三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)55627

1、-1 -三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用1. O 是 ABC 的重心OA OBOC 0；是 ABC 的重心,SAOCSAOBAB COA OBPGOC 0;F(G 為 ABC 的重心.2. O 是 ABC 的垂心OA OBOB OC OC0A；若 0 是 ABC （非直角三角形）的垂心,BOC -AOC -SAOBtanA : tanB :tan故tan AOA tan BOBtan COC 03. O 是 ABC 的外心|OA|OB|2| 0C1(或 OA-2OB- 2OC)ABCSBOC:SAOC:SAOBsin BOC sin AOC sinAOB sin2A : sin2B:sin

2、2C故sin2AOA sin 2BOB sin2COC 0O 是 內(nèi) 心ABCOA (-AB A)OB -(-BABC ) OC| AB | AC|BA | |BC |(衛(wèi).CB ) 0|CA | |CB |引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為e1,e2,e3,則剛才 O 是ABC 內(nèi)心的充要條件可以寫成OA (e1e3) OB (e1e2)OC (e2e3)ABC 內(nèi)心的充要條件也可以是aOA bOB cOC 0。若 O 是 ABC 的內(nèi)心，則BOC -SAOC: SAOBa: b: c故aOA bOB cOC 0 或 sinAOA sin BOB sin CO

3、C | AB|PC |BC|PA|CA|PB 0 P是 ABC 的內(nèi)心；向量0）所在直線過 ABC 的內(nèi)心（是分線所在直線）；（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查0；BAC 的角平例 1 . O 是平面上的一定點，A,B,C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足OP OAAB AC、(AB)，AC0,則 P 點的軌跡一定通過 ABC 的（ ）-2 -3 -（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因為-AB 是向量AB的單位向量設(shè)AB與AC方向上的單位向量分別為 q和e2, 又_陰OP OA AP，則原式可化為 AP（e e2），由菱形的基本性質(zhì)知 AP 平分 BAC，那么在 ABC 中

4、，AP 平分 BAC，則知選 B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例 2. H 是厶 ABC 所在平面內(nèi)任一點，HAHB HB HC HC HA點 H 是厶 ABC 的垂心.由HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC,同理HC AB，HA BC.故 H 是厶 ABC 勺垂心.（反之亦然（證略）例 3.（湖南）P 是厶 ABC 所在平面上一點，若PA PB PB PC PC PA，則 P 是厶 ABC 的 （ D ）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即 PB （PA PC） 0,即

5、PB CA 0則PB CA,同理 PA BC,PC AB所以 P 為 ABC 的垂心.故選 D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例 4. G 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點，GA GB GC=0 點 6 是厶 ABC的重心.證明 作圖如右，圖中GB GC GE連結(jié) BE 和 CE 貝UCE=GB BE=GC BGCE平行四邊形 D 是 BC的中點, 線將GB GC GE代入GA GB GC=0,得GA EG=0GA GE 2GD，故 6 是厶 ABC 勺重心.(反之亦然(證略) 4 -、 亠-例 5.P 是厶 ABC 所在平面內(nèi)任一點.6 是厶 ABC 的重心PG -(PA PB

6、 PC).3證明PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)/ 6 是厶 ABC 的重心 /.GA GB GC=0AG BG CG=0，即卩3PG PA PB PC由此可得PG-（PA PB PC）.（反之亦然（證略）AD為BC邊上的中-4 -例 6 若 O 為 ABC 內(nèi)一點,OC0，則 O 是 ABC 的（3-5 -性質(zhì)，所以是重心，選 D。（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查 例 7 若 0 為 ABC內(nèi)一點，A.內(nèi)心B .外心C .垂心D .重心解析：由向量模的定義知 O 到 ABC 的三頂點距離相等。故 O 是 ABC 的外心 ，選 B

7、o（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8.已知向量OR，OP2，OP3滿足條件OR+OP2+OP3=0，|OR|=|OP21=|OP3|=1，求證 P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五 B 組第 6 題）證明 由已知OPi+OP2=-OP3，兩邊平方得OPiOP2=-，2同理OP2OP3=OP3OP1=-，2I P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，從而 PiF2F3是正三角形.反之，若點 O 是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有OP1+OP2+OP3=0 且|OP1| = |OP2| = |OP3|.即 O 是厶 ABC 所在平面內(nèi)一點，OP1+OP2+OP

