadxaxxfkkkd )sincos(2d)(10 ,220 a 0d)(1xxfa)dsindcos(d210 xkxbxkxaxakkk 由正交性由正交性, 值為零值為零:)2(na求求 xnxaxnxxfdcos2dcos)(0dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakk

7、k)3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf(6.3) cosnx, 再積分再積分由正交性由正交性, xxnandcos2 , na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n:)3(nb求求 xnxaxnxxfdsin2dsin)(0dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk, nb(6.3) sinnx, 再積分再積分)3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n2. 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) nnxnxxfa), 1,0(dcos)(1 nnxnxxfb

8、),2, 1(dsin)(1或或 20), 1, 0(dcos)(1nxnxxfan 20), 2, 1(dsin)(1nxnxxfbn(6.4)定義定義 ( (傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)) )：上上可可積積分分，若若三三角角級級數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè),)( xf 10)sincos(2nnnnxbnxaa則則稱稱此此是是傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)中中的的系系數(shù)數(shù)),4 . 6(,nnba3. 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)記記作作的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)的的周周期期為為三三角角級級數(shù)數(shù)是是,2)( xf)(xf 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf問題問題: : 1

9、0)sincos(2nnnnxbnxaa)(xf條件？條件？ ), 1, 0(dcos)(1nxnxxfan ), 2, 1(dsin)(1nxnxxfbn其中其中定理定理11.15 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè)以設(shè)以2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù) f (x)滿足狄利克雷條件滿足狄利克雷條件:1) 連續(xù)，或最多只有有限個第一類間斷點(diǎn)連續(xù)，或最多只有有限個第一類間斷點(diǎn);2) 最多只有有限個極值點(diǎn)最多只有有限個極值點(diǎn), 那么那么 f (x) 的傅里葉級數(shù)在的傅里葉級數(shù)在(-,+ )處處收斂處處收斂 , 且且在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi)4. 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的充分條件函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的

10、充分條件其其和和函函數(shù)數(shù) 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxS有有如如下下關(guān)關(guān)系系：與與)(xf注注函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多冪級數(shù)的條件低的多. .)( x, )(xf,2)()( xfxf x 為為f (x)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) x 為為f (x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) )(xS例例1 ,0,2;0,0;0, 1)(2)( xxxxxfxf為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)，且且是是以以設(shè)設(shè)).25()4(),()()( SSSxfxS及及，求求的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)解解)(xfy xyO-1-12-

11、-2-3 2), 2, 1, 0()( kkxxfk 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：)(xfy xyO-1-12- -2-3 2 )( S2)()( ff2)1(2 21 處處，在在端端點(diǎn)點(diǎn) x)2)( f2)()( ff處，處，在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn) 4 x2)0()0( ff )4( S周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù)為為是以是以 2)(xS )0(S22)1( 21 處，處，在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn)25 x )25( S)2( f )2( S)(xfy xyO-1-12- -2-3 22 -3)(xSy xyO-1-12- -2 25. 展開步驟展開步驟成成立立的的范范圍圍；式式在在間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)處處的的值值及及展展開

12、開的的和和函函數(shù)數(shù)的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，寫寫出出且且找找出出檢檢驗(yàn)驗(yàn)收收斂斂定定理理的的條條件件，對對于于)()()()(1xSxfxfxf;,2nnba確確定定傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)).(3包包括括展展開開式式成成立立的的范范圍圍寫寫出出展展開開式式xoy例例2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,( xxxxf0,00,)(將將 f (x) 展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù). 解解 2332設(shè)設(shè) f (x) 以以 2 為周期為周期 , 滿滿足足收收斂斂定定理理的的條條件件)(1xf), 2, 1, 0(,)12( kkxk 間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：2)()()( kkkxfxfxS22)(0 )

