相似三角形經(jīng)典大題解析(含答案)

1、相似三角形經(jīng)典大題解析1. 如圖,已知一個(gè)三角形紙片 ABC , BC 邊的長(zhǎng)為 8, BC 邊上的高為 6, B 和 C 都 為銳角, M 為 AB 一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) M 與點(diǎn) A B 、 不重合 ,過點(diǎn) M 作 MN BC ,交 AC 于點(diǎn) N ,在 AMN 中,設(shè) MN 的長(zhǎng)為 x , MN 上的高為 h .(1請(qǐng)你用含 x 的代數(shù)式表示 h .(2將 AMN 沿 MN 折疊,使 AMN 落在四邊形 BCNM 所在平面,設(shè)點(diǎn) A 落在平面 的點(diǎn)為 1A , 1A MN 與四邊形 BCNM 重疊部分的面積為 y ,當(dāng) x 為何值時(shí), y 最大,最 大值為多少? 【答案】解:(1 MN BC AM

2、N ABC 68h x = 34x h = (2 1AMN A MN 1A MN 的邊 MN 上的高為 h , 當(dāng)點(diǎn) 1A 落在四邊形 BCNM 內(nèi)或 BC 邊上時(shí),1A MN y S = =211332248MN h x x x =··(04x < 當(dāng) 1A 落在四邊形 BCNM 外時(shí),如下圖 (48 x <<,設(shè) 1A EF 的邊EF 上的高為 1h ,則 132662h h x =-=-11EF MN A EF A MN 11AMN ABC A EF ABC 1216A EFS h S = ABC168242ABC S = 2236324122462

3、EF x S x x - =-+ 1 A 11222339所以 291224(48 8y x x x =-+-<<綜上所述:當(dāng) 04x < 時(shí), 238y x =,取 4x =, 6y =最大當(dāng) 48x <<時(shí), 2912248y x x =-+-, 取 163x =, 8y =最大86>當(dāng) 163x =時(shí), y 最大, 8y =最大NCB F AA 12.如圖,拋物線經(jīng)過 (40 (10 (02 A B C -, , , 三點(diǎn).(1求出拋物線的解析式;(2 P 是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過 P 作 PM x 軸,垂足為 M ,是否存在 P 點(diǎn),使得以 A , P

4、, M 為頂點(diǎn)的三角形與 OAC 相似?若存在, 請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo); 若不存在, 請(qǐng) 說明理由; 【答案】 解:(1 該拋物線過點(diǎn) (02 C -, , 可設(shè)該拋物線的解析式為 22y ax bx =+-. 將 (40 A , , (10 B , 代入,得 1642020a b a b . +-=+-=, 解得 1252a b . =-=, 此拋物線的解析式為 215222y x x =-+-. (2存在. 如圖,設(shè) P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 m ,則 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 215222m m -+-, 當(dāng) 14m <<時(shí), 4AM m =-, 215222PM m m =-+-

5、. 又 90COA PMA = °,當(dāng) 21AM AO PM OC =時(shí), APM ACO , 即 21542222m m m -=-+- . 解得 1224m m =, (舍去, (21 P , . 當(dāng) 12AM OC PM OA =時(shí), APM CAO ,即 2152(4 222m m m -=-+-. 解得 14m =, 25m =(均不合題意,舍去當(dāng) 14m <<時(shí), (21 P ,. 類似地可求出當(dāng) 4m >時(shí), (52 P -, .當(dāng) 1m <時(shí), (314 P -, .綜上所述,符合條件的點(diǎn) P 為 (21 , 或 (52 -, 或 (314 -

