具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型的最優(yōu)控制綜述

1、具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型的最優(yōu)控制趙立純J李秀穎1,2,張慶靈3,黃玉潔J劉敬娜1(1.鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 鞍山114007;2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連1160293 東北大學(xué)理學(xué)院，遼寧沈陽510275)摘要：根據(jù)經(jīng)濟學(xué)和生態(tài)學(xué)原理建立具有連續(xù)和脈沖效應(yīng)的最優(yōu)漁業(yè)管理模型利用最優(yōu)脈沖控制原理，得到該模型的最優(yōu)連續(xù)和脈沖時刻以及相應(yīng)的種群數(shù)量.最后，通過數(shù)值模擬驗證結(jié)論的有效性.關(guān)鍵詞：漁業(yè)管理模型；脈沖控制；最優(yōu)控制原理中圖分類號：0232文獻標(biāo)識碼：A文章篇號：0引言近些年，再生性資源的管理問題引起了許多學(xué)者的關(guān)注，一些學(xué)者以生態(tài)學(xué)為基礎(chǔ)，建立了種群生態(tài)管理模型，并

2、研究生態(tài)種群的持續(xù)生存以及最優(yōu)管理問題 ，上述模型中的控制都是連續(xù)的1-7，而一些生物種群的數(shù)量會由于自然或人為的原因在很時間內(nèi)發(fā)生極大變化，脈沖微分方程能客觀地描述這些現(xiàn)象 二十世紀九十年代有關(guān)脈沖微分方程的理論研究取得了一些進展8-10，并且這些理論得到了廣泛的應(yīng)用 11-13.值得一提的是，Blaquiere將博弈論與脈沖微分方程理論相結(jié)合得出最優(yōu)脈沖控制原理14.這一理論在生態(tài)系統(tǒng)中得到了一些應(yīng)用15-18，文獻16中，作者根據(jù)動物在兩個斑塊間轉(zhuǎn)換，建立了以食物剩余量為狀態(tài)且具有脈沖效應(yīng)的微分方程，利用脈沖微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制理論研究了最優(yōu)搜尋問題，得到了最優(yōu)搜尋時刻文獻17中,作者利用

3、脈沖微分系統(tǒng)的最優(yōu)控制原理研究了具有Logistic增長的單種群模型的脈沖最優(yōu)控制問題，得到了最優(yōu)捕獲時間和最優(yōu)捕獲量文獻18中,作者將微分方程周期理論與脈沖控制理論結(jié)合，利用最優(yōu)脈沖控制原理討論了具有周期系數(shù)的單種群模型的最優(yōu)脈沖控制，得到了相應(yīng)模型的最優(yōu)捕獲效果但上述研究值強調(diào)了脈沖捕獲，而沒有連續(xù)捕獲對于只有連續(xù)狀態(tài)的管理模型缺乏對脈沖現(xiàn)象的表述，對于只有脈沖控制的管理模型又缺乏對連續(xù)狀態(tài)的描述.實際上漁民在養(yǎng)魚的過程中，可能有集中捕獲的發(fā)生，也可能有分散捕獲的發(fā)生，這樣，同時具有連續(xù)和脈沖捕獲 的漁業(yè)管理模型成為刻畫這一過程的有力工具所以，本文以此為背景，研究了具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)

4、管理模型的最優(yōu)控制問題，具體結(jié)構(gòu)如下：第一部分，根據(jù)生態(tài)學(xué)原理，建立具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)模型，再根據(jù)經(jīng)濟學(xué)原理,設(shè)立使?jié)O民獲得最大經(jīng)濟利益的性能指標(biāo)，從而構(gòu)成漁業(yè)管理模型第二部分,根據(jù)最優(yōu)脈沖控制原理研究所建模型的最優(yōu)脈沖控制問題，得到最優(yōu)連續(xù)控制以及相應(yīng)的種群數(shù)量和最優(yōu)脈沖捕獲時刻和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平.第三部分，利用數(shù)值模擬驗證結(jié)論的有效性收稿日期:2011-10-基金項目：遼寧省自然科學(xué)基金資助項目(20092179).作者簡介：李秀穎(1986-),女,遼寧朝陽人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 2009級研究生E-main: shuxuexi22lxy .2.1)1模型建立在如下四個假設(shè)情況

