高考數(shù)學(xué)一輪必備7.4《基本不等式》考情分析學(xué)案

1、7.4基本不等式考情分析基本不等式的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)，包括利用基本不等式解決函數(shù)的最大(小)值問題 和簡(jiǎn)單的證明問題，基本不等式在高考中，還會(huì)與幾何、函數(shù)、數(shù)列、倒數(shù)、三角等知識(shí)相 結(jié)合。其作用在于求最值，往往在解答題中體現(xiàn)的較多。基礎(chǔ)知識(shí)1 .重要不等式：如果 a、bCR,那么a 2 + b 2 >2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào))a b2 .定理：如果a, b是正數(shù)，那么 一一 >yfab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=”號(hào))2 b23、常用不等關(guān)系：abw a_b_, ab (-ab)222a2+ b2>2 ab逆用就注意事項(xiàng)1 .運(yùn)用公

2、式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如一a2+ b2 a+b , a+b2一 、“一,是 abw2 ； 2>yOb(a, b>0)逆用就是 ab<(a, b>0)等.還要注息 添、拆 項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等.a2+ b2a+ b o,，一，.一(2)a2+b2 a+b2 .(1) 2 > -2- 2>ab(a, bCR,當(dāng)且僅當(dāng) a=rb時(shí)取等號(hào))；/ab>y2(a>0, b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào)). a + b這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們.3(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“

3、一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可.(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆” “拼” “湊”等技巧，使其滿足基本不等式中 “正” “定” “等”的條件.(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致.題型一 利用基本不等式求最值【例1】若向量a=(x1,2) , b=(4, y)相互垂直，則9x+3y的最小值為()A. 12B. 2 3C. 3 2D. 6答案：D解析：依題意得4(x-1) +2y=0,即2x+y=2,9x+3y=32x+3y V2M32xX3y=2/3，=2平=6,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=1時(shí)取等號(hào)，因此 9x

4、+3y的最小值是6,選D.【變式1（1）已知x>1,則f（x） =x + x1y的最小值為-22,(2)已知0Vx<-,則y=2x 5x的最大值為 5(3)若x, yC(0,+8)且2x + 8y xy = 0,則x+y的最小值為1解析 (1) .x>1, - f (x) =(x-1)+x+1>2+ 1 = 3 當(dāng)且僅當(dāng) x=2 時(shí)取等21(2) y = 2x 5x = x(2 5x) = 5 , 5 x , (2 5x),-2- 0<x<-, - 5x< 2,F2- 5x>0, 55x(2 -5x)< 5x+2-5x 2=11.yw5,

5、當(dāng)且僅當(dāng)5x=25x，即 x=0寸,ymax=.55由 2rx+8y xy= 0,彳導(dǎo) 2x + 8y=xy, x+ y= (x+ y)8 2- 8y 2x一十一 = 10+ 4y x= 10 + 2 上+- >10+2X2X4yx,一一 -= 18, x y當(dāng)且僅當(dāng)4y x，一，.一:y,即x=2y時(shí)取等號(hào)，又 2x+8y xy= 0,，x=12, y=6,當(dāng)x= 12, y=6時(shí)，x+y取最小值18.-1答案 (1)3(2) 5 (3)18題型二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a>0, b>0, a+b=1,求證:(1) -+1+->8;a b ab（2）（1

6、+/ +）>9x y1011111 a+b 1 1證明：+而二+丘+盍=找公十君'a+ b= 1, a>0, b>0,a+b a+ba b=2 + + > 2+ 2=4, b a1 11一，1 一.a+U獷8（當(dāng)且僅當(dāng)a= b=2時(shí)等號(hào)成立）（2）方法a>0, b>0, a+b=1,1 + - = 1+a = 2 + b, a a a1a同理，1+%=2+二, bb11.(1+a)(1 +Rb a=(2 + a)(2 + b)_ . b a._ 一=5+ 2( + -) >5+ 4 = 9.a b11，1 一一，、.（1+a）（1 +R>

7、9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立）.方法二 (1 +A(1 +?) = 1 + 工 + ：+二.由(1)知，-+7 + -t>8, a b a b aba b ab故(1 +(11+ b)=,111、c1 + + -+ >9a b ab【變式2】已知 a>0, b>0, c>0,且 a+b+c=1.1 11 .求證：-+二+->9.a b c證明a>0, b>0, c>0,且 a+b + c=1,1 1 a+b+c a+b+c a+b+c-+ + =+a b c a=3+ 二+二+b+b+c十二b a=3+ a+bc a+ 一+一a cc

