橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1、課題橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程科目數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)象高二學(xué)生主備人課時(shí)1課時(shí)授課類型新授課一、教學(xué)內(nèi)容分析橢圓是圓錐曲線中重要的一種，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是后繼學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的基 礎(chǔ)，坐標(biāo)法是解析幾何中的重要數(shù)學(xué)方法，橢圓方程的推導(dǎo)是利用坐標(biāo)法求曲線方 程的很好應(yīng)用實(shí)例本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)能很好地在課堂教學(xué)中展現(xiàn)新課程的理念，主 要采用學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的方式，使培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力的教學(xué)思想貫 穿于本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的始終橢圓是生活中常見的圖形，通過(guò)實(shí)驗(yàn)演示，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)而直觀的情境，使學(xué)生親 身體會(huì)橢圓與生活聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣；在橢圓概念引入 的過(guò)程中，改變了直接給出橢圓概念和動(dòng)畫畫出橢圓

2、的方式，而采用學(xué)生動(dòng)手畫橢 圓并合作探究的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學(xué)化過(guò)程，有利于培 養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力橢圓方程的化簡(jiǎn)是學(xué)生從未經(jīng)歷的問(wèn)題，方程的推導(dǎo)過(guò)程采用學(xué)生分組探究， 師生共同研討方程的化簡(jiǎn)和方程的特征，可以讓學(xué)生主體參與橢圓方程建立的具體 過(guò)程，使學(xué)生真正了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的來(lái)源，并在這種師生嘗試探究、合作討論的 活動(dòng)中，使學(xué)生體會(huì)成功的快樂(lè)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立主動(dòng)獲 取知識(shí)的能力.設(shè)計(jì)例題、習(xí)題的研討探究變式訓(xùn)練，是為了讓學(xué)生能靈活地運(yùn)用橢圓的知識(shí) 解決問(wèn)題，同時(shí)也是為了更好地調(diào)動(dòng)、活躍學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力， 讓學(xué)生在解決問(wèn)題中

3、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生大膽實(shí)踐、 勇于探索的精神，開闊學(xué)生知識(shí)應(yīng)用視野.二、教學(xué)目標(biāo)1. 知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)習(xí)橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過(guò)程；能根據(jù)條件確 定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .2. 過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo) 準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，提高學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法解 決幾何問(wèn)題的能力，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 .3. 情感態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培 養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新

4、意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神和滲透辯證唯物主義的方 法論和認(rèn)識(shí)論.4. 重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法和定義法求曲線方程.難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo).三、學(xué)習(xí)者特征分析1、學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)較為豐富，具備了抽象思維能力和演繹推理能力。2、學(xué)生思維活潑，積極性高，已初步形成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的合作探究能力。3、學(xué)生層次參次不齊，個(gè)體差異比較明顯。四、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、探索討論法1、 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：用課件演示動(dòng)點(diǎn)的軌跡，啟發(fā)學(xué)生歸納、概括橢圓定義2、探索討論法：由學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利 于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)

5、，發(fā)揮其創(chuàng)造性引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和探索討論法是適應(yīng)新課程體系的一種全新教學(xué)模式，它能更好地 體現(xiàn)學(xué)生的主體性，實(shí)現(xiàn)師生、生生交流，體現(xiàn)課堂的開放性與公平性.五、教學(xué)環(huán)境及資源準(zhǔn)備專門為本課設(shè)計(jì)的多媒體課件六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖及資源準(zhǔn)備設(shè)置情景， 引出課題問(wèn)題：2008年9月28日上午9時(shí)，“神州七號(hào)”載人飛船順利升空， 實(shí)現(xiàn)多人航天天飛行，標(biāo)志著我國(guó)航 天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階，請(qǐng)問(wèn)：“神州七號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是什么？多 媒體展示“神州六七號(hào)”運(yùn)行軌道圖 片和視頻.請(qǐng)學(xué)生列舉生活中橢圓的例子 思考從實(shí)際情境出 發(fā)，激發(fā)學(xué)生的探究 熱情和學(xué)習(xí)興趣。實(shí)驗(yàn)探索， 建構(gòu)新知1. 玻璃杯裝

6、半杯水，適度傾斜，觀察水 面是個(gè)什么形狀？2. 手工操作演示橢圓的形成： 取一條 定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖 板上的兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距 離時(shí)，用鉛筆把繩子拉近，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢 圓分析：(1) 軌跡上的點(diǎn)是怎么來(lái)的？(2) 在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， 什么是不變 的？答：兩個(gè)定點(diǎn)，繩長(zhǎng)即不論運(yùn)動(dòng)到何處，繩長(zhǎng)不變(即軌 跡上的點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和不變)由冋題 啟發(fā)學(xué)生進(jìn) 行思考討 論，通過(guò)實(shí) 踐畫出橢 圓，發(fā)現(xiàn)橢 圓的特征結(jié)合情境對(duì)話進(jìn) 一步理解眾數(shù)、中位 數(shù)、平均數(shù)的意義；學(xué)生探索交流、 總結(jié)已學(xué)知識(shí)，培養(yǎng) 學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能 力，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性， 讓學(xué)生在交流中學(xué)習(xí)