5、，建立漁業(yè)管理模型：(1)漁民管理魚池中的魚種群按Logistic增長規(guī)律增長，則魚池中魚種群數(shù)量可由以下模型表示19其中x(t)是魚池中魚種群在t時刻的種群數(shù)量,xx 二1 - k)，x(0) =x0,(1,r是魚種群的內(nèi)稟增長率，K是魚池的承載能力，X)是初始時刻中魚池中魚的數(shù)量，且r, K,xo均為正數(shù).(2)漁民需要每天提供一定數(shù)量的魚種群，長期進行可看作時對魚種群的連續(xù)捕獲，單位時間內(nèi)捕撈量與魚量成正比，則單位時間的捕撈量為hx,具體過程可由以下模型表述x 十)hx,x(0)二人，(1.2)其中h表示連續(xù)捕獲強度,h(t) hmin，hmax，(h .0) (3)某一季節(jié)市場大量需要

6、魚種群，需要對魚種群進行大量捕撈，此時會導(dǎo)致魚的數(shù)量在極短時間內(nèi)發(fā)生很大的變化，脈沖捕獲能客觀地描述這些現(xiàn)象結(jié)合具有連續(xù)捕獲的模型，則可得出具有連續(xù)和脈沖效應(yīng)的漁業(yè)模型X(t) =rx(1_XK)_hx,' ex = -Ex,x(0) =x°.t丸,t =tc,(1.3)其中tc是脈沖捕獲時刻，E是脈沖捕獲時刻的捕獲率(4)從經(jīng)濟角度講，漁民經(jīng)營魚池的主要目的是通過捕獲魚種群來獲得經(jīng)濟利益，此經(jīng)濟利益是從捕獲魚種群所得的收入中減去開支得到的，假設(shè)漁民管理魚池在時間段0, T內(nèi)獲得的總利潤為TW(T) = 0 (R _S(x)hxdtLEx(tc)C,(1.4)其中:二0,1是

7、脈沖控制變量(=0表示無脈沖發(fā)生，=1表示脈沖發(fā)生)；R( 0)是平時捕獲過程中單位魚種群的價格,L( -0)是脈沖捕獲時單位魚種群的價格；C( 0)是脈沖捕獲成本.S(x)是捕獲單位魚種群x(t)的成本.注1平時的捕獲量會小于脈沖捕獲量，平時捕獲過程中魚的價格會大于脈沖捕獲時魚的價格，即R L.注2對模型(1 .4)，一般有dS dx ：:0, S(x) 0，根據(jù)文獻13，不妨假設(shè)S(x)二.x 注3為使總利潤W(T)最大,只需使-W(T)最小,根據(jù)最優(yōu)控制原理，可設(shè)性能指標(biāo)為V(x°,s,x() - -W(T).綜上所述，得出以下具有連續(xù)和脈沖捕獲的漁業(yè)管理模型(1.5)3xx=

8、rx(1 ) _hx, t =t K(1.6).x = -Ex,t =tcx(to) =Xo，TV(Xo,s,x() = - 0 (R -S(x)hxdtLEx(tc) -C.針對模型(1 .6)，利用最優(yōu)脈沖控制原理，確定使V(x°,s,x()取最小值的最優(yōu)連續(xù)控制轉(zhuǎn)換時刻以及相應(yīng)的最 優(yōu)捕獲水平與最優(yōu)脈沖捕獲時刻和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平2預(yù)備知識本部分介紹最優(yōu)脈沖控制原理，以備后用.設(shè)狀態(tài)變量為x(t) =X1(t),X2(t),Xn(t)T ( Xn(t)三t )，并且X R ,U,分別為正?？刂谱兞亢兔}沖控制變 量,假設(shè)f (), g()為C1函數(shù)且滿足：f () :X U &g