13、, 2, 1, 0( k連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(xfxxk 10)sincos(2)()(nnnnxbnxaaxSxf), 2, 1, 0,)12( kkx nnba ,2 確定傅里葉系數(shù)：確定傅里葉系數(shù)： xxfad)(10 0d1xxx 02212 xxxxf0,00,)( 0dcos1xxnx nxnxxfadcos)(1nnxnnxx 02cossin1nn2cos1 nn2)1(1 xxxxf0,00,)( xnxxfbndsin)(1 0dsin1xnxx), 2, 1( nnn 1)1( ), 2, 1( n,( x,)12( kx),2,1,0 k3 所求函數(shù)的傅里葉展開式為：所

14、求函數(shù)的傅里葉展開式為： 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfnbnn1)1( ， 2)1(1nann ,20a 4 sin)1(cos)1(1121nxnnxnnnn ,( x,)12( kx),2,1,0 k例例3 設(shè)設(shè) f (x) 以以 2 為周為周期期 , 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,( )0(0,0,00,)( ExExxExf常數(shù)常數(shù) 解解 將將 f (x) 展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù). 滿滿足足收收斂斂定定理理的的條條件件)(1xfOyx), 2, 1, 0(, mmxm 間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：2)()()( mmmxfxfxS02 EEEE 3 2 3 2 連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，

15、當(dāng)當(dāng))(xfxxm 10)sincos(2)()(nnnnxbnxaaxSxf), 2, 1, 0,)12( kkx ), 2, 1, 1(12,)(2),(0)( kkmExfkmxfxSmmmOyxEE 3 2 3 2 )(xfy nxnxxfadcos)(1),2,1,0(0 nnnba ,2 確確定定傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)：奇函數(shù)奇函數(shù) xExxExf0,0, 00,)( nxnxxfbdsin)(1 0dsin2xnxE 0cos2 nnxE nnEcos12 0dsin)(2xnxxf偶函數(shù)偶函數(shù)nb 0cos2 nnxE nnEcos12 nnE) 1(12 ,4 nE,0,5,3

16、,1 n當(dāng)當(dāng),6,4,2 n當(dāng)當(dāng)an=0Exf4)( 故故xnnn)12sin(1211 ),3,( xx 33sinsin4)(xxxf ),3,( xx正弦波的疊加傅氏級正弦波的疊加傅氏級數(shù)的部分和逼近數(shù)的部分和逼近 f (x) 的情況見右圖的情況見右圖.注注77sin x 99sin x55sin x 矩形波是無窮多矩形波是無窮多三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)2. 奇、偶函數(shù)奇、偶函數(shù)(周期周期:2 )的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)定理定理3 周期為周期為 2 的奇的奇(偶偶)函數(shù)函數(shù)f (x), ),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan),3,2,1( 0 nbn)

17、,2,1,0( 0 nan nnxnxxfb0),3,2,1(dsin)(2為正為正(余余)弦級數(shù)弦級數(shù), 傅里葉系數(shù)為傅里葉系數(shù)為(1. 定義定義 正正(余余)弦級數(shù)弦級數(shù): 1sinnnnxb 10)cos2(nnnxaa其傅里葉級數(shù)其傅里葉級數(shù))例例4 xxxxxf0, 0,)(oyx xxfa00d)(2 xx0d2 nxnxxfa0dcos)(2 xnxx0dcos2nnxnnxx02cossin2 解解 將將f(x)展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù) .設(shè)設(shè) f (x) 以以 2 為周為周期期 , 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,( f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)(如圖如圖), 可展成余弦級數(shù). 0

18、 nb1)1( 22 nn x3cos312na, 6 , 4 , 2,0 nnxaaxfnncos2)(10 故故2 4 xcos xnnx)12cos()12(15cos5122)( x1) 1( 22 nn,42n , 5 , 3 , 1 na 00 nb例例5 當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí), f (0) = 0 , 得得求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和.函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的應(yīng)用： xnnx)12cos()12(15cos5122 x3cos3122)( xf 4 xcos注注.)12(112的和的和求求 nn解解 xxxxxf0, 0,)()( x)12(131142022 n 2222)12(1513118n42 因因,421 312 故故.242 設(shè)設(shè),4131211222 22217151311,6141212222 知知821 2223413121124 213 ,62 .12248222 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)函數(shù)(周期周期: 2)的傅里葉展開的傅里葉展開: )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn ):(連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)x其中其中 nxxnxf