7、 數(shù)學(xué)。小組討論， 定義形成先讓學(xué)生回顧圓的定義，然后小 組合作討論，形成橢圓定義：平面內(nèi) 與兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離的和等于常數(shù)(大于1 F1F2 1 )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)， 兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.橢圓定義的再認(rèn)識(shí)冋題：假設(shè)與兩定點(diǎn)的距離之和為d,為什么要滿足d>2c呢？(1)當(dāng)d=2c時(shí)，軌跡是什么？(2)當(dāng)d<2c時(shí)，軌跡又是什么？ 結(jié)論：(1) 當(dāng) d>|FiF2| 時(shí)，是橢圓；(2) 當(dāng)d=|FiF2|時(shí)，是線段；(3) 當(dāng)d<|FiF2|軌跡不存在.由冋題 啟發(fā)學(xué)生進(jìn) 行思考討 論，學(xué)生完 成并回答。 教師總結(jié)讓 學(xué)生進(jìn)一步 理

8、解橢圓定 義通過(guò)師生探索交 流、討論解決問(wèn)題方 法，揭示知識(shí)間的內(nèi) 在聯(lián)系，對(duì)學(xué)生的思 維進(jìn)行啟迪，方法及 時(shí)的點(diǎn)撥，培養(yǎng)學(xué)生 的語(yǔ)言表達(dá)能力，思 維的嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生 在交流中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。方程推導(dǎo)， 學(xué)會(huì)建系取過(guò)焦點(diǎn)Fl，F(xiàn)2的直線為X軸，線段Fi f2的垂直平分線為y軸*設(shè)p(x，y)為橢圓上的任意一點(diǎn)，橢圓 的焦距是2c( c 0).則 Fi( C,O), F2(c,0)，又設(shè) M與 Fi，F(xiàn)2距離之和等于2a( 2a 2c)(常數(shù))PP|PFPF2| 2a又 PFi J(x c)2 y2v'(x c)2 y2 v'(x c)2 y2 2a化簡(jiǎn)，得/ 2 2、 2 2 2 2

9、/2 2、(a c )x a y a (a c ),22由定義2a 2c, a c O2 2 . 2令 a cb代入，得師生共同探 究使學(xué)生掌握橢圓 方程的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué) 習(xí)求軌跡方程的一般 方法。方程推導(dǎo), 學(xué)會(huì)建系b2x2a2y2 a2b2522xy4兩邊同除2| 2a b得2 ab21此即為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表示的橢圓的*隹 占八、八、在 x軸上隹八、點(diǎn)是Fi( c,0)F2(c,0)5中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢222圓方程，其中acb*注意若坐標(biāo)系的選取不同，可得到橢圓的不 同的方程.如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上（選取方式不同，調(diào)換x, y軸）焦點(diǎn)則變成Fi（0, c）, F2（0,c），只要將方程2

10、 x2 a2 y b2i中的x, y調(diào)換，即可得22yx12,21ab，也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一理解：所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；22 2 2xy1 y x 122 1 2 , 2 1在ab與ab這兩個(gè)使學(xué)生掌握橢圓 方程的推導(dǎo)過(guò)程，學(xué) 習(xí)求軌跡方程的一般 方法。yPF2Fi標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a b 0的要求，如方2 20,mn)x y1(m0, n程m n就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式冬丿1的標(biāo)準(zhǔn)方程，可與直線截距式a b2 2乞h 1221類比，如a b 中，由于a b，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點(diǎn)在2 2X軸上（即看X , y分母的大小

11、）應(yīng)用方程， 實(shí)際演練例1.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及橢 圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和 2 2x y 1(1) 1692 2x y 1(2) 16252 2 3x 4y 1例2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0),(4,0)，橢圓上一點(diǎn)p到兩焦 點(diǎn)距離和等于10.(2) a b 10, c 2寸'52 2y x 1例3.右方程2 k k 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的范圍.學(xué)生思考、 教師點(diǎn)撥、 講解例題通過(guò)例題講解， 使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的 理解，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)， 提高學(xué)生分析、類比 等能力。為今后雙曲 線、拋物線的學(xué)習(xí)打 好基礎(chǔ)。引導(dǎo)利用所學(xué)定 義求解。

12、是學(xué)生靈活 運(yùn)用了所學(xué)知識(shí)，培 養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活 性和深刻性。變式觀察學(xué)生的完成情況，引導(dǎo)、提 示、幫助學(xué)生完成。1、把上面的方程變?yōu)? 2yX12 k k 1,那么結(jié)果將如何呢？2 22、如果方程x ky 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么 實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.(0,+x)B.(0,2)C.( 1,+x)D.(0,1)學(xué)生思 考、完成并 回答使學(xué)生鞏固當(dāng)天 所學(xué)知識(shí)。課堂訓(xùn)練， 反思調(diào)節(jié)2 2L L 11. 橢圓259上一點(diǎn)p到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,貝U P到另一個(gè)焦點(diǎn) 的距離為()A.5B.6 C.4D.102 2x y 彳12. 橢圓25 169的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()學(xué)生練習(xí)使學(xué)生鞏固當(dāng)天 所學(xué)知識(shí)。課堂訓(xùn)練, 反思調(diào)節(jié)A.( ± 5, 0)B.(0，± 5)C.(0，± 12)D.( ± 12，0)2 2x y3.已知橢圓方程為2332橢圓的焦距為（)A.6B.3 C.3丁5D.61,則這個(gè)4. Fi,F2 是定點(diǎn)，且 I F1F2 I6，動(dòng)點(diǎn)M滿足 IMFiIIMF2I 6 ，則點(diǎn)M的軌小結(jié)學(xué)生練習(xí)使學(xué)生鞏固當(dāng)天 所學(xué)知識(shí)。標(biāo)準(zhǔn)方程2 2x ya2 + b2 =1(a b 0)2 2y xa2 + b2 =1(a b 0)圖形d