9、t; Rn,g(): X M > Rn,f°():X U > R, g°()：X M > R,這里 f()二f1,f2,fn, g()二g1,g2,gn,fn(X,U)三 1,gn(X,)三0.設(shè)目標(biāo)函數(shù)為V(x°,s,x() - %(x(tf)t： f°(x(t), p(x(t)dt 'g°(x(t),二(x(t),t曰t0 ,tf 1這里"(x(tf)是C函數(shù),T(t0,tf)是t0,tf中的脈沖點.定義2.114 s*在x0是最優(yōu)的當(dāng)且僅當(dāng)(i) s在x0是可行性策略；(II ) V(x , s ,x

10、() EV(x ,s,x() , -s J(x ), -x() I (x , s),x ( V I (x , s );這里j(x0)表示X0處所有可行性策略,I(x0,s)是從X0出發(fā)的由s引起的目標(biāo)集.I(x0,s*)是從X0出發(fā)的由s*引起 的目標(biāo)集.設(shè)(1)'(t)：ti,tjr Rn 1是(ti,tj上具有左連續(xù)的分段連續(xù)函數(shù)；_n 4 r宀r H (：, x,u) =m(x, u),.;n 4 “Hc(x,")=d：.(tc 0)g：.(x, J).定理 2.114存在.0, ：.(t), "0,1, n-1 是方程7dt:H-Xxn*(t),u =p*(

11、t)(b)&tc)=血+0)；次d X&(tc),£(X)在tc - ., tc和tc, tc.上的解,并且滿足下列關(guān)系(i) min H(t),x*(t),u) =H(t),x*(t), p*(x*(t)，一t J 一 t,tu爭u(ii) mnjc(x*(tc),円=Hc(x*(tc), F(x*(tc)；(iii ) mn H(h(tc +0),x*(tc +0),u)mp H(h(tc),x*(tc),u) =(£Hc(x,4)/次n) x&(tc),g(x)u Kuu -Ku(iv) o(t)三 1, t (tc 一，tc.；(v) mp

12、H (丸(tc+0), X (tc+0),u)mK H 仏(tc),x (tc),u)0c(x，AF$n)x=x*(tc),Pm*(x)；u uu u當(dāng)X,.=tf時,橫截條件變?yōu)閘(tf)有“Otix 仝*(tf)隨后部分，利用最優(yōu)脈沖控制原理對模型(1.6)實施控制.最優(yōu)脈沖控制根據(jù)定理2.1,本文的控制分為兩個部分：連續(xù)控制部分、脈沖控制部分模型(1 .1)的初值問題的解為x(t) (rh)K(r_h)K_X0x(t)(r _h)t，X0r -ce4ri)t，(3.1)假設(shè)連續(xù)控制部分記為：£ ,i =0,1和h，脈沖控制部分記為：i =0,1和二),有rrxfo (x, h)

13、 - -(R -一)hx,f1 (x, h) = (r - h)x -xKg0(x,£ =LEx(tc)-C,gjx)=-Ex,0 (t) - 1.用H表示連續(xù)哈密頓函數(shù)，Hc表示脈沖哈密頓函數(shù)，(t)表示伴隨變量，于是有2a)rx(3H(，x,h)二 o(t) fo(x,h)1(t)f!(x,h)二一Rhxh >(t)(r-h)x-A(t)KHc(x)-0(tc 0)g°(x)(tc Olg/x)"l-LEx(tc)C-(tc 0)Ex(tc).(3.2b)根據(jù)式(3.2)，本文的最優(yōu)控制分為兩部分進行3.1連續(xù)控制由定理2.1的式(a)有(3.3)k(t

14、)=Rh_.i(r _h)，i 字, K(T) =0,9由式(3.3),得e(r)Tc re(r h)T、Rh (c - re(rJ?)t)2(3 .4)由定理2.1的(i)可得如下三種情況(a)h =hmax如果JRx；1(t)x ：0,(b)h =hmin如果咐-Rx£(t)x . 0,(3.5)(c)h不確定如果-Rx _、(t)x=0.假設(shè)脈沖捕獲時刻為tc,則在t三0，1內(nèi)，模型(1 .6)是連續(xù)系統(tǒng).由于控制h在連續(xù)型哈密頓函數(shù)(1 .5)中以線性 方式出現(xiàn)，并且模型(1.6)對h有約束，根據(jù)最優(yōu)控制原理20來討論最優(yōu)連續(xù)控制 h .式(3 .2a)可改寫為H( ,x,h