8、b-+ 一b c>3+ 2+2+ 2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)，取等號(hào) 題型三利用基本不等式解決恒成立問題 x【例3】若對(duì)任意X> 0, X21 Wa恒成立,則a的取值范圍是 X X 解析右對(duì)任息x>0,2Wa恒成立,只需求得y=2的取大值即可,因?yàn)閄X十3X十1X十3X十1>0,所以y=X=1時(shí)取等號(hào)，所以a的取X2"X + 3x+ 1一 1值氾圍無5, +OO1.答案 ",+°°5【變式3】已知X>0,y>0, Xy = x+2y,若Xy > m-2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是 解析 由 x>0, y

9、>0, xy=x+2y>2 42而，得 xy>8,于是由 mv2Wxy 恒成立，得 mi-2<8, 10,故m的最大值為10.答案 10題型四利用基本不等式解實(shí)際問題【例4】某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè) r優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計(jì)劃建一個(gè)正八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCW EFGH勾成的面積為200 m2的十字型區(qū)域.現(xiàn)計(jì)劃在正方形MNPQ:建一花壇，造價(jià)為 4200元/m2,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價(jià)為 210元/m2,再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為 80元 /m2.(1)設(shè)總造價(jià)為S元，AD的長(zhǎng)為x m,試建立S

10、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)計(jì)劃至少投入多少元，才能建造這個(gè)休閑小區(qū).解：(1)設(shè) DOv,2一200- X2貝U x + 4xy = 200,兇=-4.212S= 4200X +210X 4 xy + 80X4X 2y=38000+4000x2 + 4000000(0<x<10V2). x(2) S= 38000+ 4000x2+400000 x>38000+ 216X10° = 118000,當(dāng)且僅當(dāng) 4000X2 = 400000,即 X=/時(shí)，Snin= 118000(元)，即計(jì)劃至少要投入11.8萬元才能建造這個(gè)休閑小區(qū).【變式3】東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量

11、為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為 100元，固定成本為8_0元.從今年起，工廠投入 100萬元科技成本.并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本.預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增 1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本 g(n)與科技成 本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n)=備.若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第 n次投入后的年利 潤(rùn)為f(n)萬元.(1)求出f(n)的表達(dá)式；(2)求從今年算起第幾年利潤(rùn)最高？,最高利潤(rùn)為多少萬元？解(1)第n次投入后，產(chǎn)量為(10+n)萬件，銷售價(jià)格為100元，固定成.本為誓=元，科S+1技成本投入為100 n萬元.所以，年利潤(rùn)為f ( n) = (10 + n) 100 _*100

12、n(nC N).100n=1 000-80 n+1 +<520(萬元).當(dāng)且僅當(dāng)n+1 =_9_n+ 1'(2)由(1)知 f (n) =(10 + n) 100 即n=8時(shí)，利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)為 520萬元.所以，從今年算起第8年利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)為 520萬元.重難點(diǎn)突破1 2,【例5】？已知a>0, b>0,且a+b=1,求-的最小值.a b1 2 a+ b=解析:a>0, b>0,且 a+b=1,1.2._ b 2a _ _ b 2a _一一a+ b (a+b)=1+2+->3+2 7a6=3+22.當(dāng)且僅當(dāng)a+ b= 1,b 2aa- b，

13、a= V2- 1,b=2- 2時(shí),1 2一_a+ b的取小值為3+2 2.鞏固提高1.已知mi= a+a2（a>2）, n = （；） x22（x<0）,則 m n之間的大小關(guān)系是（）A. m>nC. m= nB. m<nD. me n答案：A解析：a>2, x<0,，-1- - m= (a 2) + a_ 2 + 2>2a I a-2-+ 2=4,a-2n= 22x2<22= 4, 1, m>n,故選 A.2.若0<x<1,則當(dāng)f(x) =x(4 3x)取得最大值時(shí)，x的值為()A.B.C.D.答案：D解析：: 0<x&

14、lt;1, 1一 c、 - f (x) = x(4 - 3x) = - - 3x(4 3x)31<-x33x+4-3x 2 42) =?當(dāng)且僅當(dāng)3x=4- 3x,即x = 2時(shí)，取得“="，故選.D.33.函數(shù)y=2x + 2x+ 2Y . （一（x>1）的圖象最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（）x i 1A. (1,2)B. (1 ， -2)C. (1,1)D. (0,2)答案：Dx+1 2+1. 1 一解析：y= x1 =x+ 1+應(yīng)1 >2,1當(dāng)x+uxrr，即x=°時(shí),y最小值為2,故選口項(xiàng).14.已知 f(x)=x + 2(x<0),貝U f(x)有()xB.最小值為0A.最大值為0C.最大值為4D.最小值為一4答案：C解析：x<0,- x>0, x + -_ 2 = - ( - x +) - 2 w _2* / - x -2 = - 4x x7 x當(dāng)且僅當(dāng)x=2,即x=T時(shí),等號(hào)成立.a b5