8、3=0 且 |OP1| = |OP2| = |OP3| 點 0 是正 P1P2P3的中心.例 9.在 ABC 中，已知 Q G H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： 線，且 QG:GH=1:2【證明】：以 A 為原點，AB 所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的直角坐標系（X1,0 ）、C（X2,y2），D E、D（且 0）、E&X22G （&乞嚴）T3 3BC （X2X1,y2）BCAH ?BC2 .AH1F 分別為 AB BC AC 的中點， 則有: 九、L/X2y2）由題設(shè)可設(shè)2（X22)、F(2(X24),QFy4X2(X2X2(X2X1)X1)y2G H 三點共A

9、(0,0)、BXX1y22 2A.內(nèi)心B .夕卜心C.垂心解析：由oA OB 0C 0得OB 0CoB oC oD，由平行四邊形性質(zhì)知oEoA，如圖以 OB 0C 為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形,I*OD， OA 2OE,同理可證其它兩邊上的這個OA lOBI loC，則 O 是 ABC 的(-6 -7 -:QFACQF?ACx2(Xr爭y2(芽 y3)2y3X2(X2Xi)QH(X2X1,y42y3)(2X2X123X2(X2Xi) y22y22)X2X13X12y3)(X1y2X2(X2X1)2X2632y23X2(X2x1)y2、1/2x2Xi(2X2Xi(6,=1QH3即QHUQG，故 Q

10、G H 三點共線，且 QG3X2(X26y22y2GH=1：2例 10.若 O H 分別是 ABC 的外心和垂心.求證OH OA OB OC.證明 若厶 ABC 的垂心為 H,外心為 O,如圖. 連 BO 并延長交外接圓于 D,連結(jié) AD，CD AD AB,CD BC.又垂心為H,AH BC,CH AB, AH/ CDCH/ AD,四邊形 AHC 助平行四邊形，AH DC DO OC，故OH OA AH OA OB OC.X1) Y2)2)著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、(1)三角形的外心、重心、垂心三點共線一一“歐拉線”，(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂

11、連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2 倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例 11. 設(shè) O G重心、垂心的位置關(guān)系:H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心.求證OG - OH3證明按重心定理G 是厶 ABC 的重心OG1(OA OB3OC)按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG1 -1OH.3“重心”的向量風(fēng)采【命題 1】G 是厶 ABC 所在平面上的一點，若GC 0,則 G 是厶 ABC 的重心.如圖.-8 -9 -*圖已知 0 是平面上一定點,圖A, B, C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足【命題 2】Op OA （AB

12、AC），（0，），則 P 的軌跡一定通過 ABC 的重心.【解析】由題意AP （AB AC）定點，當(dāng)（0,）時，由于（ZBAC）表示 BC 邊上的中線所在直線的向量，所以動點 P 的軌跡一定通過 ABC 的重心，如圖.“垂心”的向量風(fēng)采【命題 3】P 是厶 ABC 所在平面上一點，若PA PB PB PC PC PA，貝 U P 是厶 ABC 的垂心.可證【解析】 由PA PB PB PC，得PB （PAPC） 0，即PB CAPC 丄 AB，PA 丄BC. P 是厶 ABC 的垂心.如圖.0，所以PB 丄 cA.同理1B圖IB【命題 4】 已知 0 是平面上一定點， A B, C 是平面上不

13、共線的三個點，動點P 滿足OP oA定點（0，），則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的垂心.cosCC【解析】 由題意AC cosCHACBC 0，-10 -垂直于 BC 的直線上，所以動點 P 的軌跡一定通過ABC 的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)米【命題 5】 已知 IABC 所在平面上的一點，且AB c , AC b , BC a .若CC 0，則 I 是厶 ABC 的內(nèi)心.圖I，則由題意得(a b c)IA bAB cAC力與/ BAC 平分線共線，即 AI 平分 BAC .同理可證：BI 平分 ABC，Cl 平分 ACB .從而 I 是厶 ABC 的內(nèi)心，如圖.【命題 6】 已知

14、0 是平面上一定點，在直線方向的向量，故動點 P 的軌跡一定通過 ABC 的內(nèi)心，如圖四、“外心”的向量風(fēng)采cosBcosC0,所以AP表示垂直于EC的向量，即 P 點在過點 A 且與箝分別為AB和AC方向上的單位向量,P 滿足Op OA，(0,)，則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的內(nèi)心.【解析】由題意得AP，二當(dāng)(0，)時,AP表示 BAC 的平分線所定【命題 7】 已知 0 是 ABC 所在平面上一點，若al【解二AIACABOC，則 0 是厶 ABC 的外心.-12 -【解析】若0A2,則 0 是厶 ABC的外心，如圖【命題 7】已知 0 是平面上的一定點,A B, C 是平面上不共線