15、) o(t)fo(x,h) ，1(t)f1(x,h) -1 (t)rx(1R)( -Rx(t)x)h由 _Rx _(t)x =0，得h(t)= x-R.(3.6)由式(3.6),有r 2二-2 (r -h)xx .dtxK(3.7)式(3 .6)代入式(3 .3)中,并結(jié)合式(3 .7)消去控制h，得最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻時的種群數(shù)量*xx(RK)： 2R.根據(jù)文獻20,如果函數(shù) Rx-(t)x不是嚴格單調(diào)函數(shù)，則會產(chǎn)生奇異現(xiàn)象，下面就來看函數(shù)襯Rx兔(t)x是否具有單調(diào)性.首先討論(t)x(t)的單調(diào)性，由于(M)，律=( RKh)x K.(3.8)因為i(T) =0,所以有(rx)(T)二

16、0 則式(3 .8)的解為T(rx)(t)二一RKh1exp(t x(s).K)ds.由于h .0,所以有0 ：:('1x)(t) - RKh 乞 RKh.進一步，有(ix - RKh)x/ K 0.易知(>x) 0 ,從而('J(t)x(t)是嚴格增函數(shù).本文假設(shè)在進行脈沖捕獲前解曲線的斜率為正的，所以當(dāng)t : tc時,x(t)0,從而x(t)是嚴格增函數(shù)，又因為是常數(shù),所以 -Rx-l(t)x是嚴格減函數(shù)，從而本文的連續(xù)控制不存在奇異現(xiàn)象.圖3.2情況2的連續(xù)控制轉(zhuǎn)換圖*t1scx*hminh1hmax0 乞t Zts，ts : t <tc.由上述分析可知,Rx

17、 _1 (t)x =0只可能有一個零點由最優(yōu)控制原理知最優(yōu)連續(xù)控制函數(shù)h(t)是分段常值函數(shù).根據(jù)式(3.5) ,h或者從h %到h =hmax，或者從h =hmax到h斗.就這兩種情況，分別作出如下討論:情況1如果在開始時刻魚種群數(shù)量較少，為使魚種群增長速度不至于過慢，對魚種群需進行少量捕撈，捕撈努 力應(yīng)該小，故開始時刻有h = hmin，開關(guān)是從h = hmin到h = hmax .如圖3. 1所示.情況2如果在開始時刻魚種群數(shù)量較大，可以實施最大捕獲努力來抑制種群增長速度，此時在開始時刻有h =hmax，開關(guān)是從h =hmax到h =hmin如圖3.2所示.針對情況1,根據(jù)式(3.1)可

18、得最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻1t1s =ln(J %n(r hmin)K -rx從而得到相應(yīng)情況下的最優(yōu)連續(xù)控制為13綜上所述，可得如下定理：定理3.1對于模型(1.6),魚種群的初始狀況為情況 t；s及相應(yīng)的種群數(shù)量X1*為1時，最優(yōu)的連續(xù)控制取 h*，得到最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻cxt1s 二 ln()(r -hmin)K - rxr -min* RKx12R2scx針對情況2,據(jù)式(3 .1)可得最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻tt2s =l n(-)(r -hmax) K -rx從而得到相應(yīng)情況下的最優(yōu)連續(xù)控制為*hmaxh hmin0乞t乞ts,ts：t 空 tc.可得如下定理：定理3.2對于模型(