6、,.3. 如圖, 已知直線 128:33l y x =+與直線 2:216l y x =-+相交于點(diǎn) C l l 12, 、 分別交 x 軸于 A B 、 兩點(diǎn).矩形 DEFG 的頂點(diǎn) D E 、 分別在直線 12l l 、 上,頂點(diǎn) F G 、 都在 x 軸上,且 點(diǎn) G 與點(diǎn) B 重合.(1求 ABC 的面積;(2求矩形 DEFG 的邊 DE 與 EF 的長(zhǎng);(3若矩形 DEFG 從原點(diǎn)出發(fā),沿 x 軸的反方向以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,設(shè)移 動(dòng)時(shí)間為 (012 t t 秒,矩形 DEFG 與 ABC 重疊部分的面積為 S ,求 S 關(guān)于 t 的函 數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)的 t 的取值范

7、圍. 【答案】 (1解:由 28033x +=, 得 4x A =-. 點(diǎn)坐標(biāo)為 (40-,. 由 2160x -+=, 得 8x B =. 點(diǎn)坐標(biāo)為 (80,. (8412AB =-=. 由 2833216y x y x =+=-+, .解得 56x y =, . C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (56,. 111263622ABC C S AB y = ·.(2解:點(diǎn) D 在 1l 上且 2888833D B D x x y =+=,. D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (88,.又點(diǎn) E 在 2l 上且 821684E D E E y y x x =-+=, . . E 點(diǎn)坐標(biāo)為 (48,. 8448OE EF

8、=-=, .(3解法一: 當(dāng) 03t < 時(shí),如圖 1,矩形 DEFG 與 ABC 重疊部分為五邊形CHFGR (0t =時(shí) , 為 四 邊 形 CHFG . 過 C 作 CM AB 于 M , 則 R t R t R G B C M B .BG RG BM CM =, 即 36t RG=, 2RG t =. Rt Rt AFH AMC , (11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =-=- .即 241644333S t t =-+.當(dāng) 83<t 時(shí),如圖 2,為梯形面積, G (8-t,0 GR=32838 8(32t t -=+-,380

9、3832838 4(32421+-=-+-=t t t s 當(dāng) 128<t 時(shí),如圖 3, 為三角形面積,488312(328(212+-=-=t t t t s(圖 3(圖 1(圖 24.如圖,矩形 ABCD 中, 3AD =厘米, AB a =厘米(3a > .動(dòng)點(diǎn) M N , 同時(shí)從 B 點(diǎn) 出發(fā),分別沿 B A , B C 運(yùn)動(dòng),速度是 1厘米/秒.過 M 作直線垂直于 AB ,分別 交 AN , CD 于 P Q , .當(dāng)點(diǎn) N 到達(dá)終點(diǎn) C 時(shí), 點(diǎn) M 也隨之停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒. (1若 4a =厘米, 1t =秒,則 PM =_厘米;(2若 5a =厘

10、米,求時(shí)間 t ,使 PNB PAD ,并求出它們的相似比;(3若在運(yùn)動(dòng)過程中,存在某時(shí)刻使梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積相等,求 a 的取值 范圍; (4是否存在這樣的矩形:在運(yùn)動(dòng)過程中,存在某時(shí)刻使梯形 PMBN ,梯形 PQDA ,梯 形 PQCN 的面積都相等?若存在,求 a 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】解: (1 34PM =, (2 2t =,使 PNB PAD ,相似比為 3:2 (3 PM AB CB AB AMP ABC = , , ,AMP ABC , PM AM BN AB =即 (PM a t t a t PM t a a-= , , (1 3t a

11、QM a-=-當(dāng)梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積相等,即( ( 22QP AD DQ MP BN BM+=N( 33(1 ( 22t a t t a a t t ta a -+-+ =化簡(jiǎn)得 66a t a =+,3t , 636aa+ ,則 636a a < , , (4 36a < 時(shí)梯形 PMBN 與梯形 PQDA 的面積相等梯形 PQCN 的面積與梯形 PMBN 的面積相等即可,則 CN PM =( 3t a t t a -=-,把 66a t a=+代入,解之得 a =± a = 所以, 存在 a , 當(dāng) a =PMBN 與梯形 PQDA 的面積、 梯形