15、的三個點，動點P 滿足OpOBOC【解析】由于B2AC cosC過 BC 的中點,直于的向量（注意：理由見二、4 條解釋通過 ABC 的外心，如圖。補充練習(xí)1 已知 A、B、C 是平面上不共線的三點,（0，），則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的外心。當(dāng)（0,）時,ABABcosB表示垂cosC），所以 P 在 BC 垂直平分線上,0 是三角形 ABC 的重心，動點一 1 1 一 1 一 0P二(0A+ OB+2OC),貝 U 點 P 一定為三角形 ABC 的322邊中線的中點邊中線的三等分點（非重心）C.重心邊的中點1. B 取 AB 邊的中點 M 則OA OB 20M，由OP=-（- OA

16、323OP 30M 2MC,MPMC3點 P 不過重心，故選 B.2.在同一個平面上有-AB，則 O為 ABC 的A 夕卜心動點 P 的軌跡一定P 滿足4+OB+2OC）可得2，即點 P 為三角形中 AB 邊上的中線的一個三等分點，且ABC及一點 O滿足關(guān)系式:（內(nèi)心D )重心 D2.已知 ABC 的三個頂點 A、C及平面內(nèi)一點( C )A 外心B 內(nèi)心重心 D0A2+走=席+CA2-0C2+垂心P 滿足：PA PB PC 0，貝 U P 為 ABC 的垂心-13 -14 -8. ABC 的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為 H, OH m(OA OB OC)，則實數(shù) m=19點 O 是

17、 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足OA OB OB OC OC OA，則點 O 是 ABC 的(B)(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D)三條高的交點10.如圖 1,已知點 G 是 ABC 的重心，過 G 作直線與 AB AC 兩邊分別交于 M N 兩點，且AN yAC，則-3。x yI證 點 G 是 ABC 的重心，知GA GBGCO,得AG(AB AG) (AC G)O,有-3已知 0 是平面上一 定點，A B C 是平面上不共線的三個點,動點P 滿足:OP OA (AB AC)，貝 U P 的軌跡一定通過厶 ABC 的A 外心 B 內(nèi)心 C

18、重心 D 垂心4.已知 ABC P 為三角形所在平面上的動點，且動點PA?PC PA?PB PB?PC0,貝 U P 點為三角形的垂心A 外心B 內(nèi)心 C 重心 DP滿足:5.已知 ABC點為三角形的A 夕卜心P 為三角形所在平面上的一點, 且點 P 滿足:PB c?PC0，則 PB 內(nèi)心 C6 在三角形 ABC 中，動點 P 滿足:(B )A 夕卜心重心.2CA_ 2CB垂心2AB?CP， 則 P 點軌跡一定通過厶ABC的:B 內(nèi)心 CAB7.已知非零向量 AB 與 AC 滿足(重心AC)垂心+|AB| |AC|A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形解析：非零向量與滿足) =0,AC|AC|

19、 =2 ,C.等腰非等邊三角形BC=0 且|屆|則厶 ABC 為()D.等邊三角形即角 A 的平分線垂直于BC,二 AB=AC,又cosA12，/氣所以ABC 為等邊三角形選 D-15 -(AB。又 MN G 三點共線(A 不在直3線 MN 上),于是存在，使得AGAM稲(且1),-16 -有AG xAByAC=3（AB AC），11 1得1，于是得-丄3x yx y3BC;AB BC CA 0；若 AB AC ? AB AC則厶 ABC 為等腰三角形；若AB?AC 0,則厶 ABC 為銳角三角形，上述命題中正確的是a，BC b，B 是厶 ABC 中的最大角，若a?b 0,試判A、B 、C 、

20、 D 、例 1、已知 ABC 中，有ABABACBCAB AC 10 和AB?AC-,試判斷 ABC 的形狀A(yù)B AC2斷厶 ABC 的形狀。4、運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例 2、已知 0 是厶 ABC 所在平面內(nèi)的一點，滿足|0A2則0 是厶 ABC 的:A、重心B 、垂心 C 、外心 D5、運用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例 3、已知 P 是 ABC 所在平面內(nèi)0P 0AAB ACABACBC0B、內(nèi)心|AC2|0CK 2AB的一動點，且點 P 滿足0,，則動點 P 一定過 ABC 的:1、課前練習(xí)2已知 0 是厶 ABC 內(nèi)的一點，若 OAA、重心B 、垂心- 2 -2OB0C ，貝 U 0在厶 ABC 中,有命題AB AC練習(xí) 1、已知 ABC 中,AB-17 -18 -重心練習(xí)B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心2、已知 O