19、1.6),魚種群的初始狀況為情況 t2s及相應(yīng)的種群數(shù)量x2為時，最優(yōu)的連續(xù)控制取 h2，得到最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻cx 嚴(r _hmax)K rxx2 =RK2R假設(shè)魚種群增長曲線沿著上述討論的曲線走向脈沖捕獲,則連續(xù)控制轉(zhuǎn)換后成為h = hmax，魚種群在t = T之前 的時刻tc轉(zhuǎn)換到新的斑塊，即發(fā)生脈沖捕獲針對上述兩種情況，分別研究在具有連續(xù)控制基礎(chǔ)上的最優(yōu)脈沖控制 3.2脈沖控制首先 對于情況1.由定理2.1的式(b)有由式(3 .4),得1(tc - 0)1 (tc) =(1 E)，i(tc 0)LE.(r t)tc(3=(e(r)T丄 (r _h)tcc - re c丄(r h

20、)T ) c - reRh (c re(r)tc)2 c(r -h)e(r-)tc(3.9).10)由定理2.1的(ii )可得如下三種情況(a)-1如果C _LEx(tJ - (tc)Ex(tc) : 0,(b)-0如果C -LEx(tc'-M(tc)Ex(tc)0,(c)-不確定如果C 一 LEx(tJ(tc) Ex(tJ = 0(3.9)式(3.11a)表示有脈沖發(fā)生的情況，式(3.11b)表示無脈沖發(fā)生的情況，式(3.11c)代表式(3.11a)與式(3.11b)的 邊界情況，這個邊界定義為G(tc, h(tc),x(tc) =C -LEx(tcA(tc)Ex(tc).定義集合

21、R 二(tc，x(tj) "(tc，(tc),x(tc)：:0, D=0,T R,R2 =(tc，x(tc) |G(tc，(tc),x(tc) 0, D=0,T R .其中集合&是進行脈沖捕獲行為的區(qū)域，集合R2是不進行脈沖捕獲行為的區(qū)域.根據(jù)模型(1 .3)有x(tc 0) =(1E)x(tc).(3.12)漁民管理魚池是通過捕獲魚種群來獲得利益，脈沖捕獲是獲得最大經(jīng)濟利用的一種途徑，假設(shè)式(3.11a)成立,結(jié)合式(3 .4)與式(3.12)，有minH(1(tc 0),x*(tc 0),uminH('1(tc),x*(tc),h)”h-Rx(tc 0)h 他 0

22、)(r-h)x(tc 0)化 0)J(x(tc 0)2 - h Rhx (tj -h)x(tjK1(tc)-(x*(tc 0)2K二 _Rh(1-E)x(tc)何 0)(r -h)(1-E)x(tc) - 也 0) ： (1-E)2(x (tj)2 Rhx (tjK*r *2-(1-E)>(tc O)-LE(r-h)x(tc) (1-E)、(tc 0)-LE；(x(tc)2K二 REhx(tJ血 0)：(1-E)E(x(tc)2 LErx*(tc)-LEhx(tc)-LE：(x(tc)2.KK根據(jù)定理2.1的(iii )，得.13)(3*r*2*r*2REhx(tJ 他 0)/1 _E)

23、E(x(tc)2 LErx (tj-LEhx (tj _LE(x (tj)2=0.KK進一步有(R_L)h LJK(tc 0)r(1 _E)x (tj _Lrx (tJ=O.(3把式(3.6)代入式(3.13)中，得x (tc)=eLr_r(1_E)(c+re (R-L)h LrK5e(r)T、 Rh (ce(jtc)2.c re(r)T c(r - h) e(r _h)tc.14)15此處有三點說明：(1)設(shè)由式(3 .14)定義的曲線為PQ ,則最優(yōu)的脈沖捕獲只能發(fā)生在曲線PQ 上.(2)如果連續(xù)控制下的解曲線式(3 .1)與曲線PQ相交，則在交點處進行的脈沖捕獲是連續(xù)控制作用下所實施 的

24、最優(yōu)脈沖捕獲.(3)對于說明(2)中的交點，如果此交點屬于集合R ,則表示可以進行脈沖捕獲，并且是可允許的連續(xù)控制作用*下所實施的最優(yōu)脈沖捕獲.如果此交點屬于集合 R,，則表示無脈沖捕獲發(fā)生由式(3 .1)與式(3 .14)可以得到最優(yōu)脈沖捕獲時刻tc，具體如下Rh (c V(r b)t(r d)t(r _±)t(r 山)T1 (r-h)Ne1 (r-h)Nece-ceR _D(1_E)_(r 山)t(r _b)t.| (r _b)t(r _h)T(r _b)tK c reK c re (c - re )(c - re ) c(r _h) e進一步，得hr(1-E)e(r 上和2 2

