二次曲線上的四點共圓問題的完整結(jié)論

1、二次曲線上的四點共圓問題的完整結(jié)論百年前，著名教材坐標幾何(Loney 著)中曾提到橢圓上四點共圓的一個必要條件是2 2這四點的離心角之和為周角的整數(shù)倍(橢圓 篤=1(a 0,b 0)上任一點A的坐標可a2b2以表示為(acosbsinr)(r R)，角二就叫做點A的離心角)，證明方法十分巧妙，還要運用高次方程的韋達定理這一條件是否充分，一直是懸案在 20 世紀 80 年代編寫數(shù)學題解 辭典(平面解析幾何)時，仍未解決到 20 世紀年代初編寫中學數(shù)學范例點評時，才證 明了此條件的充分性.1,22016 年高考四川卷文科第 20 題，2011 年高考全國大綱卷理科第21 題，2005 年高考湖北

2、卷理科第 21 題(也即文科第 22 題)及 2002 年高考江蘇、廣東卷第 20 題都是關(guān)于二次曲線 上四點共圓的問題(見文獻3,4).筆者曾由 2005 年的這道高考題得出了二次曲線上四點共 圓的一個簡潔充要條件(其證明也很簡潔但有技巧)：若兩條直線h : y -y0= K (x -x0)(i = 1,2)與二次 曲線2 2-:ax by cx dy 0(-= b)有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是k1k0.文獻2還用此結(jié)論證得了“橢圓上的四點共圓的充要條件是這四點的離心角之和為周 角的整數(shù)倍” 文獻5用較長的篇幅得出了下面的兩個結(jié)論(即原文末的命題 7、8):結(jié)論 1 拋物線y2=

3、2px的內(nèi)接四邊形同時內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中有一對直線的傾斜角互補結(jié)論 2 圓錐曲線mx2 ny2=1(mn =0,m= n)的內(nèi)接四邊形同時內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中有一對直線的傾斜角互補請注意，文獻5中所涉及的直線的斜率均存在，所以這兩個結(jié)論均正確但不夠完整，本文將給出二次曲線上的四點共圓問題的完整結(jié)論，即文末的推論4.定理 1 若兩條二次曲線ax2by2cx dy e =0(a = b)，a x2b y2cx d y e = 0有四個交點，則這四個交點共圓 .證明 過這四個交點的二次曲線一定能表示成以下形

4、式(,不同時為 0): (ax2by2cx dy e)訂二(a x2b y2cx d y e) = 0式左邊的展開式中不含xy的項，選-1時，再令式左邊的展開式中含x2, y2項的系數(shù)相等，得二匚E，此時曲線即b -a2 2xycxdye=O的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡 而題中的四個交點都在曲線上，所以曲線表示圓 這就證得了四個交點共圓 定理2若兩條直線|耳乂 +0丫+&=00=1,2)與二次曲線2 2-:ax by ex dy e = 0(a = b)有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是a|b2a2d = 0. .證明由組成的曲線即(aix

5、biy Ci)(a2X b2y C2) = 0所以經(jīng)過它與丨的四個交點的二次曲線一定能表示成以下形式(，不同時為 0):2 2 (ax by ex dy e)_(aix by Ci)(a2X b2y C2) = 0必要性 若四個交點共圓，則存在廠I使方程表示圓，所以式左邊的展開式中含xy項的系數(shù)叫玄截玄截 a20) =0 而=0( (否則表示曲線丨，不表示圓) )，所以aib? a?bi = 0 充分性 當aib2azbi=0時，式左邊的展開式中不含xy的項，選-1時，再令式左邊的展開式中含x2, y2項的系數(shù)相等，即 a aia b bib2，得二色blbg b a此時曲線即x2y2ex d

