考研線性代數(shù)知識點(diǎn)全面總結(jié)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章、行列式1. 行列式的定義：用n2個(gè)元素aj組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開式共有n!項(xiàng)，其中符號正負(fù)各半；2 .行列式的計(jì)算一階| a |= 行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n_3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0,利用定理展開降階。特殊情況：上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；行列式值為0的幾種情況：I 行列式某行（列）元素全為0；I

2、I行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；皿 行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；IV 奇數(shù)階的反對稱行列式。3概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式 Mj、代數(shù)余子式Aj =（-1）“Mj定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對換，改變排列的奇偶性。奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為基數(shù)，偶排列為偶數(shù)。n階行列式也可定義：D j. （-1出5心2aqnn , t為qg2qn的逆序數(shù)4行列式性質(zhì)：1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號。若有兩行 （列）相等或成比例，則為行列式03、行列式某行（列）乘數(shù)k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面4、行列式某行（列）的

3、元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。5、行列式某行（列）乘一個(gè)數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。（按行、列展開法則）0.6、行列式等于他的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和。7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為 5.克拉默法則:若線性方程組的系數(shù)行列式D®則方程有且僅有唯一解七弋:若線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則系數(shù)行列式D=0.:若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0，則其沒有非零解:若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式 D=06.A2*rnrnab1a bFc dIc1Fd題型：Page21 (例 13)r12r,*r

4、n*111 n1III1X1X2X3IIIXn222III2=(ad bc)n，X1X2X3Xn+n 1rn 1+n 1IIIIn 1X1_X2 -X3 -Xn_n(n)rn1于丨1 r7=; (Xj-Xj)，(兩式要會計(jì)算) n j j_1范德蒙德行列第二章、矩陣1 .矩陣的基本概念(表示符號、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、對角、對稱矩陣等)；2 .矩陣的運(yùn)算(1) 加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果;(2 )關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論： 矩陣乘法一般不滿足交換律(若 AB= BA,稱A、B是可交換矩陣)； 矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在； 若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|; |k

5、A|= kn*|A|。只有方陣才有幕運(yùn)算。(3) 轉(zhuǎn)置：(kA) T=kAT,(AB=btat(4 )方陣的行列式：At| = A , kA = knA , |AB=AB(5)伴隨矩陣：AA*=A*A=AE , A* =(AE)A“，A*的行元素是A的列元素的代數(shù)余子式(6)共軛矩陣： A =(a0) , A+B=a+b , k -kA , ab=AB(7)矩陣分塊法:AT11<AA；Tsr丿3 .對稱陣：方陣AT二A。對稱陣特點(diǎn)：元素以對角線為對稱軸對應(yīng)相等。3 .矩陣的秩(1 )定義：非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩;(2)秩的求法：般不用定義求，而用下面結(jié)論:矩陣的初等變換不改變矩陣

6、的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元 開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣)。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。(3) 0< R(Amn) < min m, n; rat=ra ;若 A B，則 R(A)二R(B);若 P、Q 可逆，則 R(PAQ)=R(A) ; maxR(A),R(B) < R(A,B) < R(A)+R(B);若 AB=C, R(C)< minR(A),R(B)4 .逆矩陣(1) 定義：A、B為n階方陣，若AB= BA= I，稱A可逆，B是A的逆矩陣(滿足半邊也成立)；(2) 性質(zhì)：AB,A' -1

7、二A-1 ' ； (A B的逆矩陣，你懂的)(注意順序)(3) 可逆的條件：|A|工0 r(A)=n;?A->I;逆的求解：O伴隨矩陣法A-1A；初等變換法(A:I )->(施行初等變換)(I: A1)(5)方陣A可逆的充要條件有：O1存在有限個(gè)初等矩陣R，P ,使A二RP2RAE第三章、初等變換與線性方程組1、初等變換：(A1空(E),性質(zhì)：初等變換可逆等價(jià)：若A經(jīng)初等變換成B,則A與E等價(jià)，記作AB，等價(jià)關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性。初等矩陣：由單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。定理：對Am n施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩陣；對Am n施行

8、一次初等列變換， 相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩陣。等價(jià)的充要條件： R(A)=R(B)=R(A,B)m n的矩陣A、E等價(jià)二存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q,使得PAQ=B線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)工 r(A)?無解；(2) r(A,b)=r(A)=n?有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)< n?有無窮多組解；特別地：對齊次線性方程組 AX=0 , (1)? r(A)=n?只有零解；(2)? r(A)<n?有非零解;? ?再特別，若為方陣，(1)|A|工(只有零解；|A|=0?有非零解2 .齊次線性方程組(1) 解的情況：r(A)=n二只有零解；r(A)

9、<n =有無窮多組非零解(2 )解的結(jié)構(gòu)：X =巧 C2a2 Cn_pan_p。(3)求解的方法和步驟: 將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應(yīng)同解方程組;移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。(4) 性質(zhì)： 若x = i和x二2是向量方程A*X=O的解，則x = i2、x二k i也是該方程的解。 齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。 若R(Amn) =r，則n元齊次線性方程組A*x=0的解集S的秩Rs = n 一 r。3 .非齊次線性方程組(1) 解的情況：有解二 R(A)二R(A,b)。唯一解二 R(A)=R(A,b)=n。

10、無限解 R(A)=R(A,b) v n(2) 解的結(jié)構(gòu)： X=u+ 01 + ga? ' Cn ra n r。(3 )無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。(4 )唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)。(5) 若x=i、xr.都是方程Ax=b的解，則2是對應(yīng)齊次方程Ax = O的解x二 是方程Ax二b的解，x二是Ax = O的解，則x 也是Ax二b的解。第四章、向量組的線性相關(guān)性1 . N維向量的定義(注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣行矩陣和列矩陣；默認(rèn)向量a為列向量)。2 .向量的運(yùn)算:(1) 加減、數(shù)乘運(yùn)算(與矩陣運(yùn)算相(3)向量長？同)；a = 70