25、hc-hE hEre(r)Te(r 山"-c(c e(r 山門)一hc(1E)e(r *)T =0.(3.15)由于最優(yōu)脈沖捕獲時刻tc*tS ,在t =t；時,最優(yōu)的連續(xù)控制取hmax，所以令A(yù)=hr(1_E),B=2hc_hE hEre(r)T, D =c(c e(r)T ) _hc(1-E)e(r)T其中h =hmax.如果&二B2 -4AD o且-BB4AD 2A 0,則由式(3 .15)可得相應(yīng)于定理的最優(yōu)脈沖捕獲時刻t；,/ _B B2 _4AD、ln()+ *2At1cr -h(3.16)式(3.16)代入式(3.10)中，令其中-B 亠B2 -4ADeln(2

26、A )G = '1(tC0) = (=2ln(丄七B 4AD) c re 2Ae(rJ3)T) Rhc 亠re(r)T c(r _h)(c reln(衛(wèi)2Aln(-B2 3AD ) e 2A(3.17)h =hmax式(3 .17)代入式(3 .14)中，可得相應(yīng)于定理3.1的最優(yōu)收獲水平*X*X1(R -L)h LrKLr -G(1 -E)r綜上所述，對情況1可得如下定理：定理3.3對于模型(1 .6)，如果定理3.1的條件被滿足，且滿足以下條件(1)A = B2 4AD >0,且-B+JB2 4AD./2A：>0,(2)(tic, x(tQ) E R ,則模型(1 .6

27、)存在最優(yōu)脈沖捕獲時刻tic和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平*xti-BB2 -4ADln( )2Ar -h*x(R _L)h LrKLr _G(i _E)r19其次，對于情況2對脈沖控制的討論(式(3.11)-式(3.15)如情況1.但在求最優(yōu)脈沖時刻時，對于情況2,最優(yōu)脈沖捕獲時刻tC* .tS ,在t =t；時，最優(yōu)的連續(xù)控制取hmin ,所以令A(yù) 二hr(1_E),B2hc-hE- hEre(r-)T,Dc(c e(r山)丁)_hc(1_E)e(r山【其中h =hmin 如果也=璋4AU A0 ,且-B1 +Jb2 -4AD /2A a0，則由式(3 .15)可得相應(yīng)于定理3.2的最優(yōu)脈沖捕獲時刻

28、t；cin( B 、B1 "AD )*t2c 一2A r -h(3.18)式(3.18)代入式(3.10)中，令Gt = '1 (tc0)=(_B B2 _4AD ln()e(r)Te)in(土旦竺)cre(r)T c(r -h) ere"2A2A2ARh (ere_B 七E2 _4ADln()e 2A(3.19)*X2則模型(1 .6)存在最優(yōu)脈沖捕獲時刻t2c和相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平*x，*t2cin(主JAR)2Ar -h*X2(RL)h - Lr KLr _G1(1_E)r其中h =hmin .式(3 .19)代入式(3 .14)中，可得相應(yīng)于定理3.2的最優(yōu)收

29、獲水平*(R_L)h LrKX2Lr G(1 E)r綜上所述，對情況2可得如下定理：定理3.4對于模型(1 .6)，如果定理3.2的條件被滿足，且滿足以下條件(1): -B14A1D1 0,且 七B2 _4AD 2A 0,(t；c,x(t；c)ER,4數(shù)值模擬下面通過數(shù)值模擬來檢驗結(jié)論的有效性.對于定理3.3，令 r =0.2, K =5000, R =0.9, L =0.6, E =0.8,C =2000 ,T =50=100 , hmax =0.03幾山=0.001 ,初始值為X。=100,并且這些常數(shù)的含義如前文所述.則最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻t1s以及相應(yīng)的種群數(shù)量Xi、最優(yōu)脈沖捕獲時刻

