運籌學(xué)課后習(xí)題二要點

1、習(xí)題二2.1某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補充A、B、C三種營養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位, C不少于180單位.此人準(zhǔn)備每天從六種食物中攝取這三種營養(yǎng)成分.已知六種食物每百克的營養(yǎng)成分含量及食物價格如表2-22所示.（1）試建立此人在滿足健康需要的基礎(chǔ)上花費最少的數(shù)學(xué)模型；（2）假定有一個廠商計劃生產(chǎn)一中藥丸，售給此人服用，藥丸中包含有A , B, C三種營養(yǎng)成分試為廠商制定一個藥丸的合理價格，既使此人愿意購買，又使廠 商能獲得最大利益，建立數(shù)學(xué)模型.表 2-22含量營養(yǎng)成分食物*四五六需要量80B24930251215 150C1872134100 180食物單

2、價（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）設(shè)Xj為每天第j種食物的用量，數(shù)學(xué)模型為min Z = 0 5jl + Mx2 + 0 8z5 + 0 9巧 + 0+ 0 2e13xj +25xa +14 也 +4Q碼 + 8碼 +llx6 8024咼十 + 30z3 + 25z4 +12心十 15x6 1501 跖 +7xa + 21x3 +34x4 +10巧 180町、孟曠毛、兀r0(2)設(shè)，y為第i種單位營養(yǎng)的價格，則數(shù)學(xué)模型為max w = SOjj 4-150y3 +180y513+2472+18 0.525+9+? 0.414” +30兀 +21 乃 0.8=40

3、 + 25+ 34y3 0.98+122 +10乃 8 * 2x1 +x2 -x3 4羽居AO【解】max w = 8乃 +4 丿2 35 釧-旳Ml 幾乃no(2)max Z = 2-x2 +3 畫珂+2陽=9宅_丙_3工? + 0【解】min w 二 9” +1嘰71 -= 2-劃彈T從？丹無約東*必王0(3)max Z =可 + 2需2 +4號-34F1 Ox】+ z2 - x3 - 4碼=87耳】+ 6x2 - 2x3 - 5x4 10 4耳】-8xa +6巧 + x4 0, x3 1 乃+ 6必-8乃工2 _”_2旳+ 6丹莊4 _4片-5旳+旳二_3 兒無約束*兀乞0書丸max Z

4、 - _2呵 +3 + 6x - 7旺3兀-2x2 +x3 - 6x4 = 96工】+5x3- x4 6v 工i + 2心一兀3 + 2x* 蘭25 5珂 22西 +3xa 7血,xa 0(1)說明原問題與對偶問題都有最優(yōu)解；通過解對偶問題由最優(yōu)表中觀察出原問題的最優(yōu)解; 利用公式CbB1求原問題的最優(yōu)解；(4)利用互補松弛條件求原問題的最優(yōu)解.【解】(1)原問題的對偶問題為”無約東：兒劉，0,幾蘭6 0max vp = 4y14- 2y2 + 7”乃+乃+ 2乃蘭12空伽+ 5旳+3必乞20yjQj = 12,3容易看出原問題和對偶問題都有可行解，女口X = (2, 1)、Y = (1 ,

5、0, 1)，由定理2.4知都有最優(yōu)解。(2) 對偶問題最優(yōu)單純形表為_ 4r 4r5_1 =5_5x 二4)5532327?5 -155 -(3) Cb=(7,4),= (16/5,1/5)C(j)42700R. H. S.BasisC(i)y1y2Ay4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4對偶問題的最優(yōu)解 Y = (4/5,0,28/5)，由定理2.6，原問題的最優(yōu)解為X=(16/5 ,1/5), Z= 42.4(4)由y1、y不等于零知原問題第三個約束是緊的，解等式珂+4虧=42x +

6、 3x2 =7得到原問題的最優(yōu)解為X=(16/5 , 1/5)。2. 4證明下列線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解min Z = xL - 2x2 - 2x32碼+冷一 2心=3 2 01內(nèi)0,無約東證明：首先看到該問題存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述問題的對偶問題為max神=物+62+21-2” +3y2 = -2K之0 J無約東由約束條件知 y1 0知y1 1，對偶問題無可行解，因此原問題 也無最優(yōu)解(無界解)。2. 5已知線性規(guī)劃+ 5x2 + 碼 15羽 + 6兀 +10j3 20 4 2iV十殆童2Xj 0,- 0【解】將模型化為min Z - 3碼 +4x3_兩_問+禺二一43400b

7、XbCbX1X2X3X4X30-1-110-4X4021012Cj Zj3400X1311-104X400-121-6Cj Zj0130X131011-2X2401-2-16Cj Zj0051出基行系數(shù)全部非負(fù)，最小比值失效，原問題無可行解。 min 7 二 2西 +4x?2aj +3乜 10Tx + 3xj 15九乃王【解】將模型化為mixkZ 二 2尊+4巫I 2xl + 3x2 +x3 = 242奄 + 些=_1Q_X 3花 +陽=-15x.0J=172,3t 2* _2珂 + x2 - x3 +3x4 OJ = 1/- X【解】將模型化為min Z = 2xl + 3x2 +5碼 +

8、6 兀 2x、 3兀3 -兀彳 + Xj = 2I -2xj +% - x3 +3盂* + 坷-_鄉(xiāng) 虧 0,八1.,6Cj235600bXbCbX1X2X3X4X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj Zj235600X231/213/22-1/201X60-5/20-5/211/21-4Cj Zj1/201/203/20X23-11013/5-1/53/5-7/5X35101-2/5-1/5-2/58/5Cj Zj0001/58/51/5X121-10-13/51/5-3/57/5X3501111/5-2/51/51/5Cj235600bXbCbX1X2X3X4