6、 y e = 0的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡 而題中的四個交點都在曲線上，所以曲線表示圓 這就證得了四個交點共圓 2 2推論 i 若兩條直線與二次曲線 丨：ax by ex dy e = 0(a = b)有四個交點，貝U這四個交點共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù) 證明 設(shè)兩條直線為h : ax+0y+Ci=0(i =i,2)， 由定理 2 得， 四個交點共圓的充要 條件是aib2 a2bi= 0.(i)當li/I2即aiba2b1時，得四個交點共圓的充要條件即aib a2d =0也即ai= a：=0或D = b2

7、=0. .當ii與12不平行即ajb2= a2b時，由 吐2玄2“二0得ajb2= 0,a2b =0,所以四個交點共圓的充要條件即 一蟲+ -a2= 0也即直線11,12的斜率均存在且均不為0 且互為j b丿.b丿相反數(shù).由此可得欲證成立.X2y2高考題 1 （2016 年高考四川卷文科第 20 題）已知橢圓E: -2a b 0的一a b個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點P=/3,|在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；1（2）設(shè)不過原點O且斜率為一的直線I與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的2中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：MA，MB = MCMD.2解（1）（過程略

8、）橢圓E的方程是 y2= 1.4(2)設(shè)A(X1,yJ，Bgy2)，線段AB的中點為M(x,y).2 2可得兇- yj =1,生y22=1，把它們相減后分解因式(即點差法)，再得44(X1綁2)一 (yXyr)41, aX1X2X0kAB -2X1-X2-4(% y2)-4y再由相交弦定理，立得MA MB = MC MD.競賽題 1 （2014年全國高中數(shù)學聯(lián)賽湖北賽區(qū)預賽第13 題）設(shè)AB為雙曲線2y2x-y =上的兩點，點 N1,2）為線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與雙曲線交于CkCDX02所以kABkCD=0，由推論1 得A,B,C,D四點共圓.D兩點.(1)確定的取值范圍；(2)

9、試判斷A、B C D四點是否共圓？并說明理由.2簡解(1)用點差法可求得直線AB的方程是y=x1，由直線AB與雙曲線 一L仝2交于不同的兩點，可得/1且=0.2得直線CD的方程是y = -x 3，由直線CD與雙曲線x2-上交于不同的兩點，可2得/、一-9且=0.所以的取值范圍是(-1,0)一(0：).(2)在的解答中已kABkcD=0，所以由推論 1 立得代B,C, D四點共圓.筆者還發(fā)現(xiàn)還有一道競賽題和四道高考題及均是二次曲線上的四點共圓問題，所以用以上定理的證法均可給出它們的簡解.這五道題及其答案分別是：高考題 2 (2014 年高考全國大綱卷理科第21 題(即文科第 22 題)已知拋物線

10、 C：2y =2px(p 0)的焦點為F，直線y =4與 y 軸的交點為P，與C的交點為Q，且QF =5PQ.4(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A, B兩點，若AB的垂直平分線與C相交于M ,N兩點，且A,M ,B, N四點在同一圓上，求丨的方程.(答案：(1)y = 4x； (2)x-y-1=0或x y-1=0.)高考題 3 (2011 年高考全國大綱卷理科第21 題(即文科的 22 題)如圖 1 所示，已知O2為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：x21在 y 軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-2的直線2丨與C交于A,B兩點，點P滿足OA，OBOP=0.圖 1(1)證明：點P在C上;設(shè)點P關(guān)

11、于點0的對稱點為Q，證明：A, P,B,Q四點在同一圓上高考題 4 (2005年高考湖北卷文科第22 題(即理科第21 題)設(shè)代B是橢圓2 23x y二上的兩點，點N(1,3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與該橢圓交 于C,D兩點(1) 確定的取值范圍，并求直線AB的方程；(2) 試判斷是否存在這樣的，使得A,B,C, D四點在同一圓上？并說明理由(答案：，的取值范圍是(12：)，直線AB的方程是xy4 =0； (2)當，12時時，均有 代B,C,D四點在同一圓上.)2高考題 5 (2002 年高考江蘇卷第20 題)設(shè)A, B是雙曲線x -1上的兩點，點2NN(1,2)是線段AB的中點