11、 =+ a； + + a； ?(2) 向量內(nèi)積 a ' B二a1b1+a2b2+(4)向量單位化 (1/| a |) a ;+anbn;3. 線性組合(1) 定義：若b二佔(zhàn)“2mam，則稱b是向量組ai ,a；,，an的一個(gè)線性組合，或稱b可以用向量組,a；,，an的線性表示。(2) 判別方法：將向量組合成矩陣，記A= (ai , a2,，a.) B=(ai ,a2 ,，a. ,(3 )貝U：r?(A)=r?(B)二b可以用向量組ai ,a?,，a.線性表示。 B=( bi, b2，bm)，貝y： B 能由 A線性表示二 R(A)二R(A,B) = AX二B 有解二 R(B)<

12、R(A).(3) 求線性表示表達(dá)式的方法：矩陣 B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。注：求線性表示的系數(shù)既是求解 Ax=b4. 向量組的線性相關(guān)性(1) 線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè)?kiai k2a2亠亠kna. =0，若ki,k2,kn不全為0,稱線性相關(guān)；若全為0，稱線性無關(guān)。(2) 判別方法： ?r( a, a 2,，a n)< n,線性相關(guān)；？?？ r( a, a 2,，a n)=n,線性無關(guān)。 若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式| aj| = 0,線性相關(guān)(工0無關(guān)) A： ai , a2,，an , B： ai , a：,，an , an

13、i，若A相關(guān)則B 一定相關(guān)，若B相關(guān)A不一定相關(guān)；若A無關(guān)，B相關(guān)，貝卩向量an.必能由A線性表示，且表示式唯一。注：含零向量的向量組必定相關(guān)。5. 極大無關(guān)組與向量組的秩(1) 定義：最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩(2) 求法：設(shè)A= (ai , a2 ,，an)，將A化為階梯陣，則A的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向 量就構(gòu)成了極大無關(guān)組。(3) 矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。注：如何證明RATA二RA , Pi0i.第五章、相似矩陣及二次型i、向量內(nèi)積：X,yxTy。內(nèi)積性質(zhì)：-x, y A ly, x 1, I'x, y I - ly

14、,x 】，X * z, y I -y,z,x】；:當(dāng) X=0 時(shí)，X,xJ-0，當(dāng) X = 0 時(shí)，x, x.O2、 向量長度： X 一 lx, XI - X： X；亠 亠X；性質(zhì)：非負(fù)性|x >0、齊次性網(wǎng)=阿耳|、三角不等式|x + y列x +川3、正交：X, y 1= 0稱X與y正交。若x=0,則x與任何向量都正交。正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量。定理：若m維向量印，a；，an是正交向量組，則a! , a；,，an線性無關(guān)。正交陣:A：An = E , AT = A。性質(zhì)：若A為正交陣則A也是正交陣，且A -二1 ;若A、B都正交，則AB正交。規(guī)范正交基：設(shè)m維向量a! ,

15、a；,，an是向量空間V的一個(gè)基，若a! , a；,，a.兩兩正交，且都是單位向量，則 稱ai , a；,，an是V的一個(gè)規(guī)范正交基。、fc1, a ； 1規(guī)范正交化：施密特正交化過程：d =ai , b；二a；bi , bi, bi正交變換：P為正交陣，y二Px稱為正交變換。有 y |x4、矩陣的特征值和特征向量 定義：對方陣A,若存在非零向量x和數(shù)入使Axx,則稱入是矩陣A的特征值，向量x稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值入的特征向量。 特征值和特征向量的求解：求出特征方程|AE|=0的根即為特征值，將特征值入代入對應(yīng)齊次線性方程組(A-E)x =0中求出方程組的所有非零解即為特征向量。 重要結(jié)論與

16、定理：(i) A可逆的充要條件是A的特征值不等于0;( 2) A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；(3) 不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。(4)對An=(aj )的特征值有：瓦人=送aH ; n人=|a。iii(5) 若入是A的特征值，則*是Ak的特征值，:t 是A的特征值。(6) i , ；,， m是方陣A的m個(gè)特征值，對 應(yīng)特征向量是Pi , P；，Pm,若i互不相等，則Pi互不相關(guān)。5、矩陣的相似 定義：同階方陣A、B,若有可逆陣P, P-iAP二B，則A與B相似。P為把A變?yōu)锽的相似變換矩陣。 若n階矩陣A與對角陣上相似，則對角陣元素-即是A的n個(gè)特征值。若f( ?)是矩陣A

17、的特征多項(xiàng)式，則f(A)=0。An與對角陣相似二A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。若An的n個(gè)特征值互不相等，則A與對角線對視。 求A與對角矩陣上相似的方法與步驟(求P和上)：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則 A可對角化(否則不能對角化)，將這n個(gè)線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為 上。約通過正交變換求與實(shí)對稱矩陣 A相似的對角陣：方法與 相同，但要將所得特征向量正交化且單位化。6、二次型 二次型：n元二次多項(xiàng)式f(Xi,X2,，Xn)=v ajXiyj稱為二次型。若3j =0(i工j)則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。如果標(biāo)準(zhǔn)型的 系數(shù)為1、-1或0,則為規(guī)范型。合同：A、B為n階矩陣，若有可逆陣C,使b=ctac，則A與B合同。 二次型標(biāo)準(zhǔn)化：配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這是由于對正交矩陣Q, Q-1 =Q',即正交變換既是相似變換又是合同變換。n 任意給定二次型f =、ajXiyj ( aj =3ji),總有正交變