30、ti；以及相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平x；*如圖4.3所示.對于定理3.4,令hmax=0.07,初始值為Xo =500,其余參數(shù)取值同上，則最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻t；s以及相應(yīng)的種群數(shù)I t*量x；、最優(yōu)脈沖捕獲時刻t；c以及相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平x；如圖4.4所示圖4.3情況1時的最優(yōu)脈沖控制曲線圖4.4情況；時的最優(yōu)脈沖控制曲線在圖4.3中，曲線x(t)為魚種群的增長曲線，曲線PQ是能夠發(fā)生最優(yōu)脈沖的曲線，R是可能發(fā)生脈沖的區(qū)域,R；是不能發(fā)生脈沖的區(qū)域，而曲線G正是這兩個區(qū)域的分界線魚池中的魚種群在初始時刻的數(shù)量為x0 ,隨著時間的變化魚種群數(shù)量在不斷地增長，由定理3.1知，當(dāng)時間從初始時刻到最優(yōu)的

31、連續(xù)控制轉(zhuǎn)換時刻，連續(xù)控制取最小值在最優(yōu)的連續(xù)控制轉(zhuǎn)換時魚種群數(shù)量為x；,當(dāng)r (tS，t；時連續(xù)控制取最大值.由定理3.3知，當(dāng)魚種群數(shù)量增長曲線與曲線PQ相交于區(qū)域R；內(nèi),此時即為進行脈沖捕獲的最優(yōu)時刻相應(yīng)的最優(yōu)捕獲水平為x；*.圖44的討論與圖4.3的討論類似.由圖4.3與圖4.4不難看出，魚種群數(shù)量增長曲線受連續(xù)捕獲影響，從而影響著最優(yōu)脈沖捕獲時刻以及最優(yōu)捕獲水平.5結(jié)束語本文研究了通過魚池養(yǎng)魚來實現(xiàn)經(jīng)濟利益的實際問題.當(dāng)魚種群按照自然規(guī)律增長時，對其施加連續(xù)以及脈沖控制以獲得最大的經(jīng)濟利益.在定理3.3和定理3.4滿足的條件下，確定了最優(yōu)連續(xù)控制的轉(zhuǎn)換時刻以及連續(xù)控制的值,并找出了連

32、續(xù)控制情況下進行脈沖捕獲的最優(yōu)時刻，在這個時刻對魚種群進行脈沖捕獲，可以使?jié)O民在整個過程中獲得最大的經(jīng)濟利益.本文以漁民獲利為原則，未考慮使生態(tài)資源持續(xù)生存的優(yōu)化問題，在隨后的研究中，將把優(yōu)化問題以及多次脈沖捕獲與經(jīng)濟效益結(jié)合，研究使經(jīng)濟獲益最大并且使生態(tài)持續(xù)生存的問題參考文獻1王麗娟 微分方程的最優(yōu)控制J.,2002,；陳蘭蓀，劉平舟，肖藻.種群生態(tài)系統(tǒng)的持續(xù)生存J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報，1988,3(1):18-32.3 l李晶，陳思.淺談最優(yōu)控制J.黑龍江科技信息，2008,27.4 Song Xinyu,Chen Lansun.Optimal harvesting and stability

33、for a two-species competitive system with stage structureJ.Mathematical Biosciences,2001,179:173-186.5 Fan M,Wang K.Optiaml harvesting policy for population with periodic coefficientsJ.Mathematical Biosciences,1998,152:165-177.6 Zhang X A,Chen L S,Neumann A.The stagestructured predator prey model an

34、d optimal harvesting policyJ.MathematicalBiosciences,2000,168:201-210.7 Bai Ling,Li Xiaoyue,Wang Ke.Optiaml Harvest Pollicy for Stably Bounded Logistic EquationJ.Journal of Biomathematics,2004, 19(1):17-25.8 Lakshmikantham V, Baninov D D,Simeonov P S. Theory of impulsive differential equationsM.London: World Scientific Publishing,1989,57-194.9 Drumi Bainov, Pavel Simeo