12、.(1) 求直線AB的方程；(2) 如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C,D兩點，那么A, B,C,D四點是否共圓？為什么？(答案：(1)y =x 1； (2)是.)競賽題 2 (2009 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復賽試題第一試第三題)如圖 2 所示，拋物線y2=2x及點P(1,1)，過點P的不重合的直線12與此拋物線分別交于點A,B,C,D.證明：A,B,C,D四點共圓的充要條件是直線|1與|2的傾斜角互補推論 2 設(shè)二次曲線-：ax2by2cx dy0( a = b)上的四個點連成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，在該四邊形的的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中：若有一對直線的斜率均不存在，

13、則另兩對直線的斜率均存在且均互為相反數(shù)；若有一對直線的斜率均存在且均互為相反數(shù)，則另兩對直線的斜率也均存在且均互為相反數(shù)，或另兩對直線的斜率中有一對均不存在另一對均存在且互為相反數(shù)證明 設(shè)圓內(nèi)接四邊形是四邊形ABCD，其兩組對邊AB與CD、AD與BC及對角 線AC與BD所中的直線分別是li: aiiX+gy +5 =0(i =1,2)l2i: a2iX b2iyQ=0(i =1,2)b : ax b3iy C3i=0(i =1,2)由定理中的充分性知，若四個交點共圓，則以下等式之一成立:ai1b12 ai2b11=0, a21b22 a22b21=0,a31b32 a32b31=0再運用定理

14、2 中的必要性知，若四個交點共圓，則以上等式均成立再由推論 1 的證明, 可得欲證成立.推論 2 的極限情形是推論 3 設(shè)點A是定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)C上的定點但不是頂 點，E、F是C上的兩個動點，直線AE、AF的斜率互為相反數(shù)，則直線EF的斜率為曲 線C過點A的切線斜率的相反數(shù)(定值).由推論 3 可立得以下三道高考題中關(guān)于定值的答案：的定點，E、F是C上的兩個動點，直線AE、AF的斜率互為相反數(shù)，證明EF直線的斜1率為定值，并求出這個定值.(答案：一)217(2)題)如圖 3，過拋物線y2=2px(p 0)上一定點P(x0,y)(y。.0)作兩條直線分別交拋物線于A(X

15、1,yJ,B(X2, y2).當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1*的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).(答案:y。高考題 6 (2009 年高考遼寧卷理科第20(2)題)已知A 1,- j是橢圓C： 2丿高考題 7(2004 年高考北京卷理科第y1yy0 -2；kAB.)y。圖 3高考題 8 (2004 年高考北京卷文科第17(2)題)如圖 3，拋物線關(guān)于X軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2),A(xi,yi),B(X2，y2)均在拋物線上當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求- y的值及直線AB的斜率.(答案：yiy-4；kAB二-1.)推論 4 設(shè)二次曲線:ax2by2

16、cx dy 0(a = b)上的四個點連成的四邊形是 圓內(nèi)接四邊形，則該四邊形只能是以下三種情形之一：(1) 兩組對邊分別與坐標軸平行的矩形；(2) 底邊與坐標軸平行的等腰梯形；(3) 兩組對邊均不平行的四邊形，但在其兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，每對直線的斜率均存在且均不為0 且均互為相反數(shù).證明 推論 2 中的圓內(nèi)接四邊形，只能是以下三種情形之一：(1) 是平行四邊形.由推論 2 知，該平行四邊形只能是兩組對邊分別與坐標軸平行的矩 形.(2) 是梯形.由推論 2 知，該梯形的底邊與坐標軸平行， 兩腰所在直線的斜率及兩條對角線所在直線的斜率均存在且均不為0 且均互為相反數(shù)，可得該梯形是底邊與坐標軸平行的等腰梯形.(3) 兩組對邊均不平行的四邊形.由推論 2 知，該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中，每對直線的斜率均存在且均不為0 且均互為相反數(shù)(本文中的所有結(jié)論及部分題目在文獻6中均有論述.)參