12、 PQCN 的面積相等.5. 如圖, 已知 ABC 是邊長(zhǎng)為 6cm 的等邊三角形, 動(dòng)點(diǎn) P 、 Q 同時(shí)從 A 、 B 兩點(diǎn)出發(fā), 分別沿 AB 、 BC 勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的速度是 1cm/s,點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)的速度是 2cm/s,當(dāng) 點(diǎn) Q 到達(dá)點(diǎn) C 時(shí), P 、 Q 兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s ,解答下列問題: (1當(dāng) t =2時(shí),判斷 BPQ 的形狀,并說明理由; (2設(shè) BPQ 的面積為 S (cm 2 ,求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式;(3作 QR /BA 交 AC 于點(diǎn) R ,連結(jié) PR ,當(dāng) t 為何值時(shí), APR PRQ ? 【答案】 解:(1 BPQ 是

13、等邊三角形 , 當(dāng) t=2時(shí) ,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP. 又因?yàn)?B=600, 所以 BPQ 是等邊三角形 . (2過 Q 作 QE AB, 垂足為 E, 由 QB=2y,得 QE=2t·sin600=t, 由 AP=t,得PB=6-t,所以 S BPQ=21×BP ×QE=21(6-t×t=-23t 2+3t ; (3因?yàn)?QR BA, 所以 QRC= A=600, RQC= B=600,又因?yàn)?C=600, 所以 QRC 是等邊三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-

14、2t.因?yàn)?BE=BQ·cos600=21×2t=t, 所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP QR,EP=QR,所以四邊形 EPRQ 是平行四邊形 , 所以 PR=EQ=t, 又因?yàn)?PEQ=900, 所以 APR= PRQ=900. 因?yàn)?APR PRQ, 所以 QPR= A=600, 所以 tan600=PR QR , 即26=-tt, 所以 t=56, 所以當(dāng) t=56時(shí) , APR PRQ6.在直角梯形 OABC 中, CB OA , CO A =90º, CB =3, OA =6, BA =35.分別以O(shè)A 、 OC 邊所在直線

15、為 x 軸、 y 軸建立如圖 1所示的平面直角坐標(biāo)系.(1求點(diǎn) B 的坐標(biāo);(2 已知 D 、 E 分別為線段 OC 、 OB 上的點(diǎn), OD =5, OE =2E B , 直線 DE 交 x 軸于點(diǎn) F . 求直線 DE 的解析式;(3 點(diǎn) M 是 (2 中直線 DE 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 在 x 軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn) N . 使 以 O 、 D 、 M 、 N 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn) N 的坐標(biāo);若不存在, 請(qǐng)說明理由. M D .7在圖 15-1 至圖 15-3 中，直線 MN 不線段 AB 相交 于點(diǎn) O，1 = 2 = 45° （1）如圖 15-1，若

16、AO = OB，請(qǐng)寫出 AO 不 BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； （2）將圖 15-1 中的 MN 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 圖 15-2，其中 AO = OB 求證：AC = BD，AC BD； O A 1 C 圖 7-2 O A 1 N 2 B 圖 7-1 D 2 B M N D 2 O A 1 C 圖 7-3 B M N （3）將圖 15-2 中的 OB 拉長(zhǎng)為 AO 的 k 倍得到 圖 15-3，求 BD AC 的值 【答案】 解： （1）AO = BD，AOBD； （2）證明：如圖 4，過點(diǎn) B 作 BECA 交 DO 于 E，ACO = BEO M D 2 O E A N B 1 C 圖4 F 又AO = OB，AOC = BOE， AOC BOEAC = BE 又1 = 45°， ACO = BEO = 135° DEB = 45° 2 = 45°，BE = BD，EBD = 90°AC = BD 延長(zhǎng) AC 交 DB 的延長(zhǎng)線于 F，如圖 4BEA