正態(tài)分布性質研究

1、正態(tài)分布性質正態(tài)分布定義：若隨機變量服從一個位置參數(shù)為、尺度參數(shù)為的概率分布，且其概率密度函數(shù)為F(x)=12exp（-（x-）222）則這個隨機變量就稱為正態(tài)隨機變量，正態(tài)隨機變量服從的分布就稱為正態(tài)分布，記作，讀作服從，或服從正態(tài)分布。正態(tài)分布可以寫成自然指數(shù)分布族分布形式F(x；𝜽)=12exp（-（x-）222）=12exp（x2-222-x222）=12exp（-x222）exp（2x-222）其中=2，（𝜽）=222，h（x）=12exp（-x222）則正態(tài)分布族屬于自然指數(shù)分布族。正態(tài)分布數(shù)字特征（1） 正態(tài)分布的期望：E（X）=-+X*12exp

2、（-（x-）222）dx =12-+（+t）e-t22dt =12 -+e-t22dt+2-+te-t22dt =(2)D(X)=-+(x-)2f(x)dx =-+(x-)2f(x)dx =-+(x-)2*12exp（-（x-）222）dx令x-=t,得D(X)= 22-+t2e-t22dt= 22（-te-t22）-+-+e-t22dt)=0+ 222=2正態(tài)分布的圖形性質（1） 變換：正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均值和標準差，可記作N（，）：均值決定正態(tài)曲線的中心位置，標準差決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。若固定，而改變的值，則當x=時，f（x）=12。由此可知，越小，曲線越陡峭；越大，曲線越扁平

3、。 f（x） O X（2） 變換：為了便于描述和應用，常將正態(tài)變量做數(shù)據(jù)轉換。是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以x=為對稱軸，左右完全對稱。當恒定后，而改變的值，則f（x）的圖形沿x平行移動，但不改變其形狀。越大，則曲線沿橫軸向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸向左移動。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于。正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降（3） 曲線y=f（x）在x=+處有拐點且曲線y=f（x）以OX軸為漸近線，無限逼近。（4） 在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內區(qū)域面積始終為1。3原則：P（-<X+）=68.3%P（-2<X+2）=9

4、5.4%P（-3<X+3）=99.7%在實際應用中，通常認為服從正態(tài)分布N（，2）的隨機變量只?。?，+3）之間的值，并稱為3原則。正態(tài)分布的線性性質（1）XN(0，1),Y=-X,則YN(0，1)證：Y的分布函數(shù)F（y）可表示為：F（y）=P(Yy)=P(-Xy)=P(X-y)=1-（-y）=1-1-(y)= (y)故YN(0，1)(2)設隨機變量xN（，2），當b0時有Y=a+bxN(a+b,b22)證明：令Z=Y-（a+b）|b|當b>0時，Z=a+bx-(a+b)b=x-故ZN(0，1),從而YN(a+b,b22)當b<0時，Z=a+bx-(a+b)-b=-(x-)根據(jù)性質（1），因為x- N(0，1)，所以ZN(0，1)則YN(a+b,b22)綜上Y=a+bxN(a+b,b22)（3）XN（1，,12），YN(2，,22),且X與Y相互獨立，則Z=X+YN(1+2,12+22)證明：X+Y=2(X-12+Y-22)+1+2XN(,2) 則Y=aX+bN (b+a,a22)由此可推出X-12N(0，1222), Y-22N(0，1)所以X-12