9、X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj - Zj235600X500-5/2-5/2-11/21-1/2-1/2X121-1/21/2-3/20-1/23/2Cj - Zj024901X2301111/5-2/51/51/5X12101-7/5-1/5-2/58/5Cj - Zj00223/54/53/5Cj - Zj0001/58/51/5X12101-2/5-1/5-2/58/5X2301111/5-2/51/51/5Cj - Zj0001/58/51/5原問題有多重解：X=(7/5 , 0, 1/5 ,);最優(yōu)解X=(8/5, 1/5, 0); Z= 19/

10、5 如果第一張表X6出基，則有7某工廠利用原材料甲、乙、丙生產(chǎn)產(chǎn)品A、B、C,有關(guān)資料見表2-23.表 2-23每月可供原材料(Kg)ABC產(chǎn)品材料消耗原材料甲211200乙123500丙221600每件產(chǎn)品利潤413(1)怎樣安排生產(chǎn)，使利潤最大.(2) 若增加1kg原材料甲，總利潤增加多少.(3) 設(shè)原材料乙的市場價格為1.2元/Kg，若要轉(zhuǎn)賣原材料乙，工廠應(yīng)至少叫價多少，為什 么？(4) 單位產(chǎn)品利潤分別在什么范圍內(nèi)變化時，原生產(chǎn)計劃不變.(5) 原材料分別單獨在什么范圍內(nèi)波動時，仍只生產(chǎn)A和C兩種產(chǎn)品.(6) 由于市場的變化，產(chǎn)品 B、C的單件利潤變?yōu)?元和2元，這時應(yīng)如何調(diào)整生產(chǎn)計劃

11、.(7) 工廠計劃生產(chǎn)新產(chǎn)品D，每件產(chǎn)品D消耗原材料甲、乙、丙分別為2kg , 2kg及1kg ,每件產(chǎn)品D應(yīng)獲利多少時才有利于投產(chǎn).【解】(1)設(shè)X1、X2、X3分別為產(chǎn)品A、B、C的月生產(chǎn)量，數(shù)學(xué)模型為maxZ = 4x +x2 +?也2碼+1心+碼 200+2xa + 3xs 5002兩+心+兩 0, 0, 0最優(yōu)單純形表:C(j)413000R.H.S.RatioXbCbX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最優(yōu)解X= ( 20, 0, 160

12、), Z=560。工廠應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 A20件，產(chǎn)品C160種，總利潤為560 丿元。92 n(2)由最優(yōu)表可知，影子價格為_ j,故增加利潤1.8元。(3)(4)1.6 元。因為y2=o.4，所以叫價應(yīng)不少于 依據(jù)最優(yōu)表計算得8-3 2,-1A：3 913屮1,6, CaCf-oo.y, 2,12(5)依據(jù)最優(yōu)表計算得罟期 乞4叭機叱他100P -400C5_1=7? =2b22T則當(dāng)單位產(chǎn)品D的利潤超過4.4元時才有利于投產(chǎn)。&對下列線性規(guī)劃作參數(shù)分析max Z = (3+2/z) + (5-咔43xj + 2花 18(1)h從 【解】卩=0時最優(yōu)解X=(4,3,0);最優(yōu)表:C(j)3500

13、0R. H. S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004X250100.503X5000-3-110C(j)-Z(j)00-3-2.5027將參數(shù)引入到上表:C(j)3 + 2 35 3000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13 + 2 3101004X25 30100.503X5000-3-110C(j)-Z(j)003 23-2.5 + 0.5 3027當(dāng)一3-20及-2.5 + 0.5卩 0時最優(yōu)基不變，有一1.5 卩 5。當(dāng)卩 1.5時X3進基X1出基；卩5時X4進基X2出基，用單純形法計算。參數(shù)變化與目標(biāo)值變化的關(guān)系如下 表所示。FromToFr

14、omToLeav ingEn teri ngRan ge(Vector)(Vector)OBJValueOBJ ValueSlopeVariableVariable10527525X2X425M52M830-1.52719.55X1X34-1.5-M19.5M-3(p.= -1.519.5)(|1=5Z=52)(尸0孕7)帀4 + ”z2 63xj +2xa 0卩=0時最優(yōu)解X=(4,3,0) , Z = 27;最優(yōu)表:max Z = 3x1-h 5x2C(j)35000R. H. S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004X250100.503X5000-3-110C(j)

15、-Z(j)00-3-2.5027(2)【解】4T古二&f+護二6+0J8_-2b =月T +護#)=礦知+亍擴乂才_ 10 0_ 1 -=3+00.5 00_0_廠2-1 1一耳 41 _=3+0A_u_-5替換最優(yōu)表的右端常數(shù)，得到下表。C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004 +iX250100.503X5000卜3-115 iC(j)-Z(j)00-3-2.50 卩4時冋題不可行，一 4W (1 0時X5出基X3進基得到下表：C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13100-1/31/34-2/3 iX250101/203X300011/3-1/351 /3C(j)-Z(j)000-3/2-1OW i w 6時為最優(yōu)解。1 = 6時Z = 15。 1 6時X1出基X4進基得到下表：C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X40-3001-1-12+2 iX253/21001/29- iX30101004+ iC(j)-Z(j)1 =